三羧酸循環Petri網模型的改進與狀態輸出算法

王 龍，李孝忠，李 勇，劉曉琴，趙 朋

（天津科技大學計算機科學與信息工程學院，天津 300222）

三羧酸循環Petri網模型的改進與狀態輸出算法

王 龍，李孝忠，李 勇，劉曉琴，趙 朋

（天津科技大學計算機科學與信息工程學院，天津 300222）

針對已建立的三羧酸循環混合Petri網模型無法獲取循環反應過程中各個階段模型狀態的缺陷，使用混合函數Petri網對原混合Petri網模型進行改進，根據改進后的模型提出狀態算法，并采用簡化模型驗證了模型和算法的有效性.結果表明：使用該算法能夠依順序獲取反應循環過程的前K個階段各個庫所中物質（即反應物）的量，對監控、研究三羧酸循環等生化循環的反應過程提供了極大便利.

混合函數Petri網；三羧酸循環；狀態輸出算法

生物體內所有的化學反應總稱為代謝.代謝反應進而形成生物的代謝網絡，它起到為生物體提供能量、調控、構建等諸多重要的作用.因此，生物代謝的研究一直是生命科學研究的基礎領域［1］.三羧酸循環是生物代謝過程中十分重要的一環，是三種重要生物大分子物質代謝的最終共同途徑，也是這幾種營養物質在體內相互聯系的樞紐.對其進行建模分析能夠為生物體內大分子物質的代謝循環的研究提供極大便利.

Hofest?dt［2］和Reddy等［3］最早提出使用Petri網進行生物網絡的建模.Hofest?dt的研究主要側重于用基本Petri網描述代謝過程，并對Petri網（Petri net，PN）的活性、可達性、P不變量、T不變量等結構特性進行了生物解釋，這為后續研究奠定了基礎. Reddy等則側重于分析，提出了對P不變量、T不變量、有界性等的定性分析.Matsuno等［4］介紹了一種擴展的基本Petri網——混合函數Petri網（hybrid functional Petri net，HFPN），以糖酵解過程為例進行HFPN建模.該模型的特性十分適于生物過程建模. Hardy等［5］提出了使用連續Petri網（continuous Petri net，CPN）對代謝過程進行建模的方法，使用不變量分析對由CPN模型模擬所獲取的數據進行分析，連續Petri網的連續概念同混合Petri網中離散元與連續元的應用有共通處.

文獻［6］用混合Petri網（hybrid Petri net，HPN）對三羧酸循環過程進行了建模，通過仿真能夠獲取反應過程的相關數據.但是，該建模仿真方法存在無法獲取反應過程中各個時間點（或者說反應階段）的反應物狀態的缺點.而按需要提取各個階段反應物的消耗量、剩余量等信息，對代謝反應的研究有著重要的意義.為了彌補這一缺陷，本文在混合Petri網模型的離散變遷中加入兩個函數，將模型改進為混合函數Petri網模型.并根據循環過程中各個反應狀態的數據需求，提出一種優化的狀態輸出算法.

1 建模背景及改進

1.1 三羧酸循環

三羧酸循環是需氧生物體內普遍存在的代謝途徑，又稱為檸檬酸循環.三羧酸循環是生物代謝中一項十分重要的過程，它是三種重要生物大分子物質代謝的最終共同途徑，也是這幾種營養物質在體內相互聯系的樞紐［1］.它的發現是代謝化學最重要的成就之一，然而，代謝網絡相關研究大多集中在糖酵解和尿素循環等過程中，與它們擁有同等重要性的三羧酸循環的建模研究相對較少.因此，本文以三羧酸循環為對象進行建模.

1.2 三羧酸循環HPN模型改進

從HPN定義Σ=（P，T，Pre，Post，h，M0）［7］可知，混合Petri網由庫所、變遷、入射弧、出射弧、混合函數及初始標識六個元組成.僅靠這六元必然無法實現對三羧酸循環分階段輸出各個時間點反應物狀態的要求.

針對獲取代謝循環系統各狀態實時數據的需求，可以對該六元組進行相應改進.首先，為了輸出各階段狀態，就需要一個元組來保存各個階段的狀態值，添加庫所狀態集M，存儲待輸出的反應物狀態.其次，由于是輸出的狀態以時間點進行劃分，故添加時間元tP（Petri time）［8］，表示一個基本時間單位，該時間單位的具體值可根據實際需要賦值；有了基本的時間單位之后，還需要添加抽樣間隔IS（interval of sampling），表示抽樣輸出的間隔所包含的時間單位的個數，該值同樣可按實驗需求自行設定；為了將反應過程分段，加入延遲元D，記錄每個變遷的發生延遲.除此之外，還要為每個變遷加入兩個函數：vI和vD［9］，分別表示該變遷如果發生將會使得相連的庫所中物質增加和減少的量，該函數還用于判斷變遷發生的可能性.在添加了增量、減量函數以及延遲元之后，需要一個集合保存每個變遷的發生條件，因此加入發生條件元C，由布爾函數來區分兩種發生條件.

使用混合函數Petri網［10］，依照上述對HPN的改進，就形成了三羧酸循環的混合函數Petri網模型.

2 混合函數Petri網

2.1 定義

為實現算法，經過改進，將HPN擴展成為十三元組混合函數Petri網，定義為

其中：

P為庫所的非空有限集合，P=｛P1，P2，…，Pn｝；

T為變遷的非空有限集合，T=｛T1，T2，…，Tm｝；

Pre為輸入關聯映射，代表PN圖中由庫所指向變遷的有向弧的集合；

Post為輸出關聯映射，代表PN圖中由變遷指向庫所的有向弧的集合；

h為混合函數，表示系統中結點是離散的（D）還是連續的（C），系統中包含離散變遷T，D、連續變遷T，C、離散庫所PD、連續庫所PC；

M為模型的狀態集合，M=｛M1，M2，…，Mi｝，其中每個元素Mi表示在階段i時，系統中每個庫所的標識或者物質量，Mi=（m1（i），m2（i），…，mn（i））；

M0為系統初始狀態，表示系統初始狀態下各個庫所的值；

D為變遷延遲的有限集合，D=｛d1，d2，…，dm｝，表示相應的變遷在發生前必須等待的延遲時間，只有在延遲為零時，變遷才有可能發生；

C為變遷發生條件的有限集合，C=｛c1，c2，…，cm｝，由布爾函數給出值cm=｛0，1｝，該元控制相應變遷的發生條件，控制機制在后文介紹；

tP為系統的基本時間單元，由于生化反應極其迅速，常規的時間單位表述太過繁冗，故在系統中統一使用tP，表示一個基本時間單元；

IS為取樣間隔，表示兩步計算步驟的時間間隔，由tP的個數表示.當取樣間隔最小時，IS=tP；

vD為消耗速率的有限非負實數集合，vD=｛f1，f2，…，fx｝，其中x=（Pβ，tj），β=1，2，…，n，j=1，2，…，m，x是由庫所Pβ指向變遷tj的弧，vD表示當變遷tj發生時，庫所Pβ中消耗的物質的量；

vI為生成速率的有限非負實數集合，vI=｛g1，g2，…，gy｝，其中y=（tj，Pβ），j=1，2，…，m，β=1，2，…，n，y是由變遷tj指向庫所Pβ的弧，vI表示當變遷tj發生時，庫所Pβ中因生成而增加的物質的量.

2.2 變遷發生的控制機制

生化反應歸根結底是變化的發生，體現在PN系統中就是變遷，因此變遷是非常重要的一環.在以上HFPN系統十三元中，T、Pre、Post、D、C、vD、vI七個元均與變遷有關，其中T、Pre、Post控制變遷在系統中的位置、結構，D、C控制變遷發生的條件，vD、vI控制變遷發生后對系統的改變.為了便于之后運用算法輸出HFPN系統各個階段的狀態，在這里先對變遷發生的控制機制進行討論.

從HFPN定義可以看出，延遲D及發生條件C對變遷的發生進行控制，根據兩者不同的值，系統中變遷的狀態可分為3種，在此引入函數lj代表變遷的狀態值.

（1）當dj＞0或cj=0時，lj=0.此時相應變遷等待延遲歸零或發生條件為真；

（2）當dj=0且cj=1時，lj=1.此時相應變遷立即發生；

（3）當dj＞0且cj=1時，lj=2.此時相應變遷已可以發生，只需等待延遲歸零.

2.3 系統模型改進

根據HFPN系統的定義，對原有的三羧酸循環HPN系統進行相應改進，系統模型如圖1所示.

圖1 三羧酸循環HFPN模型Fig. 1 The HFPN model of TCA cycle

3 HFPN系統狀態輸出算法

為了實現對循環系統狀態的監控，并實時獲取各階段的反應數據，在已建立的三羧酸循環HFPN模型的基礎上，提出如下混合函數Petri網系統狀態輸出的優化算法，使用本算法能夠獲取PN系統前K個狀態中各個庫所包含的物質量（即反應參與物的剩余量）.

3.1 算法

1. 聲明數組T′［z］，賦初值p=0，q=0

3.2 算法內容

該狀態輸出算法可分為三部分.首先對整個模型初始化，為后續計算做準備.由于模型中擁有離散和連續兩種變遷，而這兩種變遷在計算中算法并不相同，故首先對模型的變遷遍歷，將離散變遷與連續變遷區分開并按順序放入新的數組T′中.這一操作使變遷編號發生改變，所以還應對入射弧集合Pre和出射弧集合Post進行相應的調整.然后將變遷函數lj初始化.

為了獲取模型前K個階段的狀態M，接下來對1至K進行for循環計算.mβ（i+1）∶=mβ（i）表示由于還未進行新的點火（fire），每次循環開始各庫所的狀態值應與上一個階段相同.第一部分中已將變遷進行整合排序，這里根據變遷種類將整個循環分為兩個次級for循環.在已建立的三羧酸循環系統中，規定連續變遷不消耗庫所中的托肯值.因此對連續庫所進行for循環，令其狀態值恒等于初始狀態.

接著對離散變遷計算.循環開始討論發生條件cj（i）的值：如果與變遷j相連的前集庫所中物質量大于該變遷將要消耗的值（即fj），則cj（i）=1，反之cj（i）=0.這一操作避免了狀態值出現負數的情況，因為這在生化反應中是不可能發生的.若此時變遷狀態函數lj（i）為零且cj（i）=1，表明變遷的延遲dj仍大于零，變遷需持續等待.已知第i階段變遷延遲dj（M［i］）（其中M［i］表示系統在i階段的狀態集合）和采樣間隔IS，可知延遲過后系統處于第i+｛dj（M［i］）/IS｝-1階段，這樣便可根據發生條件cj（i）的值，對該階段的lj函數賦值（cj=1，lj=1；cj=0，lj= 0）.而在等待延遲過程中各階段（i到i+｛dj（M［i］）/IS｝-2）的lj值應為2.另一方面，如果第i階段lj的值為1，說明此時延遲已歸零，變遷tj已經能夠發生，檢查發生條件是否為真，若cj（i）=1，則變遷發生.變遷tj發生自然對與其相連的庫所的狀態值產生增減變化，為了輸出正確的狀態值，算法接著對M［i+1］進行相應更改.依據定義中變遷tj的消耗速率集vD中的數據fx，將tj的前驅庫所的狀態值減去fx，即mβ（i+1）=mβ（i+1）-fx（M［i］）.同樣，依照變遷tj的生成速率集vI中的數值gy，將tj的后驅庫所的狀態值增加gy，即mβ（i+1）=mβ（i+1）+ gy（M［i］）.至此，算法核心部分，即計算第i階段各庫所的狀態值已經完成.為了對第i+1階段循環繼續進行計算，還需要根據i階段系統的發生對模型狀態的改變，對變遷狀態函數lj（i+1）賦值：若此時延遲dj不為零，則lj（i+1）=0，反之lj（i+1）=1.

在主體for循環的最后將每階段的計算結果，即第i階段過后所有庫所的狀態值M［i+1］輸出，表示為M［i+1］=（m1（i+1），…，mn（i+1））.同時該數據也作為初始狀態進入下一輪循環.

4 算法應用

為便于檢驗算法的正確性，根據三羧酸循環HFPN模型，取其中核心的八步循環反應構建如圖2所示簡化模型.其中

圖2 三羧酸循環簡化模型Fig. 2 Simplified model of Krebs cycle

由于三羧酸循環涉及的反應物量的準確數據缺乏，且這里僅為驗證算法，故將反應參與物的量設定為易于計算的整數.

由算法可知，離散庫所中物質的量不會因離散變遷的發生而改變，因此僅取模型中連續庫所與連續變遷部分進行算法的檢驗.模型中混合函數h皆為C.

此外，為節約計算時間，將采樣區間設為最小，即IS=tP；將所有變遷的發生條件C的初值都設為1，這樣可使系統盡快進入計算階段.

將該模型數據帶入狀態輸出算法，經過計算，輸出的模型前8個階段狀態如下：

5 結 語

前期工作中針對生物代謝網絡的特性提出了新生物代謝網絡建模步驟，并據此對三羧酸循環建立了混合Petri網模型.為了實現對代謝循環反應過程的監控，獲取生化反應各個階段中各個反應參與物的狀態，本文針對這一需求，對原HPN模型進行了改進，添加數個函數及元，將原有的六元HPN擴展稱為十三元混合函數Petri網模型，并提出相應的HFPN系統狀態輸出算法.代入簡化模型可知算法是可行的，通過生化反應方程式的計算驗證了算法的正確性，實現了輸出反應各階段物質狀態的目標.

獲取代謝循環反應過程中各階段的反應物狀態數據，能夠為生化反應的實時監控、反應調控、結果預測等提供極大便利.同時，使用計算機對循環反應過程進行建模以及仿真分析，相對于傳統生物實驗對于實驗環境、實驗器材、實驗時長的嚴格要求，節省了大量的物質成本，而且計算機對反應的快速仿真與計算也節約了可觀的時間成本.

文中的HFPN系統狀態輸出算法雖然是基于三羧酸循環模型提出的，但由于生化反應方程的相似性，該算法在其他生物反應網絡、生物代謝循環的建模分析中同樣可以發揮作用，但也存在連續性數據輸出表述方面的不足，以后可在此方面進一步研究.

［1］ 查錫良. 生物化學［M］. 2版. 上海：復旦大學出版社，2011：109-217.

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［3］ Reddy V N，Liebman M N，Mavrovouniotis M L. Qualitative analysis of biochemical reaction systems［J］. Computers in Biology and Medicine，1996，26（1）：9-24.

［4］ Matsuno H，Fujita S，Doi A，et al. Towards biopathway modeling and simulation［J］. Lecture Notes in Computer Science，2003，2679：3-22.

［5］ Hardy S，Robillard P N. Petri net-based method for the analysis of the dynamics of signal propagation in signaling pathways［J］. Bioinformatics，2008，24（2）：209-217.

［6］ Li X Z，Wang L，Liu Y，et al. The modeling of the Krebs cycle based on hybrid Petri net［C］//Fang X W. Proceeding of the 11th International Conference on Natu-ral Computation（ICNC'15）. Changsha：University of Hunan Press，2015：1187-1191.

［7］ 吳哲輝. Petri網導論［M］. 北京：機械工業出版社，2006：181-209.

［8］ Castellini A，Franco G，Manca V. Hybrid functional Petri nets as MP systems［J］. Natural Computing，2010，9（1）：61-81.

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［10］ Baldan P，Cocco N，Marin A，et al. Petri nets for modeling metabolic pathways：A survey［J］. Natural Computing，2010，9（4）：955-989.

責任編輯：常濤

State Algorithm and Improvement of the Petri Net Model of the Krebs Cycle

WANG Long，LI Xiaozhong，LI Yong，LIU Xiaoqin，ZHAO Peng
（College of Computer Science and Information Engineering，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China）

The established hybrid Petri net model of Krebs cycle in our preliminary work has a defect，so it is unable to get the model state of each period in the cyclic process.Aiming at remedying it，the original model has been improved with the hybrid functional Petri net.According to the improved model，a state algorithm is put forward and verified by a simplified model.Thus，the capacity of each place，i.e the quality of the reactants，in the first K phases of the cyclic reaction can be obtained and put out in sequence，which helps a lot in monitoring and studying the course of reaction of the Krebs cycle.

hybrid functional Petri net；the Krebs cycle；state algorithm

TP399

A

1672-6510（2016）05-0063-06

10.13364/j.issn.1672-6510.20150210

2015-11-16；

2016-02-04

國家自然科學基金資助項目（61070021，11301382）

王 龍（1990-），男，河南鄭州人，碩士研究生；通信作者：李孝忠，教授，lixz@tust.edu.cn.

數字出版日期：2016-07-11；數字出版網址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1355.N.20160711.1612.008.html.