射彈動力學方程的修正與超空泡形態

何生生侯坤元劉詩琪吳明和滕保華

（1電子科技大學微電子與固體電子學院，四川成都 610054；2電子科技大學通信與信息工程學院，四川成都 610054；3電子科技大學物理電子學院，四川成都 610054）

射彈動力學方程的修正與超空泡形態

何生生1侯坤元2劉詩琪2吳明和3滕保華3

（1電子科技大學微電子與固體電子學院，四川成都 610054；2電子科技大學通信與信息工程學院，四川成都 610054；3電子科技大學物理電子學院，四川成都 610054）

超空泡的形成對水下高速射彈運動有著非常重要的影響，為了更加全面地反映超空泡對水下射彈運動的作用以及超空泡的形態變化規律，通過對通常的射彈動力學方程進行修正，并結合Logvinovich原理，得到了在超空泡的影響下水下射彈的速度和位移的解析表達式，同時結合數值仿真研究了水下射彈運動過程中產生的超空泡形態的變化規律.解析分析和數值仿真結果表明，如果修正項系數越大，將導致射彈速度衰減得越快，完整空泡擴展時間越短，空泡長度越小，以及最大空泡截面半徑越小，從而越不利于超空泡的形成.

射彈動力學方程；超空泡；Logvinovich方程

通常水下射彈在高速運動時，伯努利效應將導致其周圍流體的壓力急速下降.當壓力低于當前溫度下飽和蒸氣壓時，就會有蒸氣形態的空泡形成.當射彈速度足夠高時，空泡形成包絡，即形成超空泡.超空泡將射彈包裹在其中，使射彈只有少數幾點與周圍流體直接接觸，使得射彈在超空泡中的運動阻力遠小于在水中的阻力，從而為提高射彈水下運動速度提供了一個非常有效的途徑［1-4］.

目前關于超空泡形態的研究，一方面基于相關的經驗公式進行數值仿真研究［5-7］，另一方面也可根據相關原理并結合實驗，解析和定量描述超空泡形態［8-10］.比如李魁彬等人利用Logvinovich原理和Riabouchinsky空泡閉合模型，研究了空泡形態的一些動力學問題，并分析了首尾壓差對射彈速度的影響以及射彈運動時間對完整空泡擴展時間的影響等［8］.本文通過計入一階阻尼項，修正了通常的射彈動力學方程，并解析分析了修正項對超空泡形態的影響.

1 理論分析

以射彈初始點為坐標原點建立絕對坐標系x Oy，以射彈空化器為坐標原點建立射彈相對坐標系x Oy，x軸正方向為射彈的運動方向，絕對時間軸t的相反方向為射彈相對坐標系的相對時間軸tx，如圖1所示.

圖1 射彈體運動圖示

通常的射彈動力學方程［8］為其中，v為絕對坐標系中射彈的速度；t為絕對坐標系的時間；m為射彈的質量；ρ為水的密度；Rn為空化器的半徑；Cx0為σ=0時的阻力系數；patm為大氣壓；H為射彈在水中的深度；g為重力加速度；pc為飽和蒸氣壓.式（1）可以簡化為

可以看出，通常的射彈動力學方程只包含速度的零階和二階阻尼項，考慮到更一般的運動物體所受到的阻尼與速度的零階、一階、二階項均有關，為更加全面地分析射彈的運動規律，本文添加關于速度的一階阻尼項αμv，從而得到修正的射彈動力學方程

根據上述計入速度一階阻尼項后的射彈動力學方程（3）可以發現，在不同速度條件下，速度的一階和二階阻尼項對射彈運動的影響是不同的.理論上可以知道，當v＜μ時，速度的一階阻尼項對射彈運動的影響是主要；反之，速度的二階阻尼項才更為重要.同時計入速度一階阻尼項后，射彈動力學方程依然可以解析求解，于是得到絕對坐標系下射彈速度的解析表達式

以及絕對坐標系下射彈位移的解析解

然后求解Logvinovich獨立擴展方程［11］:

得到在絕對坐標系下t時刻和ξ位移處空泡的截面積S（ξ，t）.這里k1=4π/A2，而A為微弱依賴于空泡數σ的系數，通常取經驗值2.

再通過坐標變換式v（tx）=v（t-tx）x和x（tx）=x（t-tx）-x（t），將絕對坐標系下的速度和位移解析式變換到射彈相對坐標系，結合空泡的截面積S（ξ，t），最終得到射彈相對坐標系中空泡截面半徑表達式:

2 數值仿真

根據上述一系列解析公式，將一階阻尼系數對射彈速度、射彈位移、空泡截面半徑的影響進行數值仿真，在數值計算中相關參數的取值如下:

Rn=1.00×10-3m，m=0.15kg，l=0.06m，v0=1.00×103m·s-1，patm=1.01×105Pa，pc= 2.35×103Pa，H=10m，而下面各圖中不同線形的曲線對應一階阻尼項系數μ分別取值0，45，110，200.

圖2為絕對坐標系下射彈速度與時間的變化規律.可以看出，一階阻尼項對射彈速度有著明顯的影響，一階阻尼項系數μ值越大，射彈速度減小地越快.比如當一階阻尼項系數為200時，經過0.72s射彈速度由1.00×103m·s-1衰減為62.10m·s-1.

圖2 射彈速度隨時間的變化

圖3顯示了射彈位移與時間的變化規律.同樣可以明顯看出，一階阻尼項系數μ值越大，則射彈位移增加地越慢，達到平緩段所用的時間越短.比如，當一階阻尼項系數為200時，經過2.00s其位移為2.02×102m，此時速度更是衰減為3.70m·s-1.

圖3 射彈位移隨時間的變化

圖4 空泡截面半徑與時間的關系

圖4顯示出空泡截面半徑隨時間的變化規律.一階阻尼項系數μ越大，則完整空泡的擴展時間越小.同時可以看出，一階阻尼項系數μ對空泡截面半徑的作用在空泡開始處的影響作用不明顯，但在靠近空泡閉合處其影響作用非常明顯.特別地，取絕對時刻為0.70s和一階阻尼項系數為200，則相對時刻為6.00×10-4s時，空泡截面半徑為1.00×10-3m.根據Riabouchinsky空泡閉合模型［8］，此時空泡達到閉合狀態，因此在該條件下完整空泡的擴展時間為6.00×10-4s.

為了更直觀地觀察超空泡的變化情況，圖5顯示出空泡截面與位移的變化關系.同時圖中給出了與已有經驗公式的比較，而經驗公式采用Savchenko［12］提出的空泡無量綱半徑公式

圖5 絕對時刻0.7s時空泡截面半徑與位移的關系

可以看出，當一階阻尼項為零時，空泡截面半徑與經驗公式較為吻合.但是考慮一階阻尼項系數μ后（比如圖5中μ取45時），空泡截面半徑與經驗公式更為符合.并且還可看出，隨著一階阻尼項系數增大，則空泡的長度越小，最大空泡截面積越小，這樣就越不利于超空泡的形成.比如，當一階阻尼項系數為200時，經過0.70s的時間，空泡長度為3.86×10-2m，空泡截面最大半徑為3.20× 10-3m，射彈速度由1.00×103m·s-1已經衰減為65.00m·s-1.

3 結語

首先通過添加一階阻尼項對射彈動力學方程進行了修正，然后得到了修正的射彈動力學方程的射彈速度和位移的解析表達式，并結合Logvinovich方程對超空泡形態進行了數值研究.結果表明，一階阻尼項系數對射彈運動以及空泡形態都有明顯的影響.當一階阻尼項系數越大，則射彈速度衰減地越快，完整空泡的擴展時間越短，空泡長度越小，空泡截面最大半徑也越小，這樣就越不利于空泡的形成.

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THE MODIFIED EQUATION OF PROJECTILE MOTION AND SUPERCAVITY SHAPE

He Shengsheng1Hou Kunyuan2Liu Shiqi2Wu Minghe3Teng Baohua3

（1School of Microelectronics and Solid-State Electronics；2School of Communication&Information Engineering；3School of Physical Electronics；University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 610054）

The supercavity has a great influence on the underwater projectile high speed motion.In order to more comprehensively reflect the influence of cavity section on the underwater projectile motion and the changes of supercavity shape，this paper modifies the common equation of motion and obtains the analytical solution of speed and displacement of underwater projectiles based on Logvinovich’s principle.Then using numerical simulation，this paper studies the changes of supercavity shape during the underwater projectile motion.Analytical and numerical results show that the bigger correction factor，the faster the velocity decays，the shorter the expansion time of the complete cavity，the shorter the length of cavity，and the smaller the biggist radius of cavity section，which is adverse to the formation of cavity section.

equation of projectile motion；supercavity；equation of Logvinovich

2015-09-27

2016-02-01

何生生，男，電子科技大學微電子專業本科生.

指導老師:滕保華，男，教授，從事凝聚態物理研究和大學物理教學工作.

何生生，侯坤元，劉詩琪，等.射彈動力學方程的修正與超空泡形態［J］.物理與工程，2016，26（4）:96-99.