試論有限差分法模擬電梯懸掛系統(tǒng)橫向受迫振動

徐開東 金俊 金寅德

摘要：高層建筑的搖晃給電梯造成位移激勵作用，而這種激勵是產(chǎn)生電梯懸掛系統(tǒng)橫向振動的重要因素。為了提高電梯運行的安全性和舒適度，文章針對有限分差法模擬電梯懸掛系統(tǒng)橫向受迫振動展開了研究，基于有限分差法的基本原理和懸掛系統(tǒng)進行了橫向振動模型的分析，應(yīng)用典型案例對振動影響進行了研究。

關(guān)鍵詞：有限分差法;電梯懸掛系統(tǒng);橫向振動;高層建筑;位移激勵 文獻標識碼：A

中圖分類號：TU857 文章編號：1009-2374（2016）04-0057-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.04.029

現(xiàn)如今是一個“時間就是金錢”的時代，人們對于電梯的速度以及安全性的要求越來越高，但是頻繁發(fā)生的電梯事故讓人們對電梯產(chǎn)生一種恐懼感。電梯懸掛系統(tǒng)振動包括沿垂直軸線方向的橫向振動和軸線方向的縱向振動兩種振動形式。當電梯高速運行時，由于會受到外界橫向激勵的作用，從而使電梯繩索的橫向振動幅度要大于其縱向振動幅度，因此會造成人們在乘坐電梯的過程舒適性和安全性發(fā)生變化。為減少電梯振動所帶來的不利影響，通過有限差分法模擬電梯懸掛系統(tǒng)橫向受迫振動的實驗，能夠?qū)﹄娞莸目臻g變量進行離散化的處理，建立電梯各變系數(shù)的常微分方程組，從而來驗證模擬電梯懸掛系統(tǒng)橫向受迫方法的有效性和可行性。

1 有限差分法的基本概況

1.1 有限差分法的界定

有限差分法是一種用泰勒技術(shù)展開式將變量的導(dǎo)數(shù)變?yōu)樽兞浚缓笤诓煌目臻g點或時間值的差分形式的一種方法，并且是一種積分微分方程和微分方程的一種數(shù)值解的方法。基本思想是按時間步長和空間步長，將時間和空間區(qū)域剖分成若干網(wǎng)格，并且將連續(xù)的定解區(qū)域用有限的離散點所構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，而這些離散點則作為網(wǎng)格的節(jié)點，同時將原方程與定解條件中的微商值與差商值進行近似，積分采用積分和的形式來近似，即原微分方程和定解條件就可以用代數(shù)方程組，也可稱之為有限差分方程組，通過解有限差分方程組就可以得出離散點在原問題上的近似值。

1.2 有限差分法求解微分方程的步驟

（1）區(qū)域離散化，確定離散點。即是將偏微分方程的求解區(qū)域按照屬性以及時間或者空間的差異性將其分為有限的離散點來構(gòu)成區(qū)域網(wǎng)格;（2）近似求解。即應(yīng)用有限的差分方程公式對每一個網(wǎng)格點的導(dǎo)數(shù)以近似的形式來求解;（3）精準求解。精準求解是一個應(yīng)用插值多項式及其微分來取代偏微分方程的求解的一個過程。

2 電梯懸掛系統(tǒng)的基本模型

2.1 電梯懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)模型

電梯懸掛系統(tǒng)是由曳引、導(dǎo)向、轎廂以及平衡系統(tǒng)所組成的，而柔性的曳引鋼絲繩是將各個組成部件連接在一起的工具，基于此原理結(jié)構(gòu)可以獲知電梯的震動具有一定的柔性系統(tǒng)的特點。整個電梯的曳引提升系統(tǒng)從一定程度上可以將之看作為振動系統(tǒng)，而電梯懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)模型則可以表現(xiàn)曳引鋼絲繩的剛度。電梯的轎廂和對重與鋼絲繩之間則是利用固定參數(shù)的彈簧-阻尼器進行連接的。建立電梯懸掛系統(tǒng)的模型方式比較簡單，一般可應(yīng)用變參數(shù)的常微分方程組來表示運動方程，而且當方程所涉及的參數(shù)變化的速度在正常標準范圍內(nèi)，其求解的方法也比較容易和方便。而動力學(xué)模型一般情況下是用于低速電梯曳引提升系統(tǒng)，其精度不是很高。

集中參數(shù)的離散化電梯模型比較簡易化，而且求解十分方便，但是在系統(tǒng)運行的過程中忽略了曳引鋼絲繩本身存在的柔性體特征，從整體上可以看出對系統(tǒng)的全部動態(tài)響應(yīng)不能夠全面完整地展現(xiàn)出來。分布式參數(shù)的模型較之于集中參數(shù)模型的差異性在于應(yīng)用偏微分方程以及積分微分方程對系統(tǒng)的動態(tài)過程進行描述和展現(xiàn)，而且參數(shù)在空間上和時間上具有連續(xù)性，而且系統(tǒng)具有無窮多自由度的特征。具體的電梯懸掛系統(tǒng)的分布式模型如圖1所示：

2.2 電梯懸掛系統(tǒng)中的柔性系統(tǒng)模型

電梯懸掛系統(tǒng)在建立連續(xù)模型的過程中，其最主要的核心關(guān)鍵要素在于對彈性鋼絲繩物理特性的描述。其模型建立的主要方式是應(yīng)用細長的鋼絲繩并且要忽略其剛性度，同時要沿軸向進行受力，而且忽略了轎廂或者對重的具體建設(shè)結(jié)構(gòu)。基于實際的柔性系統(tǒng)模型建設(shè)，可將其簡化為一個質(zhì)量為m的剛性結(jié)構(gòu)并且使其與弦線的下端部位進行連接。

就電梯鋼絲的實際運作狀態(tài)而言，其振動一般都是表現(xiàn)在水平方向內(nèi)，但是為了能夠使模型的結(jié)構(gòu)特征更加簡單化和便捷化，一般都重視對懸掛系統(tǒng)的橫向振動進行分析。為了能夠?qū)覓煜到y(tǒng)的動態(tài)特征和現(xiàn)象比較精準地進行描述，就必須要對橫向以及縱向的耦合振動效果進行整體全面的分析。柔性提升系統(tǒng)模型可將其中的弦線的密度設(shè)置為p，橫截面的面積用S進行表示，而彈性的模量則用E進行表示。假設(shè)系統(tǒng)的坐標原點為簡支約束處，根據(jù)電梯懸掛系統(tǒng)運行的原理，可將運動過程中的繩長標記為，在繩上的處中的縱向振動現(xiàn)象的值用進行表示，而橫向振動情況則可用進行表示。基于系統(tǒng)橫縱向振動的情況可總結(jié)出，前兩者屬于原點固定的靜態(tài)坐標變量，所以正方向要設(shè)立豎直向下。相反，后兩者表述為隨動坐標的變量狀態(tài)，正方向則取豎直向上的方向，與前兩者相反。而柔性電梯懸掛系統(tǒng)中的繩子以及重物的整體縱向速度要用進行表示。柔性電梯懸掛系統(tǒng)為了能夠使曳引主機的旋轉(zhuǎn)失衡以及不正常托槽的現(xiàn)象得到最大程度的顯現(xiàn)，從而來達到柔性提升系統(tǒng)動態(tài)性能的作用力。因此，可假設(shè)在繩子的上端部位有一個橫向的外部干擾激勵，即用進行表示，A表示的是干擾振動的振幅，而是對干擾振動的頻率的一種表述。針對柔性電梯懸掛系統(tǒng)求解需要根據(jù)實際的運行狀態(tài)建立相應(yīng)的假設(shè)條件，在建立電梯懸掛系統(tǒng)中，對弦線的彎曲剛度可不進行考量，而且可忽視其各種阻尼以及摩擦力的影響作用。弦線中的各種參數(shù)值在系統(tǒng)運作的過程中一定要保持一個比較平衡均值的狀態(tài)。

2.3 電梯懸掛系統(tǒng)的橫向振動模型

將垂直豎向運行的電梯懸掛系統(tǒng)從基本運行原理可以稱之為下端附有一定質(zhì)量的變長度縱向運動張緊繩，從而來展現(xiàn)電梯的基本結(jié)構(gòu)特征。其電梯懸掛系統(tǒng)的橫向振動模型如圖2所示。

電梯懸掛系統(tǒng)各參數(shù)的構(gòu)建和設(shè)置中，其電梯的轎廂可應(yīng)用附加在繩索下端質(zhì)量為me的剛體進行表現(xiàn)，假設(shè)彈簧和阻尼系數(shù)的粘滯阻尼器與導(dǎo)軌進行連接，彈簧的剛度為，阻尼的系數(shù)設(shè)置為，并且使其在高度設(shè)置為L的高層建筑中進行豎向運行。將繩索的單位長度設(shè)置為，彈性模型的量度設(shè)置為，而繩索的時變長度可以設(shè)置為。當電梯的懸掛系統(tǒng)進行垂直豎向運行的過程中，可將曳引繩上處的橫向振動的位置移動到，此時將建筑物的結(jié)構(gòu)依照為基本振動結(jié)構(gòu)時，并且用來表示頂點的振動位置。此時電梯的懸臂結(jié)構(gòu)的基本振型可通過方程公式進行計算和表達，具體的表達公式為：

當懸臂結(jié)構(gòu)發(fā)生振動現(xiàn)象時會導(dǎo)致電梯懸掛系統(tǒng)上下端位產(chǎn)生移動，其電梯懸掛系統(tǒng)的激勵值可通過，進行表示，基于此現(xiàn)象的原理可通過方程公式進行闡述，具體的表達公式為：

其繩索的系統(tǒng)功能用公式表述為：

3 有限差分法模擬電梯懸掛系統(tǒng)橫向受迫振動

電梯數(shù)值的模擬參數(shù)選取高層高速曳引的電梯參數(shù)進行計算，當電梯投入到擁有60層的高樓建筑運行過程中，可分別假設(shè)建筑樓層的蓋度均為2.5m，當電梯從最底層上升到50層時，所花費的運行時間為35s，假設(shè)電梯系統(tǒng)處于一種靜止的狀態(tài)時，即參數(shù)u（x，0）=0，u1（x，0）=0。而電梯在風荷載作用下所產(chǎn)生的建筑物的頂部位置可以移動到的位置中，并且設(shè)定建筑物按照基本振動的形式進行振動，可將其形狀函數(shù)假定為：

由于在電梯上行的過程中，曳引繩的振動頻率以及幅值有一定增長的趨勢。當電梯懸掛系統(tǒng)的振動頻率比較臨近于轎廂本身所固有的頻率時，電梯懸掛系統(tǒng)的振動幅度會隨之不斷加大，當電梯的懸掛振動幅度不斷加大的過程中極易導(dǎo)致曳引繩發(fā)生失穩(wěn)的現(xiàn)象，也就是電梯發(fā)生事故時常會出現(xiàn)繩體收縮并且失穩(wěn)的現(xiàn)象，當電梯懸掛系統(tǒng)發(fā)生此現(xiàn)象時一定要對曳引鋼絲繩的疲勞破壞程度加以控制和注意。當激勵的頻率、轎廂的固有頻率、懸掛系統(tǒng)的頻率三者之間發(fā)生共振的現(xiàn)象時，是電梯運作狀態(tài)時的最不利現(xiàn)象，因此需要采取一定的措施進行控制和預(yù)防。轎廂本身的頻率開始高于激勵頻率時，此時對彈簧的剛度進行添加基本沒有多大的功效，因此需要通過引入耗能的機制來對繩索的橫向振動狀況進行遏制，從而避免因繩索與井道發(fā)生纏繞的現(xiàn)象，對電梯造成破壞性的打擊。

4 結(jié)語

綜上所述，針對有限差分法模擬電梯懸掛系統(tǒng)橫向受迫振動進行分析具有極高的研究價值，從一定程度上能夠精準地在電梯運行的過程中所產(chǎn)生的橫向振動響應(yīng)狀態(tài)進行計算，確定了對兩點位移激勵下橫向振動響應(yīng)的具體分析，從而為電梯懸掛系統(tǒng)的橫向振動的控制提供了數(shù)值的參考。

參考文獻

[1] 王文，錢江.電梯懸掛系統(tǒng)在建筑搖晃引起位移激勵下橫向振動分析[J].振動與沖擊，2013，32（7）.

[2] 張鵬.高速電梯懸掛系統(tǒng)動態(tài)性能的理論與實驗研究[D].上海交通大學(xué)，2007.

[3] 王學(xué)敏，杜建軍，李姍姍，等.基于有限差分法對不同潤滑介質(zhì)下靜壓氣體軸頸軸承性能研究[J].機械工程學(xué)報，2012，48（3）.

（責任編輯：陳 潔）