基于Bezier曲線的離心壓縮機葉片設計

王友濤　孫洪玉　張磊

基于Bezier曲線的離心壓縮機葉片設計

王友濤*孫洪玉張磊

（大連理工大學化工機械與安全學院）（中國特種設備檢測研究院）

利用Bezier曲線將子午面型線參數化，設計出滿足需要的葉輪子午面型線。在已知葉片進出口安裝角和包角的情況下，給出一種基于子午面型線長度的葉片角設計方案。采用CFD方法對所設計的三種離心葉輪進行性能計算，并對比三種葉輪的優劣。通過對比可知，當輪轂葉片角分布采用前部加載式、輪緣葉片角分布采用中間加載式時，葉輪有較好的性能和較均勻的葉片載荷分布。

離心壓縮機Bezier曲線葉片角葉輪性能計算

0　引言

離心壓縮機葉輪的設計通常可以分為獨立的兩個階段。第一階段為初步設計階段，利用一維流動分析理論，充分考慮壓縮機內部各種損失，結合已有的設計經驗，得到葉輪的基本參數。這些參數主要有葉輪進出口寬度、葉輪軸向長度、葉輪入口輪緣輪轂半徑和葉片進出口葉片角等。第二階段為詳細設計階段，給出詳細的葉輪流道幾何形狀以及全流向范圍內的葉片角分布。詳細設計過程中，設計者需要不斷調整葉片和流道的形狀，以得到一個既滿足性能需求又滿足低應力要求的葉輪。

離心壓縮機詳細設計過程中，如何用參數曲線去表達葉片的幾何形狀，一直是研究的重點。早期的學者多采用圓錐曲線或圓錐曲線的改進形式去描繪葉片的形狀［1-3］。這些方式都不能作為一種通用的葉片形狀表達方式，直到Casey給出了一種新的葉片型線定義方法，即利用Bertein-Bezier多項式來定義葉輪流道的形狀。利用Bezier曲線來設計葉輪型線有如下優勢：葉片曲面是由解析方程定義的，可以系統地對子午面形狀加以改進，并且解析方程是可以進行任意次的連續求導；方程的形式簡單，可以方便地求得葉片和葉道上點的坐標［4］。這一新的葉片型線定義方法為離心壓縮機葉片幾何形狀設計提供了一種簡單而準確的設計方法，從此該方法廣泛應用于離心壓縮機葉輪的設計中。

離心壓縮機葉片角的分布方式對葉輪的性能有著至關重要的影響。在葉片進口角和出口角確定的情況下，葉片角的分布直接地影響葉片表面的載荷分布，進而影響葉道內氣體的流動，最終會影響葉輪的性能及其使用壽命。

對于葉片角的設計，葉片角為因變量，自變量一般是軸向相對位置或徑向相對位置。當選擇軸向坐標值為自變量時，葉片出口附近葉片角沿徑向方向梯度變化太大；當選擇徑向坐標值為自變量時，葉片進口附近葉片角沿軸向方向梯度變化太大。

綜上所述，本文提出一種以子午面型線相對長度為自變量的葉片角設計方法。以子午面型線相對長度作為自變量時，全范圍內葉片角變化比較平緩，相對易于控制，不會引起葉片結構的突變。

1　葉輪結構設計

1.1葉輪初始參數

Eckardt葉輪是由德國宇航中心設計制造的葉輪，這是一種典型的半開式徑向葉輪。德國宇航中心對該葉輪進行了一系列實驗，探究了葉輪的性能，獲得了葉輪流場的具體細節。由于Eckardt葉輪具有詳細的實驗資料，長久以來被許多科研工作者當作研究對象。在實驗中該葉輪的下游是一個等面積無葉擴壓器，其作用是避免葉輪下游的非穩態流動對葉輪內部流動產生影響［5］。葉輪轉速最大可達到27 000 r/min，對應的壓縮機的滯止壓比為7。葉輪為半開式，由鋁合金銑成，有20個葉片。由于受離心力作用和材料熱膨脹效應的影響，其葉頂間隙是變化的。當轉速為0時，葉頂間隙為0.8 mm，達到最大轉速時為0.25 mm［6］。葉輪出口安裝角為90°。葉輪后部無葉擴壓器的徑比為2（r3/r2）。表1列出了Eckardt葉輪子午面結構的基本參數。后續的子午面型線和葉片角以此為基礎進行設計。1.2子午面型線設計

1.2.1Bezier曲線理論

Eckardt葉輪給出了葉輪進出口的尺寸，卻沒有給出葉輪子午面輪轂和輪緣的型線。為了下一步葉片角的設計，采用Bezier曲線對輪轂和輪緣型線進行參數化。

表1　Eckardt葉輪子午面結構參數

如圖1所示，本文采用五點四次Bezier曲線來描述葉輪子午面型線。Bezier曲線的參數方程為：

圖1　五點四次Bezier曲線

當確定了Bezier多邊形上五個點（控制點）位置時，即可確定葉輪子午面型線［7］。以子午面輪轂曲線為例，其各控制點位置的求取過程歸納如下：

（1）點0和點4的位置。該兩點的位置可以由葉片子午面基本參數確定。所需條件為輪轂半徑r1h、葉輪軸向長度以及葉輪出口半徑。

（2）點1和點3的位置。根據四次Bezier曲線的性質，多邊形的邊0-1和邊4-3的斜率為曲線端點處的斜率，長度為端點處的ds/du值（曲線弧長s對參數u的伸縮率）的1/4。因此，給定了曲線端點處的斜率，就可給定點1和點3的方向，而給定端點處ds/du不同的值，可使點1和點3沿這兩條邊滑動，從而在一定程度上改變曲線的形狀。實際操作過程中ds/du難以給定，一般通過給定dr/ du或dz/du來代替。

（3）點2的位置。點2的位置影響二端點處的曲率，需要給定兩個端點處的曲率。

1.2.2輪轂輪緣型線設計

圖2所示為用Bezier曲線設計的葉輪子午面型線。H0、H1、H2、H3和H4為子午面輪轂曲線的控制點，S0、S1、S2、S3和S4為葉輪子午面輪緣曲線的控制點。各控制點的坐標如表2所示。

圖2　葉輪子午面

表2　輪轂和輪緣型線Bezier曲線控制點坐標

1.3葉片角設計

1.3.1葉片角的定義

圖3為離心壓縮機葉片角定義圖［8］。圖3中，坐標系z軸與葉輪中心軸軸線重合。圖3（a）中左側虛線框為離心壓縮機葉輪子午流面，每一個子午流面過葉輪軸心，形狀尺寸完全相同，描繪了葉輪的截面形狀。右側虛線框為另一個葉輪子午流面，與葉片中型面相交，H是交線上的一個點。實線框為葉片中型面所在的位置，其前緣和初始子午面的葉片入口重合。

M位于軸z上，與H有著相同的軸向坐標。以M為原點，MH為半徑作圓弧，該圓弧交葉輪初始子午面于點R，則MH和MR之間的夾角為葉片H點的周向角，記為θi。圖3（a）右下角為點H附近的局部圖，其中HS為過點H子午面型線的切線方向，而HL為葉片中型面型線的切線方向，HS和HL之間的夾角為葉片角，記為β。而α為HS方向與葉輪軸向（即z向）間的夾角。

圖3　離心壓縮機葉片角定義

根據lrel的定義方式，可知它的值域為0到1。

圖3（b）中Hi和Hi+1為葉片中型面型線上的兩點，其距離為dH。對應的子午面上，兩點對應的子午面型線距離為dm。而dz為兩點在葉輪軸向間的距離。由幾何關系可知：

φi+1為Hi和Hi+1兩點在周向間的夾角，而ri+1為點Hi+1處的葉輪半徑。

1.3.2葉片角的設計

在葉輪基本結構參數確定的情況下，給定葉輪進口和出口安裝角β1、β2，則葉輪做功量是一定的。即在此基礎上，任意改變葉輪葉片角的分布，葉輪的加功量保持不變［9］。在此理論基礎上給出一種葉片角加載方式。

積分葉輪子午流線表達式，可以得到流線的長度l（u）。令流線總長度為l，定義流線相對長度lrel=l（u）/l。可知lrel的值域為（0，1），0對應葉輪進口位置，1對應葉輪出口位置。給定葉輪進口和出口安裝角β1、β2，葉片型線上一點對應的葉片角為β，則葉片相對角度的定義為：

由式（4）可知，相對角度βrel的值域為（0，1），葉輪入口處對應βrel=0，出口處對應βrel=1。

圖4為四種典型的葉片角分布方式，分別為前部加載式、中部加載式、均勻加載式和后部加載式。不同的葉片角加載方式對應著葉輪內部不同的加功方式。例如，葉片角前部加載方式對應著葉片前部角度變化較大，相應的葉輪加功量也比較大。分別為葉片的輪轂和輪緣選擇合適的葉片角加載方式，可使葉片得到良好的葉片角分布。

圖4　葉片相對角度加載方式

1.3.3葉片周向角的計算

由圖3可知，葉片角β和周向角θ間存在著一定的幾何關系。這種關系可以用公式表述成：

由式（5）可知，如果已知葉輪子午面流線（可以是輪轂或輪緣線）上的葉片角分布，則可計算出相應葉片中型面對應的周向角。其求取的積分式為：

式（5）和式（6）中，0和1分別代表子午面流線的進口和出口。而r為葉片角為β的點所對應的葉輪半徑值，例如圖3中點H處葉片角為β，而線段MH的長度即為其對應的葉輪半徑值。

由以上的分析可知，如給定子午面上流線的葉片角分布，可以求出其對應的葉片中型面上對應的葉片型線。其具體的操作步驟可歸納如下：

（1）采用參數化方法對葉輪子午面型線進行設計，如Bezier曲線。在子午面型線上設定若干個計算點，如在Bezier曲線上取自變量u值進行等間距取值，即可將子午面型線劃分成多個線段。求取葉輪入口到每一個計算點弧長占子午面型線總長的比例，即可求出各計算點的相對弧長lrel。

（2）按某種葉片加載規律來設計葉片角的分布，得到各個計算點i的葉片角βi。按照圖3（b）的幾何關系可求取計算點i和計算點i+1之間的周向夾角φi+1。求取公式如下：

（3）求出了各計算點間周向相對角度后，通過簡單的累積求和即可求出葉片型線上點的周向角：

由式（8）即可計算出型線上各離散點的周向角，即可在空間中定位葉片的型線。

1.3.4葉輪模型建立

葉片輪轂處的葉片角分布方式一般采用前部加載式，而輪緣處的加載方式則有多種。在滿足輪轂處為前部加載式的條件下，根據輪緣處葉片角分布方式的不同，本文建立三個葉輪模型。這三個葉輪模型的輪緣處葉片角加載方式分別為后部加載式（Ⅰ）、中間加載式（Ⅱ）和均勻加載式（Ⅲ）。葉輪給定葉片厚度為2 mm，入口安裝角設定為28°。

2　離心壓縮機數值模擬

2.1單通道葉輪網格建立及獨立性驗證

葉輪模型的網格劃分采用turbogrid軟件。劃分網格的過程中，建立葉輪進口區域和無葉擴壓器區域的網格，以便于后續的模擬。圖5為葉輪模型（葉輪Ⅰ），圖6為葉輪出口處結構網格示意圖。

圖5　葉輪模型（葉輪Ⅰ）

圖6　葉輪出口處結構性網格（葉輪Ⅰ）

計算中葉輪邊界條件如圖7所示。具體設計如下：（1）葉輪進口條件設置為進口總壓101 330 Pa，總溫288 K。（2）葉輪出口邊界條件設置為流量邊界。（3）葉輪部分轉速為14 000 r/min，入口部分和擴壓器設置為靜止，動靜區域交界面設置為frozen rotor。作為單葉道模型，入口部分、葉輪部分以及擴壓器部分的周向邊界設置為周期性邊界條件Rotational Periodicity。

圖7　葉輪計算模型邊界條件設置

對葉輪的數值計算采用單葉道進行計算。在此需要對計算所采用的模型進行網格無關性驗證，以保證網格密度不會對數值計算結果產生影響。葉輪采用前述建立的葉輪Ⅰ。根據葉輪網格密度的不同，建立了四個計算模型，分別標記為Ⅰ-Ⅰ、Ⅰ-Ⅱ、Ⅰ-Ⅲ和Ⅰ-Ⅳ。表3記錄了四個計算模型不同計算區域網格數。

表3　計算模型網格數記錄表

通過數值模擬得到四個計算模型的葉輪性能曲線，如圖8所示。由效率曲線可知，四個葉輪的效率曲線在中等流量和小流量范圍內基本重合。在大流量范圍內，網格數目越多，對應得到的效率值越高。其中葉輪Ⅰ-Ⅲ和葉輪Ⅰ-Ⅳ在全流量范圍內效率值相當。

由壓比曲線可知，全流量范圍內，葉輪總壓比隨著網格數目的增加而升高。其中葉輪Ⅰ-Ⅳ相對于葉輪Ⅰ-Ⅲ的壓比升高的值較小。綜上所述，葉輪Ⅰ-Ⅲ的網格數目能夠比較準確地描繪葉輪的性能，同時能夠節省計算資源。所以選擇葉輪Ⅰ-Ⅲ的網格數目作為后續計算的網格劃分標準。

圖8　葉輪性能曲線

2.2壓縮機性能對比

葉輪Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的性能曲線如圖9所示。由等熵效率曲線可知，三個葉輪在中間流量處等熵效率基本重合。大流量工況下，葉輪Ⅱ效率略低一些。由總壓比曲線可知，全流量工況下，葉輪Ⅱ能獲得較大的壓比。綜合可知，葉輪Ⅱ的性能要優于葉輪Ⅰ和葉輪Ⅲ，特別是在中等流量工況下，葉輪Ⅱ能高效地獲得高壓比。

圖9　葉輪性能曲線

由圖10可知，葉輪Ⅱ和Eckardt葉輪在全流量工況下，壓比較為接近。低流量工況下，兩者非常接近。在流量4.0～6.0 kg/s范圍內，壓比最大差值為6.3%。

進一步的分析如表4所示，在低流量和中等流量工況下，葉輪Ⅱ和Eckardt葉輪的效率值和總壓比的差值都小。大流量工況下，葉輪Ⅱ和Eckardt葉輪效率值和總壓比的偏差較大，等熵效率的最大差值為10.6%，總壓比的最大差值為6.4%。由以上的分析可知，葉輪Ⅱ和Eckardt葉輪在性能上非常相近，但葉輪Ⅱ的有效工作區域略小。

2．3壓縮機葉片載荷對比

圖11為葉輪Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ在50%葉高處葉片表面靜壓分布曲線。同一組曲線，位于上方的是壓力面靜壓曲線，下部的為吸力面靜壓曲線。從圖中曲線的分布規律可知，葉輪Ⅰ和葉輪Ⅲ在葉輪流向全程靜壓分布較為一致，僅在流向后部（0.8～1.0）處吸力面靜壓分布略有差別。葉輪Ⅱ的靜壓分布和葉輪Ⅰ、Ⅲ的分布有較大區別。吸力面上，葉輪Ⅱ的靜壓增長更加均勻，在流向前部（0.15～0.7）其靜壓值略低于葉輪Ⅰ和Ⅲ，后部（0.7～1.0）其靜壓值略高于葉輪Ⅰ和Ⅲ。壓力面上，在流向位置0.3以前，葉輪Ⅱ的靜壓值相對要低一些；而在流向位置0.3以后，葉輪Ⅱ的靜壓值呈直線狀態均勻上升，高于其它葉輪；葉片尾緣區域，三個葉輪的靜壓相當。綜合以上的分析可知，葉輪Ⅱ葉片壓力面和吸力面壓力分布均勻，有更好的葉片載荷分布。

圖10　葉輪Ⅱ與Eckardt葉輪的壓比曲線

表4　不同工況點葉輪Ⅱ和Eckardt葉輪性能比較

圖1150　%葉高下葉片表面靜壓分布

3　結論

利用Bezier曲線建立了離心壓縮機葉輪子午面輪轂和輪緣型線。基于子午面型線相對長度給定了多種葉片角分布方式。建立了三種輪緣葉片角不同分布方式的葉輪模型，對其性能和葉片載荷進行了對比。通過對比可知，當輪轂葉片角分布采用前部加載式、輪緣葉片角采用中間加載式時，得到的葉輪有著較好的性能和較均勻的葉片載荷分布。

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Design of Centrifugal Compressor Blade Based on Bezier Curve

Wang YoutaoSun HongyuZhang Lei

Based on the Bezier curve，the streamline of the meridional plane is parameterized and the designed streamline of the meridional plane of the blade meets the requirements.A designing scheme of the blade angle on account of the length of the streamline of the meridional plane is provided while the setting angle of blade and the wrap angle are known.The performance computation is carried out through CFD method on the three different blades and their strengths and weaknesses are compared.The results show that the blade has better performance and more uniform loading distribution when the blade angle of the wheel hub adopts the front loading type and the blade angle of the rim adopts the middle loading type.

Centrifugal compressor；The Bezier curve；Blade angle；Blade；Performance calculation

TH 45

10.16759/j.cnki.issn.1007-7251.2016.10.002

2016-04-15）

*王友濤，男，1989年生，碩士。大連市，116024。