三維Helmholtz問(wèn)題的間接規(guī)則化邊界積分方程

馬　超，張耀明,2

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院,山東 淄博 255091；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

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三維Helmholtz問(wèn)題的間接規(guī)則化邊界積分方程

馬超1，張耀明1,2

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院,山東 淄博 255091；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

進(jìn)行了三維Helmholtz方程邊值問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界元法研究。使用位勢(shì)問(wèn)題的基本解逼近Helmholtz問(wèn)題的基本解，將Helmholtz問(wèn)題的邊界積分方程的規(guī)則化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為位勢(shì)問(wèn)題邊界積分方程的規(guī)則化問(wèn)題。應(yīng)用已有的三維位勢(shì)問(wèn)題的基本解積分恒等式及規(guī)則化邊界積分方程的極限定理，建立三維Helmholtz方程邊值問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程。此外，本文提出一般參數(shù)表示的幾何邊界上的精確單元的數(shù)值實(shí)施方案，即邊界幾何采用精確單元描述，單元上的邊界量用二次8節(jié)點(diǎn)不連續(xù)插值函數(shù)逼近。數(shù)值算例表明：本文方法在低頻下可獲得很高的計(jì)算精度和效率。

三維Helmholtz方程邊值問(wèn)題；間接變量邊界積分方程；邊界元法；奇異積分

科學(xué)與工程中的許多問(wèn)題，如時(shí)間調(diào)和聲波的散射及電磁波的繞射與輻射等，都可以歸結(jié)為Helmholtz方程的外邊值問(wèn)題。因此，采用邊界元法求解此類問(wèn)題要比域型方法(如有限差分法及有限元法等)更加有效。目前，Helmholtz問(wèn)題的邊界型數(shù)值方法主要是虛邊界元法(類似基本解法)和直接邊界元法[1-5]?；窘夥ㄍㄟ^(guò)虛擬邊界避免奇異積分的計(jì)算，然而虛擬邊界的合理選擇是一個(gè)棘手的問(wèn)題[1-2]，通常靠研究者的經(jīng)驗(yàn)或誤差實(shí)驗(yàn)來(lái)完成。本文致力于三維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界元法研究。與直接法相比，間接法更簡(jiǎn)單、靈活[6-9]。首先，基本場(chǎng)變量和其導(dǎo)數(shù)不直接關(guān)聯(lián)；其次，間接法更容易改變邊界積分方程的形式，以適應(yīng)不同邊界條件的邊值問(wèn)題；再者，基本場(chǎng)變量的梯度方程中不含HFP積分。然而，三維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程至今尚未得到充分的研究。本文在作者已有工作[6-7]的基礎(chǔ)上，建立了三維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程。數(shù)值實(shí)施中，本文建立了一般參數(shù)表示的幾何邊界上的精確單元的數(shù)值實(shí)施方案。具體地，邊界幾何采用精確單元描述，單元上的邊界量用二次8節(jié)點(diǎn)不連續(xù)插值函數(shù)逼近。精確單元的思想(等幾何分析的思想與之類似)最早是由文獻(xiàn)[6]針對(duì)圓域和橢圓域區(qū)域提出的，文獻(xiàn)[7]將其發(fā)展到三維球面、圓環(huán)面等特殊區(qū)域。本文將精確單元的概念拓展到一般參數(shù)表示的幾何邊界上，用2個(gè)外邊值問(wèn)題的算例來(lái)驗(yàn)證方法的可行性。

1　預(yù)備知識(shí)

本文假設(shè)Ω是R3中的有界區(qū)域，Ωc是Ω的補(bǔ)域，Γ=?Ω是其共同的邊界。

1.1Helmholtz方程的外邊值問(wèn)題

(1)

具有邊界條件

(2a)

(2b)

(2c)

三維Helmholtz方程的基本解為

(3)

1.2基本定理

(4)

(5)

2　間接規(guī)則化邊界積分方程

內(nèi)點(diǎn)邊界積分方程為

(6)

(7)

這里，l是任一方向上的單位向量。

(8)

因此，基于式(7)利用引理1和引理2，可得如下規(guī)則化邊界積分方程：

y∈Γ

(9)

y∈Γ

(10)

3　數(shù)值實(shí)施

本節(jié)將建立一般參數(shù)表示的幾何邊界上的精確單元的數(shù)值實(shí)施方案。具體地說(shuō)，邊界幾何采用精確單元描述，單元上的邊界量用二次8節(jié)點(diǎn)不連續(xù)插值函數(shù)逼近。

假設(shè)所考慮問(wèn)題的域的邊界?？杀硎緸閰?shù)形式

x1=x1(s1,s2),x2=x2(s1,s2),x3=x3(s1,s2)，

a≤s1≤b,c≤s2≤d

(11)

現(xiàn)在將區(qū)間[a,b]和[c,d]分別分割成m和n個(gè)子區(qū)間：[ai,bi],i=1,…,m，[cj,dj],j=1,…,n，對(duì)應(yīng)于每個(gè)參數(shù)子區(qū)間[ai,bi]×[cj,dj]的精確幾何單元可表示為

這里

其法向?qū)?shù)可表示為

其中：

在此精確單元上的邊界量φ(x)可用如下二次8節(jié)點(diǎn)不連續(xù)插值函數(shù)逼近：

其中：

-1≤ξ1≤1, -1≤ξ2≤1

這里，α(0,1)，φk為節(jié)點(diǎn)處邊界量的值。

4　數(shù)值算例

考慮2個(gè)外邊值問(wèn)題的數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證方法的精確性、有效性及收斂性。單元幾何采用精確單元來(lái)描述，邊界量采用二次8節(jié)點(diǎn)不連續(xù)插值函數(shù)來(lái)逼近。為了評(píng)估解的準(zhǔn)確性，定義平均相對(duì)誤差為

(8)

計(jì)算時(shí)，取k=1，球面被分成9個(gè)精確單元。表1給出一些內(nèi)點(diǎn)上聲壓u的數(shù)值解與文[2]及精確解的比較。從中可看出：本文結(jié)果與精確解相當(dāng)吻合，比文[2]的結(jié)果精度高得多。圖1給出了邊界點(diǎn)上?u/?n的平均相對(duì)誤差隨邊界單元數(shù)增加的變化曲線，即收斂曲線。

例2單位球體上的脈動(dòng)球源[2]對(duì)于單位球面上振動(dòng)幅值為vn的脈動(dòng)球源，其輻射聲壓理論解為

其中：ρ0為介質(zhì)密度；c為介質(zhì)中的聲速。假設(shè)距離球心r處的輻射聲壓的解析值為

表1　本文內(nèi)點(diǎn)聲壓解與文獻(xiàn)[2]的解及精確解的比較

圖1　邊界?u/?n的相對(duì)誤差收斂曲線

圖2　當(dāng)ka=1(a=1)時(shí)，r=10的球面上內(nèi)點(diǎn)聲壓數(shù)值解的誤差曲面

圖4　當(dāng)ka=70(a=1)時(shí)，r=2的球面上內(nèi)點(diǎn)聲壓數(shù)值解的誤差曲面

5　結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)過(guò)去廣泛實(shí)踐于直接變量的邊界積分方程，本文建立了求解三維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程。在數(shù)值實(shí)施中，本文拓展了已有的精確單元的概念，提出了一般參數(shù)表示的幾何邊界上的精確單元的概念。在精確單元上，邊界量用二次8節(jié)點(diǎn)不連續(xù)插值函數(shù)逼近。2個(gè)外邊值問(wèn)題的數(shù)值算例表明：本文方法簡(jiǎn)單，程序設(shè)計(jì)容易，求解精度高。

[1]向宇，黃玉盈.伸縮虛擬邊界元法解二維Helmholtz外問(wèn)題[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，35(3):272-278.

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[6]張耀明，溫衛(wèi)東，王利民，等.彈性力學(xué)平面問(wèn)題中一類無(wú)奇異邊界積分方程[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(3):311- 321.

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(責(zé)任編輯陳艷)

Regularized Boundary Integral Equation with Indirect Unknowns for 3D Helmholtz Problems

MA Chao1, ZHANG Yao-ming1, 2

(1.School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255091, China;2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

The indirect boundary element method (IBEM) for 3D Helmholtz equation problems was investigated by using the fundamental solution of the potential problem approaching to the fundamental solution of the Helmholtz equation problem. The boundary integral equation for Helmholtz problem was transformed into the boundary integral equation for potential problem, so, we applied the fundamental solution to 3D potential problem and the limit theorem of the boundary integral equation to establish the indirect boundary element method (IBEM) for 3D Helmholtz equation problems. In addition, the numerical implementation of the exact element with the geometric boundary was described by general parametric. Specifically, the geometric boundary was described by the exact element, and the boundary of the element was approximated by the two times discontinuous interpolation function with 8 nodes. Numerical examples with low wave number were investigated, demonstrating the feasibility and efficiency of this method.

3D Helmholtz equation boundary value problem; indirect boundary integral equation; the boundary element method; singular integral

2016-04-28

山東省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(ZR2010AZ003)；工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(GZ13017)

馬超(1990—),男，吉林松原人,碩士研究生,主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究，E-mail: 695539883@qq.com。

format：MA Chao, ZHANG Yao-ming.Regularized Boundary Integral Equation with Indirect Unknowns for 3D Helmholtz Problems[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(10):151-155.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.10.024

O342

A

1674-8425(2016)10-0151-05

引用格式：馬超，張耀明.三維Helmholtz問(wèn)題的間接規(guī)則化邊界積分方程[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(10):151-155.