考慮樁-彈性地基相互作用的單樁風機自振頻率

牛文杰

(遼寧工程技術大學力學與工程學院，遼寧 阜新 123000)

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考慮樁-彈性地基相互作用的單樁風機自振頻率

牛文杰

(遼寧工程技術大學力學與工程學院，遼寧 阜新 123000)

考慮樁-彈性地基相互作用，采用集中質量法和柔度法對泥面線以上的單樁風機結構進行多自由度動力分析，確定單樁風機的自振頻率。通過算例給出單樁風機的自振頻率值，并與不考慮樁-彈性地基相互作用的單樁風機的自振頻率值進行比較。

單樁風機； 自振頻率； 樁基礎和彈性地基的相互作用； 柔度法； 集中質量法

0 引言

對于水平軸風力發電機[1]，大型風力機塔筒通常都采用變截面的錐形筒體形式，可將其視為頂端受橫向力作用的變截面懸臂梁結構[2]。橫向力由風力機葉片、輪轂和機艙的迎風阻力組成[3]。風力發電機組運行時，其葉輪上的風荷載和風機偏航引起的荷載通過結構和傳動機構作用在塔架頂端[4-5]。已建成的大部分海上風電場都采用單立柱基礎[4-6]。風機塔上作用有自重荷載、波浪荷載、流體流過立柱的流體壓力荷載[5]以及可能的近海地震作用與浮冰沖擊作用。此外，風機葉片的轉速一般是常數或在某一指定范圍，可通過閉環控制系統實現[7]。因此，對于葉片轉速一定的風機，當以塔筒為研究對象時，其上的動力荷載還主要有：輪轂等轉子系統施加的動荷載，其頻率為一定值，記為f；當風機葉片在轉動過程中遮擋住塔筒時，改變了環境流場，會施加給塔筒荷載，如果是三葉片的風機，則葉片轉動引起的作用在塔筒上的振動荷載頻率是3f[8]。

在上述動力荷載作用下，需要通過工程設計，使現場近海單樁風機的自振頻率避開上述動力荷載的激勵頻率，以避免近海單樁風機在動力荷載作用下發生共振。另外一個工程問題就是：對于近海風機這種高而柔的結構物需要承受各種動力和循環荷載，其在長期的水平荷載作用下，由于樁周土在動應力作用下的材料弱化，風機的自振頻率會發生變化。因此需要研究確定近海單樁自振頻率的計算方法或實驗方法。

確定近海單樁自振頻率的實驗方法通常采用Bhattacharya等(2011)建議的模型試驗，以保證模型與現場風機的相似準數一致[9]。

確定近海單樁自振頻率的理論解有以下兩方面的研究：

(1) 計算近海單樁風機的自振頻率需要考慮樁土相互作用。而關于樁土相互作用方面的研究有：Zaaijer[10]研究了單樁-土體的動力特性，土體被簡化為一系列彈簧；Padrn等[11]通過邊界元-有限元耦合模型對埋在半空間彈性體中的樁和群樁進行了動力分析，其中樁按照伯努利假設的梁單元進行模擬，而土按照連續的、半無限體、各向同性的線彈性介質通過邊界元來進行模擬；Dash等[12]使用數值方法研究了土體中樁發生壓-彎耦合時的性狀。

(2) 牛文杰等[13]使用集中質量法，采用剛度法對近海風力發電機的塔和泥面線上基礎按照2個自由度的動力系統進行了自由振動分析,并得到自振頻率。但考慮地基-風機相互作用時的計算模型更加符合實際。Bhattacharya[14]按照無限自由度體系，把地基對塔筒的作用簡化為轉動彈簧和平動彈簧，彈簧剛度可使用試驗測得，并使用解析解計算了風機的自振頻率，模型試驗和有限元解的結果表明計算結果是合理的。另外，可使用p-y曲線法對海洋平臺的樁土結構系統進行模態分析[15]。

上述計算自振頻率的方法，或過于簡略，或過于復雜，或需要大量的現場測試數據，或需要借助于Ansys軟件進行分析計算，因此需要一種快速估算近海單樁風機自振頻率的計算方法。

風力發電機的上部塔筒和樁基礎都假定為彈性模量相同的鋼材制成的套筒。通過張氏法[16-17]得到半無限長樁基礎的控制方程；然后通過歐拉-伯努利經典梁理論方程得到泥面線上以上風機上部塔筒的變形控制方程；再通過計算變形的疊加原理與套筒在泥面線處的變形連續性條件，得到泥面線上風機立柱(即套筒)的撓度函數；最后使用柔度法，給出按照多自由度分析的考慮樁-彈性地基相互作用時風機的自振頻率值。

1 考慮樁-彈性地基相互作用的自由振動理論

1.1 考慮樁土相互作用時單樁結構物的撓度

圖1所示為單樁風力發電機。以下分析中，把風力機簡化為截面和彈性模量都相同的單樁結構物(圖2)。風機高度為h。

當水平荷載作用于桿件頂端時，對于圖2中的單樁結構物即為等截面桿件在泥面線以上的水平撓度y(x)F。這可按照兩部分來計算：一部分是樁底端固定時的位移曲線函數y(x)F0；另一部分是假定無外荷載作用，泥面線位置處單樁結構物轉角θ0和位移y0引起的樁的水平撓度y(x)F1。最后通過疊加原理可確定y(x)F。

(1)

圖1 單樁式風力發電機Fig.1 A mono-pile wind turbine

圖2 單樁結構物頂部(桿件)作用水平荷載FFig.2 Mono-pile structure top under horizontal load F

在圖2中，以泥面線與桿件的交點為坐標原點，記x是泥面線上桿件某點與原點的距離。根據材料力學，可確定y(x)F0：

(2)

在圖2中，泥面線位置處單樁結構物的轉角和位移引起的單樁結構物在泥面線以上的水平撓度

(3)

式中：θ0和y0分別是泥面線位置處單樁結構物立柱的轉角和撓度(圖2)。

綜合式(1)、(2)和(3)，可得圖2中單樁結構物在頂部作用有水平集中荷載時的水平撓度：

(4)

(1) 泥面線位置處單樁結構物的轉角和位移

圖2中以泥面線與單樁結構物的交點為坐標原點，記z是泥面線下樁基礎某點與原點的距離， 即樁基礎的水平撓度。當單樁結構物頂部作用有水平集中力F時，泥面線以下半無限長樁在坐標z處的水平撓度y的控制方程為[16-17]：

(5)

式(5)中物理量的含義可查找文獻[16-17]。

泥面線位置處：

(6)

將式(6)代入式(5)，得出泥面線位置處單樁結構物的撓度：

(7)

在單樁結構物發生小撓度的假定下，單樁結構物軸線的轉角θ在任一點滿足以下關系：

(8)

觀察圖2可發現：

(9)

由式(5)可得單樁結構物軸線在泥面線以下任一點的轉角的正切值為：

(10)

泥面線位置處單樁結構物軸線的縱坐標滿足式(6)，將式(6)代入式(10)，得出泥面線位置處單樁結構物軸線轉角的正切值：

(11)

由式(9)和(11)得出在圖2所示的水平力F作用下，泥面線位置處單樁結構物軸線轉角的正切值為：

(12)

根據式(8)和(12)得泥面線位置處單樁結構物軸線轉角:

(13)

(2) 單樁結構物的水平撓度y(x)F

結合式(4)、(7)和(13)，得出在圖2所示的單樁結構物在頂部作用有水平集中荷載F時，泥面線以上的水平撓度：

(14)

單樁結構物頂端的位移為：

(15)

因此，式(14)代入式(15),得出單樁結構物頂端的水平撓度為：

(16)

1.2 多自由度分析

按照柔度法對圖1的結構進行自振頻率計算。記機艙、輪轂和葉片的總重量為m0，泥面線以上套筒質量為M0。按照集中質量法[20]，在圖3中m1=0.25*M0+m0,m2=0.5*M0。

泥面線以上塔筒高度為h。根據式(16)和(14),圖3中在水平集中力F作用下，集中質量位置處的水平撓度分別為：

圖3 計算m1位置處的柔度系數Fig.3 Computation of flexibility coefficient at the position of m1

因此在圖3中,柔度系數[21]

根據式(16),圖4中在水平集中力F的作用下，集中質量位置處的水平撓度為：

(17)

根據式(14), 圖4中m2以下位置處的撓度函數為

(18)

圖4 計算m2 位置處的柔度系數Fig.4 Computation of flexibility coefficient at the position of m2

(19)

將式(17)和(18)代入式(19)，得：

(20)

因此在圖4中，柔度系數[21]

(21)

(22)

上述柔度系數確定后，即可建立集中質點在慣性力作用下的位移方程，進而根據柔度法計算出圖3和圖4中2個自由度動力系統的自振頻率。

2 算例

圖1中，風力發電機的塔和基礎都假定為彈性模量[18]E=2.1×1011N/m2的鋼材制成的套筒。

套筒直徑d=4 000 mm,泥面線以上高度h=90 m,樁入土110 m。參考文獻[19]中水下樁的樁徑和壁厚的比值，圖1中套筒的壁厚采用52 mm。根據環形截面慣性矩計算公式得I=1.256 m4。因此鋼套筒的環形截面抗彎剛度EI=2.1×1011N/m2×1.256 m4=2.6×1011N·m2。

通過計算，按照鋼材密度7.85×103kg/m3,計算出泥面線以上套筒質量M0=4.5×105kg。機艙重量1.0×105kg,輪轂重量0.2×105kg，葉片重量3×0.1×105kg[19]，則機艙、輪轂和葉片的總重量m0=1.5×105kg。

上述設計參數都是根據相關參考文獻的設計值組合得到的，與文獻[13]的數據相同，但其自振頻率分析沒有考慮樁基礎以及樁土相互作用。這些設計參數是否滿足初步設計要求，需根據現場記錄的荷載統計數據進行套筒的彎曲正應力和剪應力計算，然后根據材料力學的強度理論進行判斷，最后逐步進行精確有限元分析和優化設計。

假設地基土的水平反力系數[16]k=200 kPa，即地基土的水平反力系數比極軟淤泥的水平反力系數還小，根據集中質量法及算例參數可知：

m1=0.25*M0+m0=2.625*105kg，

m2=0.5*M0=2.25*105kg,

h=90m，EI=2.6×1011N·m2，β=0.030m-1

根據柔度法[21]，即可計算出圖1泥面線以上結構的自振頻率(計算過程見附錄的fortran源程序)：

第一頻率為1.141 Hz,第二頻率為8.421 Hz。

3 討論

3.1 與其他算法計算的自振頻率的比較

對于參數完全相同的結構(圖1), 當不考慮樁土相互作用時，牛文杰等[13]使用集中質量法，采用剛度法對近海風力發電機的塔和泥面線上基礎按照2個自由度的動力系統進行自由振動分析, 得到自振頻率，經過驗算，文中M應為(0.25*M0+m0),m應為0.5*M0。重新根據剛度法計算，第一頻率是2.050 Hz,第二頻率是13.559 Hz；根據柔度法計算，第一頻率是1.928 Hz,第二頻率是13.597 Hz。在地面按照9.8sin(4.626t)的規律運動時(單位m)，質點M的位移幅值AM=-15.084 m，質點m的位移幅值Am=-4.505 m。

而本文考慮樁土相互作用，計算出理論上更加精確的自振頻率：第一頻率1.141 Hz,第二頻率8.421 Hz。

3.2 影響自振頻率的因素

在自振頻率的計算過程中，通過觀察知泥面線以上風機結構的自振頻率取決于樁的慣性矩EI、樁徑d、地基土的水平反力系數k、樁基礎入土深度、風機在泥面線以上的高度h及泥面線以上風機的質量分布。

3.3 改進方向

在自振頻率的計算中，文獻[9,22]考慮了葉片、機頭等部件的重力作用，這使得計算結果更加符合實際。在考慮重力作用的情況下，根據柔度法，單樁結構物的水平撓度會增大。實際上也應該考慮塔筒、樁基礎的重力作用，但其計算過程會更加復雜。

另外，對風機整體，當葉片的回轉直徑達到91.6m時，若風力發電機的葉片、機頭等部件簡化為一集中質量塊進行自振頻率的計算，其結果是否合理還需實驗檢驗。風機的支撐結構截面一般都是從下到上逐漸變化的(變小)，還需在今后計算時進行改進。

樁實際上是有一定長度的，樁端的支撐條件對風機體系的自振頻率存在一定影響。本文將樁作為半無限長考慮是一種工程假定，實際近海風機樁基礎的入土深度需要根據近海地質資料、海洋環境荷載和正常使用極限等因素確定。實際工程中地基大多數是由不同巖土層組成的(例如海砂-軟土互層)，因此地基對樁的橫向支撐剛度也必然是隨深度變化的，本文沒有考慮這一變化，與實際情況不符，需在今后加以考慮，例如使用p-y曲線而非張氏法考慮樁土相互作用。樁周土在復雜動應力[23]作用下會發生應力-應變關系的變化，進而影響單樁風機的自振頻率，也需在今后計算中加以考慮[24]。

4 結論

以泥面線以上的風機上部結構為研究對象，給出快速估算近海單樁風機自振頻率的計算方法。按照集中質量法，把泥面線以上的風機結構按照多自由度動力系統進行分析，計算出更加精確的自振頻率值。

觀察自振頻率的計算過程，可知泥面線以上風機結構的自振頻率取決于樁的慣性矩EI、樁徑d、地基土的水平反力系數k、樁基礎入土深度、風機在泥面線以上的高度h及泥面線以上風機結構的質量分布。

)

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附錄 計算圖1泥面線以上結構自振頻率的FORTRAN源程序

REAL M1,M2,H,EI,BETA,F11,F21,F22,F12,LMDA1,LMDA2,OMIGA1,OMIGA2

M1=2.625*100000

M2=2.25*100000

H=90

EI=2.6*100000*100000*10

BETA=0.030

F11=-H*H*H/(6*EI)+H*H*H/(2*EI)+((1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA)+H/(2*EI*BETA))*H+(1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)

F21=-H*H*H*0.5*0.5*0.5/(6*EI)+H*0.5*H*0.5*H/(2*EI)

F21=F21+((1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA)+H/(2*EI*BETA))*0.5*H+(1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)F22=H*H*H*0.5*0.5*0.5/(3*EI)+((1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA)+0.5*H/(2*EI*BETA))*0.5*H+(1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)

F12=H*H*H*0.5*0.5*0.5/(3*EI)+H*0.5*H*0.5*0.5*H/(2*EI)

F12=F12+((1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA)+0.5*H/(2*EI*BETA))*H+(1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)

LMDA1=F11*M1+F22*M2

LMDA1=LMDA1+SQRT((F11*M1+F22*M2)*(F11*M1+F22*M2)-4*(F11*F22-F12*F12)*M1*M2)

LMDA1=LMDA1/2

LMDA2=F11*M1+F22*M2

LMDA2=LMDA2-SQRT((F11*M1+F22*M2)*(F11*M1+F22*M2)-4*(F11*F22-F12*F12)*M1*M2)

LMDA2=LMDA2/2

OMIGA1=SQRT(1/LMDA1)

OMIGA2=SQRT(1/LMDA2)

WRITE(*,*)F11

WRITE(*,*)F21

WRITE(*,*)F22

WRITE(*,*)F12

WRITE(*,*)LMDA1

WRITE(*,*)LMDA2

WRITE(*,*)OMIGA1

WRITE(*,*)OMIGA2

end program

Natural Frequency of Mono-pile Wind Turbine Considering Interaction between Pile and Elastic Foundation

NIU Wen-jie

(SchoolofMechanicsandEngineering,LiaoningTechnicalUniversity,Fuxin123000,Liaoning,China)

In this paper, we analyze the mono-pile wind turbine, comprising blade bodies, a hub, a cabin, a conical shell tower, a transition piece, and a mono-pile foundation. Our study objective was to determine the natural frequency of the mono-pile wind turbine above the mudline. We assumed the conical shell tower, transition piece, and mono-pile foundation to be a vertical steel tube (VST) with a uniform cross section and with the same elastic modulus. We used the lumped-mass method to simplify the mono-pile wind turbine above the mudline as two concentrated masses. One concentrated mass at the VST top is the summation of the mass of the blade bodies, hub, cabin and one-fourth the mass of the VST above the mudline. The other concentrated mass at the middle of the VST is one-half the mass of the VST above the mudline. Taking the mono-pile foundation below the mudline as a semi-infinite long pile, we used Zhang’s method to obtain the horizontal stiffness and rotational stiffness of the pile top. In this way, we can determine the deflection of the VST under horizontal load at any point of the wind turbine above the mudline. The flexibility coefficient of the unit horizontal load at any position of the VST can be determined accordingly. Then, using both the flexibility and lumped-mass methods, we can determine the natural frequency of the mono-pile wind turbine above the mudline. Lastly, with an example, we retrieved the natural frequency value of the mono-pile wind turbine above the mudline. We then compared the analysis result with the mono-pile wind turbine natural frequency obtained without considering the interaction between the pile and elastic groundwork, and found little difference between them. The new theory we propose in this paper is more accurate theoretically and should be validated experimentally.

mono-pile wind turbine; natural frequency; interaction between pile and elastic foundation; flexibility method; lumped-mass method

2016-04-26

遼寧工程技術大學博士科研啟動基金(11-415)

牛文杰(1982-)，男，河南漯河人，副教授，博士，從事近海單樁風機工程中巖土力學、結構力學和流體力學問題的研究。E-mail: nwj1982@sohu.com。

TU352.2; TU411.3; TU473.1

A

1000-0844(2016)05-0713-07

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.05.0713