在建模中感悟數(shù)學思想

陳幼玲

教師在課堂教學過程中要努力引導學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程?！俺Ｒ姷臄?shù)量關系”是蘇教版四下中新增加的教學內容。學生學習時，要能在具體情境中了解常見的數(shù)量關系，并學會用所學數(shù)量關系解決簡單的實際問題。現(xiàn)以“常見的數(shù)量關系”教學為例，闡述如何引導學生在建模過程中感悟數(shù)學思想。

一、在模型準備中初步感知模型思想

提出問題是數(shù)學建模的起點，有了明確問題，學生建模才能有的放矢。模型準備時，教師要根據(jù)實際問題的特征和建模目的，呈現(xiàn)貼近學生生活實際的學習素材，盡量做到形象具體，并引導學生對問題情境進行必要簡化，有效引導學生從實際背景中抽象出數(shù)學問題，甚至對問題作出必要和合理的猜想與假設，使學生能從熟悉的或已具備的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗入手，為學生順利構建數(shù)學模型奠定基礎。

教學時，教師先出示教學掛圖，引導學生分析圖中的信息。學生很快從圖中發(fā)現(xiàn)每支鋼筆12元，每本練習本3元；要買4支鋼筆和5本練習本。根據(jù)圖中的信息填寫表格（表1）后，教師要求學生觀察表格中第一列的信息并說出它們的相同點，從而認識單價就是每個物品的價錢。當學生聯(lián)系生活舉例說出一些商品的單價（如包子的單價是每個2元，一瓶綠茶的單價是每瓶3元）時，教師引導學生自主讀、寫出來（2元/個，讀作2元每個，表示每個包子2元；3元/瓶，讀作3元每瓶，表示每瓶綠茶3元）；當學生了解表格中第二列信息表示商品數(shù)量、第三列信息表示商品總價（購買某種商品一共要用的錢）時，教師引導學生分別算出兩種商品各自的總價。學生為解決實際問題而認識單價、數(shù)量和總價三種數(shù)量，并在解決問題的過程中自然地產(chǎn)生數(shù)學問題——這三種量之間有沒有什么關系？如果有關系，有什么關系？甚至有些思維活躍的學生就會在大腦中出現(xiàn)這樣的猜想或假設——這里的單價和數(shù)量相乘后是不是等于總價？這樣，學生就能在計算總價的過程中為順利構建數(shù)學模型做好充分準備，同時從中初步感悟數(shù)學模型思想。

二、在模型的建立中充分感悟模型思想

模型建立的過程，往往是學生進行觀察、分析、抽象和概括的活動過程。在這個過程中，學生會使用文字或者其他數(shù)學符號嘗試表示數(shù)量關系或變化規(guī)律。換句話說，小學生的數(shù)學建模過程就是嘗試把生活情境“數(shù)學化”的過程，就是他們在數(shù)學學習過程中嘗試獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學結構的過程。這個過程可以在教師的適當引領下完成，也可以在學生的自主探究中完成。

研究單價、數(shù)量和總價這三種量之間的關系時，教師引導學生先仔細觀察表格，再思考兩種文具的總價各自是怎樣計算的，并嘗試用式子表示出來。學生通過想一想、說一說和寫一寫后，發(fā)現(xiàn)每種文具的總價都是用表中的第一個信息與第二個信息相乘的結果，即“總價=單價×數(shù)量”，并由此及彼地發(fā)現(xiàn)“數(shù)量=總價÷單價”和“單價=總價÷數(shù)量”，從而明白只要知道三種量中的兩種量，就能根據(jù)數(shù)量關系求出第三個量。探究速度、時間和路程三者之間的關系時，教師先出示一組信息：一列和諧號列車每小時行260千米，李冬騎自行車每分行200米。自主閱讀后，學生發(fā)現(xiàn)它們分別表示1時或1分（單位時間）內所行的路程，從而認識了速度。學生再聯(lián)系生活說一些常見的速度例子（如兔子每秒跑6米，小明每秒跑5米）后，學會讀寫速度（6米/秒，讀作6米每秒，表示兔子每秒跑6米；300米/分，讀作300米每分，表示小明每分行300米）、計算各自所行的路程，并填寫表格（表2），并在小組交流中發(fā)現(xiàn)路程都可以用“路程=速度×時間”表示，進而觸類旁通地聯(lián)想到“速度=路程÷時間”和“時間=路程÷速度”這兩個數(shù)量關系。最后，教師引導學生分組嘗試用線段圖表示這兩題的條件和問題，并討論線段圖的相同點，從中發(fā)現(xiàn)圖中每段表示一份，3段便是3份，問題都是求總數(shù)，從而溝通了兩個數(shù)量之間的聯(lián)系，構建統(tǒng)一的數(shù)學模型——每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

史寧中教授認為：“數(shù)學的本質是在認識數(shù)量的同時認識數(shù)量之間的關系。”事實上，如果我們從建模角度看這兩組數(shù)量關系，它們都屬于“乘法模型”，也就是“每份數(shù)×數(shù)量=總數(shù)”關系的具體化。它們中的第一個數(shù)量關系是學生在教師引導下的建構，第二個數(shù)量關系是學生的自主建構，扶放結合，最終形成統(tǒng)一的數(shù)學模型。學生在經(jīng)歷建模的過程中對數(shù)學模型思想的感悟越來越充分。

三、在模型應用中靈活感悟模型思想

對小學生而言，他們進行建模的目的之一就是根據(jù)模型解決實際問題，并嘗試用結果去解釋它在現(xiàn)實問題中的意義，也就是模型應用。所謂模型應用，就是學生建構數(shù)學模型后嘗試把數(shù)學模型還原為具體可感知的數(shù)學現(xiàn)實，從而鞏固甚至靈活應用所建構的數(shù)學模型。但在應用模型解決實際問題的過程中，教師首先要引導學生理解數(shù)學模型的含義，并將模型解答與現(xiàn)實問題之間進行對照檢驗，并根據(jù)檢驗結果對解答進行完善和優(yōu)化。這對學生靈活感悟模型思想能起到畫龍點睛的作用。

應用模型時，教師首先出示一組基本題讓學生簡單應用：（1）一種自動鉛筆的售價為4元/支，買3支多少錢？（2）小明從家步行到公交車站要3分鐘，如果他步行速度為60米/分，那么，他家到公交站臺有多少米？學生分析已知條件和要求的問題，思考用什么數(shù)量關系列式計算后，教師引導學生思考：（3）獅子奔跑的速度是16米/秒，求它2秒、4秒、10秒和30秒跑的路程各是多少？（4）李老師用840元買運動服，買2套、4套、8套和10套服裝時的單價各是多少元？學生邊填邊想數(shù)量關系式及自己的發(fā)現(xiàn)。最后，教師出示課本中的一組習題：（5）李師傅每小時加工24個零件，8小時加工多少個？（6）李師傅每小時加工24個零件，加工192個零件用多少小時？（7）李師傅8小時加工192個零件，平均每小時加工多少個零件？引導學生應用所建構的數(shù)學模型解決簡單的實際問題，這有助于學生鞏固所建構的數(shù)學模型；向學生滲透“工作總量=工作時間×工作效率”的數(shù)量關系的過程就是幫助學生拓展模型的過程，有助于學生了解相似數(shù)量關系在數(shù)學學習中有很多，需要自己及時總結、舉一反三，才能達到靈活應用數(shù)學模型的目的，才能更好地解決問題。

（作者單位：福建省古田縣第二小學）