基于伴隨方程的網格自適應及誤差修正

崔鵬程， 鄧有奇， 唐靜， 李彬

中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所， 綿陽 621000

基于伴隨方程的網格自適應及誤差修正

崔鵬程， 鄧有奇， 唐靜*， 李彬

中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所， 綿陽 621000

基于流場方程的離散伴隨優化理論和三維非結構網格，建立了網格自適應技術和目標函數誤差修正方法。詳細研究了用流動伴隨變量進行目標函數的誤差估計和修正技術，構造了適用于格心格式有限體積法的流場變量插值技術和網格單元剖分判據，初步實現了網格物面投影和空間單元優化，發展了適用于有限體積法的整套網格自適應方法。對NACA0012翼型和ONERA-M6機翼繞流進行了自適應數值模擬，并對升、阻力等目標函數進行了誤差修正。數值結果表明，本文自適應方法能正確地捕捉到影響目標函數計算精度的敏感區域，網格自適應和誤差修正兩項技術顯著提高了升、阻力等目標函數的計算精度。

非結構網格； 伴隨方程； 目標函數； 誤差修正； 網格自適應

飛行器氣動力的高精度預測是計算流體力學一直以來追求的目標。計算精度既取決于所使用的數值格式精度，也取決于計算網格的質量。網格質量不僅影響計算精度，還影響計算收斂性。人為地全局加密和預測流場特征并局部加密是兩種獲得足夠網格分辨率的常用方法。對于復雜流場或不熟悉的流場，往往通過全局加密或試算的方法來解決。全局加密不僅浪費計算資源，還會延長計算時間。預測流場特征需要大量的工程實踐經驗，并且面對新型復雜飛行器仍需不斷的摸索和學習。網格自適應技術是一種自動優化計算網格、提高流動模擬精度的有效方法。

近年來局部網格加密的自適應技術在非結構網格中得到廣泛研究。現有的大多數自適應方法都基于流場特征進行自適應加密，如激波、邊界層、旋渦、尾流、滑移線或駐點等。基于流場特征的網格自適應方法假設局部誤差與流動特征量相關，利用流場特征探測器(如梯度探測器、熵增探測器、法向馬赫數探測器等)標識需要加密網格的流場區域，通過局部網格加密減小流場局部誤差。該方法致力于減小流場特征處的誤差，忽略了影響目標函數全局誤差的其他區域。該自適應方法只捕捉流場特征，不一定能提高流場的全局計算精度[1]。

基于伴隨方程的網格自適應方法[1-2]，更能有效地提高全機氣動特性模擬精度。該方法通過伴隨方程直接建立局部誤差與目標函數全局誤差之間的關系，可直接度量局部誤差對全局誤差的影響，對目標函數的全局誤差進行估計和修正。該方法在設定目標函數全局誤差上限后，通過自適應加密對全局誤差產生較大影響的網格區域，使計算誤差在網格單元間均勻分布并減小到給定的誤差上限以下。相比基于流動特征的自適應技術，達到相同的計算準度，該方法增加的網格量更少，能構造基于計算精度的自適應終止判據，對飛行器的氣動設計更有指導意義[3-4]。

國內外很多學者對基于伴隨方程的網格自適應和誤差修正技術進行了研究。Park[5-8]發展了基于伴隨方程的三維各項同性網格自適應方法，并探索了混合網格的自適應和誤差修正技術；Park等[9]發展了結構網格的伴隨自適應與誤差估計理論，對音爆問題進行了探討；Oliver和James等[10-11]將伴隨自適應與高階算法相結合，大幅提高了目標函數計算的準確性；Yamaleev和Diskin[12-13]針對非定常問題研究了二維各向異性非結構網格的伴隨自適應和誤差修正；國內楊振虎和周磊[14]探索了二維非結構網格的自適應技術，楊夏勰和周春華[15]發展了一種多目標函數修正的二維非結構網格自適應方法。

但是現有的大部分文獻主要研究格點格式有限體積法的誤差修正及自適應方法，對格心格式有限體積法的誤差修正和自適應方法研究較少。格心格式有限體積法在邊界條件處理和基于面的循環遍歷等方面更有優勢，在工程中應用廣泛。國內學者對基于伴隨方程的目標函數誤差修正方法研究較少，也無人介紹基于伴隨方程的誤差修正方法在三維非結構網格的應用。

本文基于三維非結構網格和離散伴隨方程理論，發展了一種適用于格心格式有限體積法的網格自適應方法和升力、阻力等目標函數誤差修正方法。經過數值試驗驗證，該方法能明顯提高目標函數的計算精度。

1 數值方法

1.1 流場方程

本文使用的流場解算器為自主研發的MFlow軟件[16]，時間離散使用LU-SGS (Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel)方法[17]，如無特殊說明，無黏通量離散使用Roe格式[18]。本文針對無黏流動研究純四面體網格的自適應和誤差修正方法，控制方程采用守恒型三維歐拉方程,即

(1)

式中：U為流動解向量;F、G、H為通量項。在定常情況下?U/?t=0，歐拉方程簡化為

(2)

1.2 伴隨方程

得到流場方程的離散解之后，目標函數f(如升力、阻力和力矩等)可以表示為流場離散解U的函數，f=f(U)，目標函數對流場變量求導，由鏈式法則得

(3)

式中：R為流場方程的殘差;定義伴隨變量Ψ為目標函數對離散殘差的敏感度[6],即

(4)

綜合式(3)與式(4)，得到伴隨方程為

(5)

文中伴隨方程求解采用LU-SGS方法[19]和多重網格技術[20]，數值離散格式與流場方程離散格式保持一致。

1.3 誤差修正

假設存在兩套不同的網格，粗網格ΩH和細網格Ωh，粗網格和細網格上計算的目標函數分別記為fH(UH)和fh(Uh)，H與h分別為粗網格和細網格的尺度。粗網格消耗的計算資源較少、計算時間也較短，但計算得到的目標函數準確度不高。細網格上計算的目標函數準確度很高，但是往往消耗大量的計算資源及計算時間。通過對fH(UH)進行修正獲得fh(Uh)的近似值是可以期待的[5,21]。本文用伴隨方程修正目標函數的方法來自文獻[5,21]，簡述如下。

(6)

(7)

把式(7)代入到式(6)中，得到細網格上目標函數的估計值：

(8)

引入伴隨方程：

(9)

則式(8)可寫為

(10)

(11)

(12)

(13)

1.4 自適應參數

假設插值足夠精確，則式(11)對線性目標函數的修正是精確的，但在實際應用中目標函數往往是非線性的。對非線性目標函數，式(11)還有一定剩余誤差，希望通過網格自適應減少目標函數修正后的剩余誤差，故將剩余誤差設為自適應參數。自適應參數的設置方法來自參考文獻[6,21]，簡述如下。將式(10)進一步展開整理得

(14)

則目標函數修正后的剩余誤差為

(15)

式(15)中剩余誤差是伴隨解的誤差和流場方程殘差的內積。根據伴隨方程進一步推導[6]可得另一種形式的剩余誤差，如式(16)可以表示成伴隨方程殘差和流場方程解誤差的內積。

(16)

(17)

(18)

(19)

把這兩種形式的剩余誤差絕對值的均值設為自適應參數，則自適應參數ε表示為

(20)

2 自適應策略

2.1 粗網格剖分方法

基于伴隨方程的誤差估計和網格自適應方法需要構造一套密網格，本文通過把粗網格全局剖分細化得到內嵌細網格，從而修正全局目標函數和計算自適應參數。四面體網格單元的剖分方式有一分二、一分四、一分八等[22]。

如圖1所示，四面體一分二和一分四方法得到的小四面體與原四面體不相似，若原四面體質量較差，剖分后得到的小四面體質量將更差。為了使剖分后的網格盡可能地保持原四面體的形狀，本文中，統一采取一分八的網格剖分方法，即在每個四面體的邊上添加一個新的網格點，將原四面體剖分為8個小四面體。四面體一分八由于點的連接方式不同，有3種不同的剖分方式，本文選取使內嵌細網格的最大二面角最小的一種剖分方法。

圖1 粗網格剖分方法Fig.1 Methods to divide coarse grid

2.2 插值技術

在修正目標函數和計算自適應參數時，需計算粗網格流場解和伴隨解在細網格上的插值解。因此，一種準確的插值方法至關重要。很多文獻采用格點格式有限體積法，流場變量和伴隨變量存儲在網格節點處，因此大部分文獻采用節點插值法[5-6]。本文使用格心格式有限體積法，流場變量和伴隨變量存儲在網格形心處[23]，若參照節點插值法，則細網格上插值解的準確度不高。因此，本文提出了一種多項式插值法，直接將流場變量和伴隨變量從粗網格體心插值到細網格體心處，其基本思路如下。

對于低階插值，假設流場變量和伴隨變量在網格單元k內線性分布，滿足線性方程：

q=a+bx+cy+dz

(21)

式(21)有4個未知系數a、b、c和d，如圖2所示，假設在與該網格單元共點的所有m個網格單元內，流場變量和伴隨變量也滿足該線性多項式，則會形成m個線性方程：

qi=a+bxi+cyi+dzii=1，2，…，m

(22)

再用最小二乘法求解該線性方程組，得到各項系數。由于距離的不同，網格單元k周邊的網格單元對其影響不同，故求解方程組時對各網格單元所對應的方程設置不同的權重，離網格單元k越近，權重越大。設置權重wr為

wr=1/l2

(23)

式中：l為各網格單元和網格k形心間的距離。得到多項式各系數后，把各細網格形心坐標代入線性方程，就可以得到細網格上的低階插值。

同理對于高階插值，假設流場變量和伴隨變量在網格單元k內呈二次分布，滿足二次方程：

q=a+bx+cy+dz+ex2+fy2+

gz2+hxy+lxz+myz

(24)

式(24)有10個未知系數，與低階插值類似，假設在與該網格單元共點的所有m個網格單元內，流場變量和伴隨變量也滿足該二次多項式，則會形成m個二次方程：

(25)

式中：j=1，2，…，m。

圖2 二維多項式插值法Fig.2 Two-dimensional interpolation method using polynomial

與線性插值類似，用最小二乘法求解帶距離權的二次方程組，可得細網格上的高階插值。

2.3 自適應判據

自適應的目標是降低目標函數修正后的剩余誤差，即減小計算域內自適應參數的值。內嵌在粗網格內的細網格構造好以后，可以方便計算每個粗網格單元k的自適應參數εk：

(26)

式中：εk為粗網格單元k內的內嵌細網格單元自適應參數之和;lk為粗網格單元k的細網格單元集。定義局部自適應準則：

(27)

此外，定義全局自適應參數ε為所有粗網格自適應參數之和，即ε=∑εk。ε雖然并不是準確的目標函數的全局誤差，但是ε是全局誤差的一種度量[6]。由此，一種全局的自適應判據可以定義為

(28)

當ηz>1，即粗網格上的目標函數全局誤差大于人為設定的誤差上限，網格需要進一步細化。與文獻[6]類似，本文結合ηk和ηz，設定綜合自適應判據，對每個粗網格單元k，判斷ηzηk，若ηzηk>1，則標記該網格單元k需要細化，若ηzηk<1，則該網格單元k無需細化。

2.4 網格優化

對于物面上的粗網格單元，剖分成細網格后新添加的網格點通常不在物面上，需要將新網格點投影到物面上以保持網格與物面的相容性。

如圖3所示，對于物面網格，本文利用兩節點X1、X2及其法向與切向信息N1、N2，r1、r2構造出物面曲線的二次擬合曲線，將自適應新加入的點XNEW移動到擬合曲線的中點。物面網格投影之后，用距離權函數方法[24]移動相應的空間網格，保持空間網格與物面網格的相容性。

圖3 物面投影方法Fig.3 Projection method on surface geometry

圖4 Laplacian網格光滑方法Fig.4 Laplacian method to smooth grid

自適應后的網格質量檢測及網格光滑對于自適應技術也起到重要的作用。通常，由自適應得到的網格局部質量不高，需要光滑處理。本文采用Laplacian光滑方法[22]，如圖4所示，Laplacian光滑方法是將網格點Vi移動到相鄰網格點(V1,V2，…，VN)的形心Vc處，使網格布局均勻分布，通過網格光滑可以改善自適應網格局部疏密不均的情況。

2.5 自適應流程

基于伴隨方程的自適應是一個迭代過程，圖5 為其流程圖。首先把初始粗網格全局剖分細化得到內嵌的細網格，并構造高階插值與低階插值。然后計算局部自適應參數與全局自適應參數，對目標函數進行修正。最后判斷是否滿足自適應判據，若滿足則自適應過程結束，若不滿足，則標記需要加密的粗網格并加密，把自適應網格優化之后進行下一輪自適應過程，直到滿足自適應判據為止。

圖5 自適應迭代過程Fig.5 Iteration process of adaptation

3 算例分析

本文采用NACA0012翼型和ONERA-M6機翼對所建立的非結構網格自適應方法進行了驗證，控制方程為歐拉方程，網格為純四面體非結構網格。為了校驗網格自適應和目標函數誤差修正的效果，本文將一系列均勻加密的網格與自適應網格作對比，把均勻加密網格計算結果的Richardson外插值或極其精密網格的計算結果當做期望值。

3.1 NACA0012翼型

NACA0012翼型擾流流場來流條件為：來流馬赫數Ma∞=0.8,迎角α=1.25°，來流溫度T∞=279.3 K,雷諾數Re=9×106。目標函數為阻力系數CD，每次自適應過程將誤差上限設為上次自適應阻力系數的10%。

圖6是NACA0012翼型原始網格與自適應后的對稱面網格分布，自適應網格本身就反應了一定的流場特征，自適應后的網格在機翼前緣、后緣和機翼上下表面的強弱激波處都有明顯的加密，因為這些網格區域對NACA0012翼型的阻力系數影響較大。

圖6 NACA0012翼型自適應前后網格Fig.6 NACA0012 airfoil grid before and after adaptation

圖7是NACA0012翼型原始網格與伴隨自適應網格計算得到的壓力分布p，從原始網格的壓力分布可以看出，機翼上表面捕捉到的強激波范圍較大，機翼下表面基本捕捉不到弱激波。而自適應后網格計算得出的上表面強激波與機翼下表面弱激波都很精細，壓力等值線非常光滑。伴隨自適應網格精確地捕捉到了NACA0012機翼的流場特征。

圖8給出了NACA0012翼型的阻力系數隨自適應次數與網格量的變化曲線。隨著自適應次數的遞增，網格量不斷加大，阻力系數逐漸收斂到外插值。從圖8可以看出，阻力系數誤差修正效果明顯，相同網格量，經過誤差修正后阻力系數的計算準確度比全局加密網格的準確度提高了15.50%。

圖7 NACA0012翼型自適應前后壓力分布Fig.7 Pressure distribution of NACA0012 airfoil before and after adaptation

圖8 NACA0012翼型阻力系數自適應Fig.8 Drag coefficient adaption of NACA0012 airfoil

3.2 ONERA-M6機翼

1) 目標函數為阻力系數

目標函數為阻力系數CD，每一次自適應過程將誤差上限設為上一次自適應過程阻力系數的10%。計算狀態選擇為：Ma∞=0.84,α=3.06°，T∞=255.56 K,Re=1.172×107。在該計算狀態下，機翼表面為附著流，機翼上表面有λ型激波。

圖9是ONERA-M6機翼自適應前后的上表面網格分布與空間網格分布，可以看出，自適應后的網格在機翼前緣、后緣和激波處有明顯的加密，在遠離機翼表面的區域網格加密較少。離機翼表面較遠的網格區域對阻力系數的貢獻較小，機翼前后緣以及激波等網格區域對阻力系數貢獻很大。

圖9 ONERA-M6機翼阻力系數自適應前后網格Fig.9 ONERA-M6 wing grid before and after adaptation for drag coefficient

圖10是文獻[5]中的自適應網格，與本文的自適應結果基本一致。

圖11是用ONERA-M6機翼原始網格與自適應網格計算得到的壓力分布，從原始網格的壓力分布可以看出，機翼上表面的激波范圍較大，而從自適應后的壓力分布可以看到精細的激波分布，壓力等值線非常光滑，這說明伴隨自適應在流場特征處有明顯的加密，能較好地捕捉到流場特征。

圖10 文獻[5]中ONERA-M6機翼阻力系數自適應后網格 Fig.10 Adapted ONERA-M6 wing grid for drag coefficient in Ref.[5]

圖11 ONERA-M6機翼阻力系數自適應前后壓力分布Fig.11 Pressure distribution of ONERA-M6 wing before and after adaptation for drag coefficient

圖12給出了ONERA-M6機翼阻力系數隨自適應次數和網格量的變化曲線，可以看出，誤差修正可以使阻力系數迅速地降到人工設定的誤差范圍以內。阻力系數的誤差修正效果明顯，相同網格量，經過誤差修正后阻力系數的計算準確度比全局加密網格的準確度提高了17.74%，修正后的阻力系數與外插值很接近。同時數值試驗發現，自適應網格比均勻加密網格計算收斂速度更快。由于自適應網格捕捉到了一定的流場特征，在對目標函數影響較大的區域進行大量加密，使殘差更容易收斂，從而使目標函數的收斂速度更快。

圖12 ONERA-M6機翼阻力系數自適應Fig.12 Drag coefficient adaption of ONERA-M6 wing

2) 目標函數為升力系數

此處采用的計算條件與目標函數為阻力系數時一致，但目標函數為升力系數CL。經過數值試驗發現，升力系數對網格不是很敏感，經反復探索和參考國內外文獻，每一次自適應過程將誤差上限設為上一次自適應過程升力系數的5%。

圖13是ONERA-M6機翼原始網格與自適應后的上表面網格分布與空間網格分布，可以看出，自適應后的網格在機翼前緣、后緣和激波處有明顯的加密，因為這些網格區域對升力系數貢獻很大。

圖13 ONERA-M6機翼升力系數自適應前后網格Fig.13 ONERA-M6 wing grid before and after adaptation for lift coefficient

圖14給出了用ONERA-M6機翼原始網格與自適應網格計算得到的壓力分布，從原始網格的壓力分布可以看出，機翼上表面的激波范圍較大，壓力等值線較粗糙，而從自適應網格的壓力分布可以看到有精細的激波分布，壓力等值線非常光滑。伴隨自適應能較好地捕捉到流場特征。

圖14 ONERA-M6機翼升力系數自適應前后壓力分布Fig.14 Pressure distribution of ONERA-M6 wing before and after adaptation for lift coefficient

圖15為升力系數隨自適應次數和網格量的變化曲線，把一套極其精密網格的計算結果當做期望值來檢驗誤差修正效果。相同網格量時升力系數的誤差修正效果明顯，經過誤差修正后升力系數的計算準確度比全局加密網格的準確度提高了1.05%，誤差修正能使計算的升力系數快速的接近期望值。同時數值試驗也發現，由于自適應網格在對升力系數誤差敏感的區域進行了自適應加密，自適應網格比均勻加密網格計算收斂速度更快。

圖15 ONERA-M6機翼升力系數自適應Fig.15 Lift ocefficient adaption of ONERA-M6 wing

從圖12可以發現，在第4次自適應之后用自適應網格計算得出的阻力系數沒有相同數量全局加密網格計算得出的阻力系數精確。圖3為本文采用的物面網格投影方法示意圖，用兩節點及其法向構造出物面曲線的二次擬合曲線，將自適應新加入的點移動到擬合曲線的中點。這種投影方法在普通物面能較為準確地投影新添加的網格點，但是如圖16所示，在機翼前后緣等物面曲率較大的區域，這種投影方法在局部區域不能與物面完全匹配，自適應后期由于投影誤差累積使得自適應網格計算的阻力系數精度略低。數值模擬結果表明，這種投影方法對自適應過程和誤差修正結果影響較小。

圖16 擬合曲線投影方法Fig.16 Fitted curves projection method

4 結 論

1) 對比相同數量的全局加密網格，經過自適應迭代后的網格分布更為合理，氣動力計算精度得到明顯提高，為誤差修正打下良好基礎。

2) 采用本文誤差修正方法對升力、阻力系數等目標函數進行修正，氣動力計算精度進一步提高，并且隨自適應迭代過程快速收斂到期望值。

3) 針對格心格式的有限體積方法，本文提出的流場變量和伴隨變量多項式插值方法適應性好、插值精度高。

本文實現了純四面體非結構網格的自適應和誤差修正方法，下一步將開展混合網格(包含四面體、棱柱、金字塔等單元)的自適應和誤差修正研究，并探索新的物面網格投影方法。

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[24] 唐靜， 鄧有奇， 馬明生， 等. 飛翼氣動優化中參數化和網格變形技術研究[J]. 航空學報, 2015, 36(5): 1480-1490.

TANG J, DENG Y Q, MA M S, et al. Parametrization and grid deformation techniques for fly-wing shape optimization[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(5): 1480-1490 (in Chinese).

崔鵬程男， 碩士， 研究實習員。主要研究方向： 非結構網格技術， 飛行器氣動外形優化設計。

Tel: 0816-2463270

E-mail: ficojustdoit@163.com

鄧有奇男， 博士， 研究員， 博士生導師。主要研究方向： 計算空氣動力學， 飛行器優化設計。

Tel: 0816-2463007

E-mail: cai@cardc.cn

唐靜男， 博士研究生， 助理研究員。主要研究方向： 飛行器氣動外形優化設計， 非結構網格技術。

Tel: 0816-2463270

E-mail: tangjingn@foxmail.com

李彬男， 博士， 助理研究員。主要研究方向： 飛行器氣動外形優化設計， 外掛物分離投放數值模擬。

Tel: 0816-2463091

E-mail: leebin2008@hotmail.com

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160321.1035.002.html

Adjointequations-basedgridadaptationanderrorcorrection

CUIPengcheng，DENGYouqi，TANGJing*，LIBin

ComputationalAerodynamicsInstitute,ChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China

Basedonthediscreteadjointoptimizingtheoryandthree-dimensionalunstructuredgrid,agridadaptationtechnologyandanerrorcorrectionmethodforobjectivefunctionarebuilt.Amethodtopredictandcorrecttheerrorofobjectivefunctionusingadjointequationsispresented.Then,aninterpolationtechnologywhichsuitsforcentre-basedfinitevolumemethodisproposed,somemethodstodividetetrahedralgrids,projectsurfacegridsandoptimizespatialgridsarediscussed,andacompletegridadaptationsystemwhichsuitsforfinitevolumemethodisbuilt.Finally,thegridadaptationmethodisappliedtothesimulationofinviscidflowsaroundNACA0012airfoilandONERA-M6wing,andtheerrorofobjectivefunction,suchasthecoefficientofdragandlift,iscorrected.Numericalresultsshowthatthesensitivegridsforobjectivefunctionaredetectedandrefinedbythisgridadaptationmethod,andtheaccuracyofobjectivefunctionisobviouslyimprovedaftergridadaptationanderrorcorrection.

unstructuredgrid;adjointequation;objectivefunction;errorcorrection;gridadaptation

2015-11-24；Revised2016-02-17；Accepted2016-03-14；Publishedonline2016-03-211035

.Tel.：0816-2463270E-mailtangjingn@foxmail.com

2015-11-24；退修日期2016-02-17；錄用日期2016-03-14； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-03-211035

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160321.1035.002.html

.Tel.：0816-2463270E-mailtangjingn@foxmail.com

崔鵬程， 鄧有奇， 唐靜， 等． 基于伴隨方程的網格自適應及誤差修正J． 航空學報,2016,37(10):2992-3002.CUIPC,DENGYQ,TANGJ,etal.Adjointequations-basedgridadaptationanderrorcorrectionJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(10):2992-3002．

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0079

V211.3

A

1000-6893(2016)10-2992-11