5.2圖形的相似與解直角三角形

左緒芳

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：

（1）比例的基本性質以及相似三角形的性質與判定，

（2）銳角三角函數的概念、特殊角的三角函數值、解直角三角形的實際應用（主要是解決測量、航行、工程等生活中的實際問題，要注意把握各類圖形的特征及解法），

復習難點：

（1）根據題目中給出的條件選擇合適的方法進行相似三角形的判定是復習的難點，判定兩個三角形相似一般先找兩組對應角相等：若只能找到一組對應角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例；若找不到角相等，就判斷三邊是否對應成比例，否則可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”，要針對具體的圖形，有平行線的可圍繞平行線找相似；有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或對應邊成比例：有公共邊的可將圖形旋轉，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應邊，

當問題中出現比例、線段的積、邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等的情況時。一般借助相似解決問題，如果題目中沒有直接給出兩個相似三角形，那么可以結合題目中的條件，通過適當添加“輔助線”構造出相似三角形，進而應用相似三角形的性質解決相關問題。

（2）解直角三角形問題中運用“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的基本思想是難點，解直角三角形時，如果題中有現成、直接可用的直角三角形，我們可直接運用解直角三角形的知識求解；否則需要作輔助線構造直角三角形來解決，常見的輔助線添加方法有兩種，一種是作高線構造直角三角形，另一種是作平行線構造直角三角形，注意靈活應用，在計算時不能直接算出某些量時，可利用方程思想加以解決，

易混易錯點：

（1）相似也是指圖形間的一種相互關系，但它與“全等圖形的形狀、大小完全相同”不同，這兩個圖形僅僅形狀相同，大小不一定相同，其中一個圖形可以看成是另一個圖形按一定比例放大或縮小而成的，這種變換是相似變換，當放大或縮小的比例為1：l時，這兩個圖形就是全等的，全等是相似的一種特殊情況，

（2）利用解直角三角形的知識解決實際問題時要弄清楚仰角、俯角、方位角、方向角、象限角、坡度、坡角等有關概念的含義，只有掌握了這些概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關系。才能利用這些關系結合實際問題建立模型，利用數形結合的思想方法，通過計算、推理等方式使實際問題得到解決，

點撥：平行線分線段成比例是探究相似三角形最重要最基本的工具，利用它一方面可以直接判定具有一定位置關系的四條線段成比例；另一方面，當不能直接證明某個比例式成立時，常利用這個基本事實把兩條線段的比轉化為另外兩條線段的比，當三角形中出現平行線求線段的長時，常利用平行線分線段成比例定理或相似三角形的判定與性質建立比例式，通過解方程求解，此類問題容易出錯的地方是對應邊對應出錯，

點撥：解答與平行有關的相似三角形問題時，要善于挖掘題中隱含的相似三角形的基本圖形，從而將形的關系轉化為對應邊成比例求解，常見的相似三角形的基本圖形有6種，圖形及其關系如圖3所示。

三角形相似類似于三角形全等，仍然強調對應關系，根據相似三角形尋找比例關系要嚴格按照對應頂點、對應邊以及對應角來探索；切忌混亂，

點撥：解題的關鍵是從復雜的實際問題中整理出直角三角形，此類問題在求解時，首先利用圖中出現的特殊角（或題后所給出三角函數的角），構造直角三角形求解，

本題是一個測量物體高度的問題，這類問題的常見模型如表1，

此類問題易錯之處有：（1）混淆三角函數的概念以及角的相關概念；（2）不能利用方程思想列出方程；（3）計算時由于多次取近似值造成較大的誤差。