淺談數學教學中逆向思維的培養

劉銘韜?沈奇男?朱紅亮

摘 要：逆向思維在數學教學中有著十分重要的應用，對學生思維能力的培養，創新和開拓能力的提高都有很大幫助。本文從逆向思維的邏輯關系出發，探討了逆向思維能力在數學教材和數學教學過程中的具體體現和應用，并提出了在數學教學中保障學生逆向思維能力培養的具體辦法。

關鍵詞：逆向思維；數學教學；邏輯關系；應用

Discussion on Training of Reverse Thinking of Mathematics Teaching

Abstract： Reverse Thinking has very important applications in mathematics teaching， which provides a great help for training students thinking ability， and improving the innovation and development capacity. From the logic of reverse thinking， this article discuss the concrete manifestation of reverse thinking ability in mathematics Textbooks and mathematics teaching.

Keywords：reverse thinking；mathematics teaching；logic relationship；application

逆向思維是一種重要的數學思維，是孕育創造性思維的萌芽，逆向思維能力的掌握對解決生活和學習中面臨的問題提供了一種主動、積極的思維方法[1]。在數學教學中，逆向思維對學生提高數學學習興趣、培養學生創新意識有很大幫助，是學生學習和生活必備的一種思維品質[2-3]。然而，在數學教學實踐中更注重正向思維的培養，而淡化逆向思維的重要性，久而久之造成學生學習數學循規蹈矩、順向定性的去認識和感知數學，缺乏創造能力和分析能力，這種思維方式也隨之應用于生活和其它學習中，極大阻礙了學生思維能力的拓展和對新生事物的認知力和適應力[2]。因此，在數學教學中要充分認識逆向思維的重要性，強化學生數學方面逆向思維的培訓，完善學生的數學知識構架，激發學生的求知欲和創新精神。本文從逆向思維的重要性和數學教學中逆向思維的意義出發，探討了數學教學中如何培養學生逆向思維的方法。

1 逆向思維的邏輯關系

“反其道而思之”是逆向思維的精髓，即從事物發生的對立面或者結果對事物進行分析，從問題結論出發對問題進行探索的思維方式。逆向思維是與正向思維相對立的，其將正向思維認知的事物在思維上向對立面方向發展，打破習慣性的沿著事物發展的方向去思考和分析事物，而是從事物產生的結果或者效應反向思考和推斷事物和結果之間的辯證效應，尤其面對一些特殊問題，從結論反向推斷，逆向思考，反而會使問題簡單化[1-3]。逆向思維的優點在于行業需求的普遍性、對正向思維的批判性和思維方式的新穎性，逆向思維的培養往往會增強你對事物認知的興趣，提高自身開拓能力和創新能力，試想一下，當大多數人以習慣性的正向思維方式去看待事物或思考問題，而你運用逆向思維方式思考和解決問題，以“出奇”達到“制勝”，這種效果就會使你在行業競爭、就業選擇中脫穎而出。

數學中逆向思維的應用可以分為宏觀逆向思維方法和微觀逆向思維方法。從辯證唯物主義來講，事物都是對立存在的，往往互為因果，這就為分析和思考事物提供了兩種思維方法——正向思維方法和逆向思維方法，宏觀逆向思維方法就是從事物的辯證特性出發，突破思考框架、擺脫思維定律，形成用逆向思維去解決數學問題的思維認知，歐幾里得的《幾何原本》就是宏觀逆向思維的產物。微觀逆向思維方法是針對性解決一個數學問題，數學證明中的反證法、舉反例法都是逆向思維的體現。

2 數學教學中的逆向思維培養

學生逆向思維的培養對于提高學生創新能力、培養學生興趣愛好、加強對事物的認知能力至關重要。在數學教學中，除了學生正向思維的培養外，要消除思想束縛，大膽嘗試和訓練學生的逆向思維能力，在數學教學中加強對學生逆向思維的培訓，養成逆向思維思考問題的習慣，并且與正向思維相結合，雙向思維進行數學問題的理解和思考，是培養學生數學能力的一種體現，更是培養學生創造性思維的一種重要途徑。

2.1 數學定義的正、逆思維理解

學生對數學定義的理解即是一個對新事物認知的過程，在數學教學過程中，由于老師往往以正向思維方法對數學定義進行闡述，學生對數學定義的理解僅停留在數學定義的字面意思，而缺少對定義深部的挖掘和理解。在教學過程中利用正、逆思維對學生進行數學定義的分析和講解，列舉反例，引導學生利用定義進行反向思考，判別異同和是非，培養學生的逆向思維能力。

例1：已知函數是R上的單調遞減的奇函數，若，求a的取值區間？

解答：

變形為

∵是奇函數

∴，∴根據奇函數定義∴

又∵函數遞減，∴

解得

2.2 數學公式、法則的逆向推斷

數學公式和法則是揭示相關數量間數學關系的銜接橋梁，數學公式和法則本身上是具有正、逆兩向的，正向公式和法則的運用必然會產生等量關系的建立，而數量間已經產生的定量關系也是公式和法則的逆向體現。學生對公式和法則的理解，受到固定正向思維的影響，僅僅停留在相關數量間等量關系的建立，而缺乏對公式和法則的推斷、變形，更不會去利用逆向思維對公式、法則進行思考和分析。在解題過程中，除了公式、法則的正向運用外，常常面臨公式、法則的逆向運用，而學生逆向思維的缺乏，增加了解題難度。

例2：已知，，求的值？

解答：=27/16

該題運用的主要為同底數冪除法性質和冪的乘方性質，逆向思維進行計算，不僅提高了運算速度，而且對結果的正確性更有把握，如果利用正向思維進行解答，這道題無從下手。類似題目的練習不僅提高了對公式、法則的認識和熟練程度，還在很大程度上培養了學生逆向思維的能力。

2.3 數學解題方法中正、逆思維的運用

數學是一門靈活學科，對于數學問題的解答存在多種方式，但歸結起來就是正向解題和逆向解題方法，其中逆向解題法主要有逆推分析法，間接法，（排除法），等，逆推法主要運用與條件證明結論的數學問題中，反證法是經典的逆向解題方法，而間接法主要運用在選擇題中。

1.逆推法的運用，對于條件推斷結論的數學問題來說，從僅有的條件出發，數學問題往往不知從哪下手，很容易出現思維瓶頸，造成結論解答的困難。而逆推法是從結論出發，逆向推斷結論產生所需的條件，這樣往往可以簡化問題，明確解題思路，并且能培養學生的逆向思維能力和解答類似數學問題的興趣。

2.反證法的運用，首先假設結論不成立，然后利用已有的定義、公式或者法則證明結論的不成立與題目條件相矛盾，從而證明命題成立。該方法是一種很實用的證明數學命題方法，并且對培養學生逆向思維能力有很大幫助。

例3：證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度。

反證法解答：假設命題不成立，即三角形三個內角都大于60度；

則三個內角和必然大于180度；

這與定理“三角形內角和等于180度”相矛盾；

所以假設不成立，故原命題得證。

3.間接法（排除法），這種方法主要應用于數學競技考試中，對于一個選擇性的數學問題，正向思維解題尋找答案耗費時間較長，并且容易出錯，而在競技考試中時間是最重要的，所以可以選用將答案選項帶入題目中，進行錯誤答案排除法。

例4：當b=1時，關于x的方程有無數多個解，則a等于（ ）

A：2；B：-2；C：-2/3；D不存在

該題目是典型的競技考試選擇題類型，如果正向思維解題，將b值帶入方程，并進行化簡和求解，耗費大量時間。而運用逆向思維方法，將答案帶入到題目中，很快就會發現答案應選A。

3 逆向思維培養的保障

學生逆向思維的培養關鍵在于數學教學中逆向思維的日常培訓，如何保障學生逆向思維的培養是數學教學需要探討的重要問題。學生逆向思維的形成與提升主要受到周邊環境的影響，這些環境包括教師教育理念、學校學習氛圍、學生興趣培養等等，不同環境影響下的學生對數學理念的認識、問題的處理和興趣的培養有著不同的見解程度，這對學生隨后的學習和生活起到很大程度的影響。數學逆向思維的培養，教師的教育理念至關重要，因為學生的思維方法受到老師的影響程度深，先進的教育理念重視運用正、逆思維思考和解決數學問題，尤其在數學定義、公式和法則的認識和講解中，重視逆向思維的運用，并且在日常訓練中，有意加深對逆向思維的練習。學校學習氛圍是培養學生運用逆向思維思考興趣的平臺，學校注重學生的逆向思維培養，構建逆向思維訓練對象和競賽，培養學生的逆向思維興趣。

4 結 論

數學教學中逆向思維的培養，對提升學生學習興趣，激發學生創新能力和思維能力，對學生的學習和生活具有重要意義。培養學生的正、逆思維能力，可以在解答數學問題的時候，尋求更便捷的解題思路，克服了學生正向思維的固定思考模式。學生逆向思維的培養是個復雜過程，注重數學教學中逆向思維的培養，充分認識到逆向思維的學生思想、創新能力的重要性，從數學學習的興趣培養中構建學生的逆向思維體系。

參考文獻

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[3]許娟娟. 數學教學中逆向思維能力及其培養[J]. 基礎教育研究，2012，（3）上：44-46

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[6]趙春雨. 高中數學教學中逆向思維的培養研究與實踐[D]. 吉林師范大學，2015