飛行器動態穩定性參數計算方法研究進展

劉緒， 劉偉， 柴振霞， 楊小亮

國防科學技術大學 航天科學與工程學院， 長沙　410073

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飛行器動態穩定性參數計算方法研究進展

劉緒， 劉偉*， 柴振霞， 楊小亮

國防科學技術大學 航天科學與工程學院， 長沙410073

動態穩定性參數(簡稱動導數)是飛行器控制系統設計、飛行器動不穩定發生邊界分析及相應動態穩定性判據研究的關鍵氣動參數。在對飛行穩定性問題進行概述的基礎上，介紹飛行器動態穩定性參數數值模擬的國內外研究進展。并按照理論方法、工程近似方法及計算流體力學(CFD)模擬方法的動導數發展方向對近年來主要的動導數計算方法進行了綜述，評價了各種動導數預測方法的優缺點，指出了動導數數值模擬在理論基礎、非定常氣動力建模、預測方法精度和效率等方面存在的問題。最后對動導數數值模擬的發展趨勢進行了展望。

數值方法； 計算流體力學； 穩定性； 時域分析； 動導數

飛行器設計與開發過程中，獲得飛行包線內的動態操穩特性難度大、成本高。激波誘導的流動分離、旋渦的運動與破裂使流體運動呈現強烈的不穩定、非線性特性，通常給飛行器帶來超出預期的空氣動力學效應，甚至產生某些顛覆性后果[1]。在飛行器設計階段人們難以預知動態操穩特性的邊界以及動態問題的嚴重程度，在飛行試驗階段暴露出的動態穩定性問題導致了飛行器設計周期成倍增加、設計成本大幅增長以及局部修型帶來的不可避免的飛行器性能損失[2]。21世紀以來，飛行器設計中發現存在的動態穩定性問題屢見不鮮[3]。為了更好地從流動機理層面理解飛行穩定性惡化產生的原因，計算流體力學(CFD)方法廣泛應用于動態飛行品質問題的研究中[4]。一套成熟可靠的飛行器動態穩定性分析方法可以對不同的飛行器設計方案進行評估篩選，最大程度地降低飛行器設計成本，減少風險[5]。

為解決飛行的穩定性問題，在飛行器設計過程中必須開展飛機運動規律及其在擾動作用下的運動穩定性研究[6]。為了求解描述飛行器運動的六自由度運動方程，需要把氣動力負載的影響表示為瞬時運動狀態參數及其導數的函數[7]。這樣就引出了動態穩定性參數(Dynamic Stability Derivatives)，工程上簡稱為動導數[8]。動導數在實際應用上的需求體現在3個方面[1]：

1) 動導數是飛行器軌道設計時的重要參數[9]。

2) 動導數是姿態控制系統設計中的重要參數[10]。控制系統設計往往以動導數為基礎確定放大系數或增益系數。

3) 動導數是飛機動態穩定性分析與飛行品質分析的重要參數。

本文在對飛行穩定性與動導數問題進行概述的基礎上，介紹飛行器動導數數值模擬的國內外研究進展。并按照理論方法、工程近似方法及CFD模擬方法的動導數發展方向對近年來主要的動導數計算方法進行了綜述分析。最后提出了動導數數值預測技術進一步研究發展的內容。

1　飛行穩定性中的動導數問題

飛行過程中大氣湍流、非對稱轉捩、底部流動干擾及實施機動動作等各種擾動可以引起激波誘導的邊界層分離、旋渦的運動與破裂等復雜氣動現象，造成飛行器動態穩定性問題。

動導數直接決定了飛行器開環系統受到擾動時振蕩的斂散特性。圖1給出了飛行器對稱定直飛行狀態及受擾后的5種運動狀態。對無控飛行器來說動導數預測必不可少，直接決定了飛行穩定性。

飛行器閉環系統的穩定性不僅取決于氣動穩定性，更主要與控制系統相關，控制系統可以通過姿態面和角速率的反饋來改變系統的穩定性。動導數決定了控制系統的增益系數。如果反饋增益的調節取得太大，雖然飛行穩定性好，但飛行器的機動性能下降，操縱品質與飛行品質變差。飛行器的動態特性具有以下一些主要特征：

1) 飛行器的縱/橫向耦合運動導致氣動力出現交叉-耦合干擾，產生橫側向穩定性、縱橫向耦合穩定性問題。此時橫側向交叉導數，縱橫向交叉耦合導數顯著影響飛行穩定性。飛行器縱向或橫向的振動幅度和頻率隨運動姿態角及其變化速率呈非線性變化[11]，振動過程可能是收斂的，也可能是發散的；振動幅度可能只有幾度，也可能大到幾十度，甚至發散；振動頻率可大可小。

3) 飛行器動態穩定特性對于迎角有強烈的非線性關系，在特殊迎角附近，很小的迎角變化會引起動導數量級的變化，甚至改變符號[12]。

圖1　飛行器對稱定直飛行狀態及受擾后的5種運動狀態Fig.1　Aircraft’s steady linear flight state and fivemotion states after disturbance

上述問題的解決依賴于飛行器動態穩定性預測技術的發展。飛行器的動導數計算將為飛行器控制系統設計、飛行器動不穩定發生的邊界分析及相應的動態穩定性判據研究提供關鍵氣動參數。

2　動導數計算面臨的問題和挑戰

目前，隨著中國飛行器技術的飛速發展，動導數在工程上的需求也日益增加。表1給出了主要的動態力矩導數[12]，表中：Cl、Cm和Cn分別為滾轉、俯仰和偏航力矩系數；α和β為迎角和側滑角；p、q和r分別為滾動軸、俯仰軸和偏航軸的角速度分量。美國在航天飛機的研制過程中對動態參數的風洞試驗和數值計算做了大量的工作[1]。幾十年來，人們通過理論分析、數值計算和風洞試驗，對動導數開展了大量的研究工作，取得了很大的成果，但依然面臨精度與效率低、預測種類少、工程化應用經驗不足等各方面問題。

表1　主要的動態力矩導數[12]

2.1動導數理論基礎及非定常氣動力建模

目前，動導數的研究還有許多困難，這些困難很大程度上來自于動態穩定性參數理論上的不完善。長期以來，動導數一直是工程設計中的概念，對于它的確切含義、適用范圍和影響動導數的因素，人們的理解還不盡一致。而這種不一致性，造成了實際應用中非定常氣動力建模方面的不一致性[1]。

最早的數學模型由Bryan等[13-14]提出。Bryan等認為空氣動力和力矩就是擾動速度、控制角度和其速率瞬時值的函數，即

(1)

式中：Cλ為氣動力/力矩。

后來Etkin和Reid認為飛行器運動時所受的氣動力/力矩系數是狀態參數的泛函[15]。這個泛函關系表示為

(2)

式中：L為升力；t為時間。

Etkin模型比Bryan模型更具有普遍意義，但Etkin模型無法解釋實際飛行中常見的一些瞬態響應，更不用說解釋由于失速造成的氣動力/力矩的突變以及由于非定常流動中的分叉、混沌造成的氣動力/力矩多值和不確定現象了[16]。針對這一缺陷，Tobak和Schiff[17-18]采用指示函數作為氣動力的泛函，得到氣動力與狀態變量之間的普遍函數關系，建立了確定非定常氣動力的指示函數法[19]。雖然Tobak和Schiff根據指示函數的概念對氣動力的表述形式在數學上是完備的，但非線性指示函數的確定非常困難，不可能直接求解這個微分積分系統，因此必須對其進行簡化處理[20]。

任玉新等利用Tobak和Schiff的非線性指示函數的方法，首先得出氣動力/力矩的指示泛函表達式，然后以此為基礎，討論氣動力/力矩和相空間變量之間的函數關系，發展了改進的Etkin模型[21]。對于一般的運動形式，氣動力/力矩系數Cλ是狀態變量α、β、p、q、r及其各階導數的函數，即

(3)

(4)

式中：下標“0”表示在基準狀態下的取值，其中所有的偏導數為改進的Etkin模型中的動導數。

Cowley和Glauert認為[22]，Bryan和Etkin模型的氣動參數并不隨著時間變化。在非定常氣動研究中，這一假設經常受到他人的質疑[23-24]。改進的Etkin模型與原模型相比在基準狀態參數中包括時間t，計算或測量出的動導數一般是隨時間變化的，這一點和動導數的含義相一致。為了更好地描述動態特性在大振幅時出現的非線性特征，文獻[25]基于改進的Etkin模型，采用參數化的動導數概念建立了非定常氣動參數模型。

圖2和圖3分別給出了采用參數化動導數模型預測的類X-51內外流一體化外形和鈍錐標模的非定常運動與時域計算的對比結果。圖2中：σ為總壓恢復系數；αm為振幅。圖3中：dθ/dt為俯仰角速度。圖中的曲線為非定常時域計算數據，數據點表示參數化的動導數模型計算得到的非定常數據。從圖2給出的復雜內外流一體化外形的氣動力和流場參數的對比來看，參數化的動導數模型與CFD預測的強迫振動非線性結果基本一致，取得了較好的效果。圖3也同時反映出參數化的動導數模型對自由振動力矩系數的計算與時域方法的計算結果吻合。綜合強迫振動和自由振動的初步模擬結果，采用基于參數化動導數概念的氣動模型來表達非線性條件下的氣動力數據及流場參數能夠達到較好的精度。

圖2　類X-51外形大振幅強迫振動遲滯環曲線Fig.2　Large-amplitude vibration hysteresis curves of a X-51A-like hypersonic vehicle

圖3　鈍錐標模自由振動的時間歷程和相曲線Fig.3　Free vibration time history and phase curves of a blunted cone calibration model

2.2動導數計算的精度和效率

動導數與非定常空氣動力學密切相關，非定常流場的準確模擬是動導數計算的重要基礎。20世紀50年代至90年代期間，細長體理論(Slender-Body Theory, SBT)[26]、升力面理論[27]和牛頓理論[28]等工程算法是動導數計算采用的主要方法。其優點是效率高，但精度較低。為了彌補這一缺點，1969年Hui提出了動導數求解的攝動法[29]，精度有了明顯提高。隨著現代戰斗機的機動性、敏捷性及作戰效能的提升，對于大迎角或有側滑角的飛行，復雜的非定常流動現象對動導數有重要影響[30]，工程算法和攝動法依然難以滿足動導數的求解精度。

隨著CFD的成熟發展與廣泛應用，20世紀90年代后期基于CFD的動導數計算方法得到了蓬勃發展。任玉新等[31-32]通過求解非慣性系下的歐拉方程和敏感性方程，發展了基于敏感性分析的氣動穩定性導數數值計算方法，并在三維問題中得到應用[33]。劉偉等數值模擬了飛行器的強迫簡諧振動，發展了滾轉阻尼導數[34]、偏航阻尼導數[35]和俯仰阻尼導數[36]的數值計算方法。袁先旭等[37-39]數值計算了HBS(Hyper Ballistic Shape)外形、尖/鈍錐外形以及飛船返回艙的俯仰動靜導數，預測動態失穩現象、臨界參數和失穩后的極限環運動形態[40]。21世紀以來，隨著CFD動網格技術的進一步發展應用，史愛明[41]和盧學成[42]等采用非結構動態網格重構技術計算了超聲速導彈的動導數，陶洋等也使用動態變形網格對Finner導彈[43]及方形截面導彈[44]的動導數進行了數值計算。此外范晶晶[45]、陳東陽[46-47]和黃龍太[48]等也使用不同CFD工具對包括翼型、有翼導彈以及多種實際的飛機模型進行了動導數計算，得到了與風洞試驗值吻合較好的結果。

模擬飛行器強迫/自由振動的CFD方法最大的困難是效率較低。非定常計算效率成為CFD在動導數方面應用的瓶頸，迫切需要開展動導數高效計算方法研究。飛行包線內的氣動力和力矩數據量級能夠達到數十萬至數百萬，并且預測動導數需要計算與時間相關的動態非定常氣動響應，因此目前采用CFD求解一條飛行包線上的動導數數據所花費的代價非常昂貴。在飛行器及流動問題比較復雜的情況下，計算耗費往往難以忍受。

目前在飛行器型號設計初期，動導數的工程近似方法依然是滿足動導數快速分析需求的重要手段[49]。此外，國內外針對動導數的CFD高效計算方法也開展了相應研究。蔣勝矩等[50]在物面無滑移邊界條件的基礎上施加物面繞體軸的切向速度，通過求解定常Navier-Stokes(N-S)方程得到了滾轉阻尼導數，提高了計算效率。準定常計算方法[51]和非定常頻域計算方法[52]也相繼應用于動導數的計算。但這類方法均為非定常時域方法的簡化近似，其適用范圍及計算精度有待于深入研究。此外，還應進一步開展CFD時域方法中與高性能計算機體系結構相適應的大規模并行技術研究[53]、CFD加速收斂技術研究[54]、基于Kriging差值的加速方法研究[55-56]，在保證動導數計算精度的前提下提高計算效率。

2.3不同類型的動導數預測

在飛行器姿態控制系統設計及軌道(彈道)設計中，所需要的動導數有數十個之多。對于不同的氣動構型或研究不同的問題，表1中各個動導數的重要性會有所區別。目前國內外文獻主要是研究繞定軸振動時俯仰、偏航或滾轉3個方向的直接阻尼導數，而對交叉導數、交叉耦合導數、加速度導數及旋轉導數的數值計算較少涉及。

2.3.1交叉導數和交叉耦合導數

如第1節所述，交叉導數和交叉耦合導數是反映飛行器縱橫向交叉耦合效應和橫側向交叉效應的重要參數，文獻[57]給出了其計算方法。但相對于直接阻尼導數，交叉導數和交叉耦合導數的不確定度較高。這是因為這類動導數量級比較小，并且需要數值方法能精確模擬流動非對稱現象。目前計算和試驗對交叉導數和交叉耦合導數預測經驗不足，計算和試驗的對比數據較為缺乏。應進一步開展這方面研究，提高交叉導數和交叉耦合導數預測的可靠性。

2.3.2加速度導數和旋轉導數

直接阻尼導數是旋轉導數和加速度導數的組合。馬東立和葉川采用CFD方法研究了帶翼潛航器[58]及升力浮力復合型飛艇[59]的加速度導數，指出了兩種外形均不能將加速度導數簡化為附加質量系數。文獻[25]計算了美國海軍旋轉穩定式火箭彈ANSR(Army-Navy Spinner Rocket)及內外流一體化外形的加速度導數，結果表明在某些情況下反映流動時滯效應的加速度導數占直接阻尼導數的比例最高可以達到40%以上，而在某些情況與直接阻尼導數符號相反。米百剛[60]和席柯[61]等針對加速度導數的研究也得到了類似結論。

總的來說，目前動導數的研究大多圍繞繞定軸振動的組合導數，針對加速度導數和旋轉導數的研究較少，現有的結論也大多基于縱向阻尼導數。關于這部分研究特別是飛行器橫側向的加速度導數，仍有大量工作要做。

2.4動導數在復雜外形中的工程應用

文獻中常見的動導數計算外形大多采用較為簡單的旋成體外形，例如尖/鈍錐、HBS導彈、Finner標模、M910子彈。針對較為復雜的真實工程外形較為少見。馬東立和葉川開展了帶翼潛航器[58]、升力浮力復合型飛艇[59]、有翼導彈和水上飛機[62]的動導數計算。文獻[25]開展了類X-51A內外流一體化外形的動導數計算。針對工程外形的動導數計算的困難取決于非定常流場的復雜程度。例如在超聲速條件下，激波誘導分離、旋渦運動與破裂以及它們之間的相互作用使得流動形態十分復雜。高超聲速內外流一體化外形飛行器從助推火箭分離到發動機點火的短時問內，飛行器經歷3種工作狀態：進氣道關閉、進氣道開啟和噴流狀態。研究發動機不同工況的飛行穩定性對內外流一體化構型設計具有重要意義。

目前的動導數模擬效率不能滿足復雜工程外形的動導數計算需求。對真實工程外形的復雜非定常流場的精確模擬是動導數計算的重要前提，也是構成飛行器動態穩定性問題的復雜性和艱巨性的重要原因。

3　動導數理論及工程計算方法

3.1理論計算

動導數的理論計算早期針對一些比較簡單的物形，比較簡單的運動為研究對象，目前隨著數值計算的發展已不再采用。理論方法都建立在許多苛刻的簡化假定的基礎上，如位勢流理論、小擾動線化理論等。Theodorsen[63]最早在1933年利用不可壓無黏流假設下給出了二維機翼(NACA0012)做簡諧運動時非定常氣動力的表達式，計算得到了俯仰力矩的時滯導數和旋轉導數。

3.2工程近似方法

動導數的工程近似方法考慮了線化的空氣動力學理論和經驗關系[64]，是一種經驗和半經驗的方法。工程近似方法與CFD方法相比精度較低，但其最大的優勢在于快捷高效[65]，因此在飛行器概念設計階段，通常采用工程估算快速獲得飛行器的氣動特性[66]。

圖4給出了5口徑美國海軍旋轉穩定式火箭彈ANSR采用SBT[67]與強迫振動CFD[25]求解的動導數對比。ANSR模型結果顯示，SBT在動導數的預測趨勢上與CFD符合，但數值上存在量級甚至符號的差別，僅在個別點處取得一致。East和Hutt[68]通過對比高超聲速導彈標模HBS以及尖/鈍錐標模外形的動導數試驗與工程計算結果，指出工程方法依賴于經驗性，只適用于不考慮邊界層轉捩、流動的分離和再附以及復雜背風區渦流情況下的小迎角線性范圍。

圖4　細長體理論(SBT)與CFD強迫振動求解結果對比Fig.4　Comparison between results obtained from slender-body theory (SBT) and those from CFD forced vibration algorithm

工程近似方法在亞聲速時以SBT和升力面理論為主[69]，而超、高超聲速時主要集中于活塞理論、激波/膨脹波比擬以及修正牛頓理論、內伏牛頓理論(Embedded Newtonian Method)、牛頓-玻爾茲曼理論等一些基于牛頓理論發展而來的方法[70-71]。對于縱向動導數可以提供亞、跨、超聲速范圍的工程近似方法。對橫航向動導數主要提供亞聲速情況下的工程近似方法，關于跨、超聲速下的橫航向動導數，目前尚無合適的估算方法[72]。確定動導數的半經驗方法可參見飛行力學書籍[73]，以及相關的飛機設計手冊[74]。下面針對工程近似方法中最重要的牛頓理論和基于CFD技術的當地活塞理論展開綜述。

3.2.1牛頓理論

牛頓理論只能用于高超聲速流動，其理論假定流體粒子間互不干擾，它們與物面碰撞后，法向動量傳給物面，且沿物面以零切向加速度運動。對牛頓理論的一個簡單的半經驗修正為

(5)

式中：(Cp)MNewt為牛頓理論半經驗修正的壓力系數；Cpmax為駐點壓力系數；Vn為垂直物面的流體運動速度；V∞為來流速度。Tobak和Wehrend最早在1956年用修正的牛頓理論計算了錐體的動導數[75]。

牛頓理論有很大的局限性。Busemann[76]認為，在激波層中，流體粒子的軌跡是彎曲的，在計算物面壓力時，必須考慮由此引起的離心力效應。

Psurface=PNewt+Pcent

(6)

式中：Psurface為物面壓力；PNewt為牛頓理論計算出的壓力；Pcent為離心力修正。Hui[29]針對有脫體激波的三角翼，求解定常參考流動時，使用了Messiter的薄層激波近似[77]。Hui注意到，非定常牛頓流理論加上離心修正時，與比熱比γ→1、馬赫數Ma→∞時的氣體動力學理論完全一致[78]。在這個基礎上，Hui和Tobak[79]發展了非定常的牛頓-波爾茲曼理論，用來計算翼型、楔和錐體的動導數。

牛頓-波爾茲曼理論適用于馬赫數很高，激波層很薄且充分靠近壁面的情況。對于鈍頭體，這個條件不能滿足。為了解決這個問題，一些基于牛頓或牛頓-波爾茲曼理論的半經驗方法得到了發展。Seiff在1962年提出了內伏牛頓流理論來處理有限厚度激波層中的流動[80]。Ericsson[81]發展了Seiff的理論[80]，來處理非定常流動，并用來計算高超聲速飛行器的動導數。后來，Ericsson[82]改進了自己的方法，進一步降低了馬赫數的限制，Ericsson的方法通常稱為非定常內伏牛頓流理論。

國內的童秉綱(Tong)和Hui把牛頓-波爾茲曼理論和非定常的內伏牛頓流理論結合起來，發展了半經驗的非定常內伏牛頓-波爾茲曼理論[71]，對高超聲速鈍頭體的動導數進行了研究。劉偉和沈清[83]利用非定常內伏牛頓計算倒錐體的俯仰阻尼導數，可應用于3

3.2.2活塞理論

活塞理論適用于超聲速非定常氣動力計算，壓力p采用式(7)計算。

(7)

式中：p∞為來流靜壓；w為下洗速度。活塞理論經過Van Dyke[84]和Lighthill[85]的發展，已經被廣泛應用于非定常氣動力的計算。陳勁松[86]根據當地流活塞理論和片條理論給出超聲速和高超聲速尖前緣三維機翼俯仰導數的近似解析方法，在菱形翼、雙圓弧形翼及三角翼中得到應用。

為了提高活塞理論的計算精度，張偉偉等[87-88]發展了基于CFD技術的當地流活塞理論。該方法只需要用CFD方法求解一次定常流場，再運用活塞理論計算非定常氣動力，充分發揮了CFD技術高精度和當地流活塞理論高效率的特點。2013年張偉偉等[89]在前述工作的基礎上，發展了超聲速、高超聲速外形動導數的活塞理論求解方法，并通過Finner標模及尖錐外形開展了標準算例驗證。圖5給出了尖錐外形俯仰阻尼導數的內伏牛頓理論、活塞理論與試驗結果的比較[89]，反映出內伏牛頓理論與基于CFD技術的當地流活塞理論的計算結果在數值上基本相同，內伏牛頓理論結果與試驗值更加接近。

圖5　內伏牛頓理論、活塞理論與試驗結果動導數對比[89]Fig.5　Comparison of dynamic derivatives between those obtained with embedded Newton method, piston theory, as well as test results[89]

4　動導數時域計算方法

4.1諧振攝動方法

攝動法又稱小參數展開法。Hui發展的攝動法[90]有兩個特點：① 基于Euler方程；② 可同時用于超聲速和高超聲速流動。其基本過程是在諧振假定下，飛行器繞某一點在平衡位置附近作小振幅簡諧振動時的非定常流場可以分解為平衡位置的定常繞流流場及小擾動流場的線性疊加。在一階近似下，擾動流場的確定可以進一步簡化為求解擾動量振幅的類Euler方法。該方程是線性的，且與定常繞流的Euler方法有相同的系數矩陣。求解定常繞流的Euler方程和振動振幅方程均采用相同形式的差分格式，然后利用不同軸間動導數轉換公式求得指定軸處的俯仰阻尼導數[91]。

Hui利用他發展的攝動法對簡單形狀的翼、楔、和零迎角錐進行了計算[29]，Hui等還研究了俯仰運動機翼氣動力的分叉現象[92]和時間歷史效應對高超聲速運動的楔受到的非定常氣動力的影響[93]。劉秋生和沈孟育[94]進一步發展了Hui的方法，計算了超聲速、高超聲速鈍頭體的俯仰阻尼導數。張才文[95]采用Euler方程攝動解法，推導了在激波附體的條件下任意迎角、任意平面形狀機翼的超、高超聲速俯仰穩定性導數的計算公式。劉偉和張魯民在文獻[94]的基礎上發展了俯仰軸在垂直于俯仰平面任意移動時的動導數轉換公式[96]，并采用諧振攝動法計算了類返回艙外形的高超聲速俯仰阻尼導數[97]，結果表明，諧振攝動法對簡單外形及小迎角來流狀態具有較好的適應性，但由于小擾動方法本身的局限性，該方法對復雜外形應用能力有限。如果要計算更為復雜的流態，應該考慮流場的黏性效應及更為一般性的動導數計算方法。

4.2錐運動方法

Schiff等將錐運動引入穩定性導數計算[98-99]。在非慣性參考系下，通過利用定常流動的計算方法模擬非定常問題進而避免了計算開銷及動網格等技術問題，用此辦法獲取了軸對稱導彈的俯仰阻尼導數。Weinacht等[100-101]也發展了通過在非慣性系下求解的方法將動態問題轉換為靜態計算而獲取了軸對稱導彈穩定性導數。Despirito等[102]在2009年提交美國軍方研究實驗室(ARL)的報告中總結了采用錐運動法計算美國海軍旋轉穩定式火箭彈ANSR、M910式25 mm 曳光脫殼訓練彈(TPDS-T)以及0.5口徑子彈的動導數結果。

圖6給出了采用拋物化的Navier-Stokes方程求解ANSR標模錐運動方法(PNS)[67]與CFD強迫振動[25]求解的動導數對比。二者在數值大小及變化趨勢上差別不大。錐運動方法雖然簡化了計算，提高了計算效率，但其通常不適合非軸對稱的復雜外形幾何體或僅適用于零迎角時動導數的計算，工程中較少使用。

圖6　錐運動方法(PNS)與CFD強迫振動求解結果對比Fig.6　Comparison between results obtained from cone motion method (PNS) and those from CFD forced vibration algorithm

4.3準定常方法

旋轉導數的計算可以采用準定常方法。通過求解飛行器繞定軸以恒定角速度轉動的準定常方程獲得旋轉導數為

(8)

席柯等[61]采用準定常方法計算了HBS外形和Finner基本帶翼導彈標模外形及Hyflex升力體外形的旋轉導數。張一帆等[103]采用準定常方法，對F12全機模型的3個迎角進行了動態特性數值模擬。米百剛等[104-105]采用準定常方法計算了Finner外形的滾轉旋轉導數，計算誤差為2.67%。

圖7給出了采用準定常與非定常強迫振動方法求解旋轉導數的對比。5口徑與9口徑的ANSR旋成體外形的Cmq結果如圖7(a)所示，類X-51復雜外形的Cmq與φq(φ代表流量系數)[25]結果如圖7(b)所示。無論是簡單的旋成體外形還是復雜的內外流一體化外形，準定常方法與非定常強迫振動方法對氣動力導數和流場參數導數的計算精度基本保持一致。準定常方法僅適用于旋轉導數的計算，不能用于加速度導數和組合導數，應用上存在不少限制[25]。

圖7　準定常方法與強迫振動求解結果對比Fig.7　Comparison between results obtained from quasi-steady motion and those from forced vibration algorithm

4.4強迫振動方法

強迫振動方法采用CFD方法數值模擬飛行器不同的強迫振動，得到非定常振動流場及氣動力，通過數值辨識方法計算動導數[106]。該方法能計算表1中所有類型的動導數，求解精度高，對復雜的非定常流場有較好的適應性，不受飛行狀態、模型運動形式及支架洞壁干擾的限制。目前CFD方法代表非線性空氣動力學特性預測的最先進水平[107]，通過數值計算獲得動導數是當前飛行品質和操穩特性研究中一種最理想、最現實的方式，且可靠性有望接近飛行試驗。

計算不同的動導數類型需要采用不同的強迫振動形式。任玉新[108]給出了動導數通用計算方法NEASD，在滿足狀態變量線性無關的條件下，該方法可以求解飛行器做任意強迫振動時的動導數。孫濤等[109]給出了強迫等速拉伸運動時動導數計算的差分法。強迫振動計算動導數最常用的形式為強迫簡諧振動。圖8是飛行器3種非定常強迫簡諧振動(俯仰/沉浮/拍動)的飛行姿態和運動軌跡示意圖[25]。

圖8　非定常運動示意圖Fig.8　Unsteady motion sketch

(9)

式中：α0為初始迎角；θm為俯仰角振幅；k為減縮頻率。

(10)

強迫拍動簡諧振動用于計算俯仰力矩旋轉導數Cmq，其振動方程為

(11)

沉浮與拍動兩種振動方式的疊加等于俯仰簡諧振動。通過計算式(10)和式(11)產生的時域數據進行后處理來辨識得到動導數。后處理方法包括積分法、頻域變換法、回歸方法和相位法。積分法、頻域轉換法和回歸方法的后處理結果沒有顯著的差異，但在減縮頻率較小的情況下回歸方法比其他方法得到的結果精確。相位法只采用了時域數據的兩個點，因辨識誤差大而較少使用。

強迫簡諧振動的優點是計算精度高，適用于不同種類的動導數辨識。缺點是存在減縮頻率相似及簡諧振動振幅的選擇問題。雖然線化的模型方程要求氣動參數的變化保持在線性范圍內，但過小的振幅顯著降低了數值仿真過程中氣動參數的增量，增加了隨機誤差的比例，帶來了精確預測動態氣動參數的困難[110]。文獻[111]認為合理的振幅選擇需要綜合評估小振幅振動的線性范圍以及非定常計算本身的精度。孫濤等[109]分析了減縮頻率對Finner標模動導數計算的影響。強迫振動測試中頻率的選擇沒有普遍的原則或共識。通常認為頻率應該是最具代表性的預期的飛行器運動頻率[112]。

飛行器在大氣層中以高馬赫數飛行時，其表面摩擦阻力系數會達到總阻力系數的50%以上。2004年，劉偉等[113]研究了平衡氣體效應對帶翼飛行器俯仰阻尼導數的影響。趙文文等[114]在2013年對比分析了不同高度(含稀薄氣體效應)、Maxwell滑移邊界條件及五組元化學非平衡模型對鈍錐體模型動導數的影響。高空、高馬赫數條件下飛行器動導數的計算還需做進一步深入的研究。

為了研究考慮地面干擾的飛行器非定常氣動特性，童靜等[115]基于滑移網格技術開展了地面效應的NACA0012翼型動態特性數值模擬。地面效應不僅對定常流場產生影響，更顯著地影響了非定常氣動力及力矩，近地高度越小，升力系數的遲滯環面積越小，而力矩系數的遲滯環變化不規律。地面效應干擾在飛行器非定常氣動研究中應該引起重視。

數值離散方法研究是動態特性數值計算的重要環節。目前國內動態特性的計算大多采用二階格式，而高精度、高分辨率格式可以較好地模擬以大范圍分離為代表的、強非定常的非線性多尺度流動現象。趙云飛等[116]基于空間5階精度格式WCNS(Weighted Compact Nonlinear Schemes)采用非定常Euler方程計算了NACA0012翼型強迫俯仰振動，研究了物理時間步長、子迭代收斂判據等因素對計算結果的影響。趙文文等[117]采用Van-Leer矢通量分裂格式(FVS)、ROE格式(FDS)、AUSMPW+格式、5階精度WENO格式及高精度WNND格式對鈍錐體俯仰阻尼導數進行了計算。分析認為差分格式之間不同的黏性分辨率是動導數結果差異的主要來源。采用高精度、高分辨率格式可以更好地處理復雜外形強非定常的非線性多尺度流動問題，是未來動態特性模擬技術研究的發展方向。

4.5自由振動方法

自由振動模擬方法是動導數的非定常時域求解的另一種重要方法。趙云飛[118]推導了非定常自由振動法確定動導數的計算公式。

圖9是鈍錐自由振動俯仰角時間歷程曲線示例，曲線形態呈角振幅指數衰減。文獻[118]通過提取波峰和波谷處的角振幅及周期T來計算動導數，該方法僅適用于小阻尼振幅衰減的情況。對振幅發散或者大阻尼的情況，可以通過Moore-Penrose廣義逆方法求解任意位置的動導數，但計算精度還需做進一步的考察。

圖9　鈍錐自由俯仰振動動導數提取示意圖Fig.9　Sketch showing extraction of dynamic derivatives of blunt cone free pitch vibration

與強迫振動法相比，自由振動法的優點是不存在頻率相似問題，通過選取真實的慣量參數，自由振動法的振動頻率與真實飛行情況相似度高。但自由振動法的缺點是辨識精度低、計算工作量比強迫振動法大、一般僅適合配平狀態的動導數計算。此外該方法對交叉導數、交叉耦合導數和加速度導數的計算較為困難，所能辨識的動導數種類有限。

5　動導數頻域計算方法

動導數常規計算方法是采用CFD模擬飛行器的微振幅強迫簡諧振動。由于預測動導數需要計算與時間相關的動態非定常氣動響應，非定常計算效率是CFD在動導數方面應用的瓶頸。強迫簡諧振動的氣動荷載在初始瞬時值衰變之后的變化具有周期性。頻域計算利用動態非定常系統的周期性來獲得動導數。該方法只需求解一個周期內幾個時刻的瞬時流場，通過簡單的后處理即可重建整個周期的非定常流動，對于長周期的非定常問題效率優勢特別明顯，從而獲得了廣泛關注和應用。時域仿真采用的頻率受時間和空間分辨率的限制，但頻域計算不存在這一問題。

常用的頻域方法包括線性頻域法和非線性頻域法。諧波平衡(HB)法屬于非線性頻域法的一種類型，其計算精度和效率綜合考慮具有較大的優勢，因此是頻域計算中應用最廣泛的方法。經過十幾年的發展，目前諧波平衡法主要有4種形式：直接諧波平衡法、時域諧波平衡法、頻域諧波平衡法以及分裂域諧波平衡法。諧波平衡法考慮如下的周期性流動問題：

(12)

式中：Ql,j和Rl,j分別為在網格點j上第l個守恒變量和第l個空間殘差組分。將變量和空間離散后的殘差項都可以表示為傅里葉級數的形式，代入到流動控制方程中，并利用正弦函數的正交性進行諧波平衡，得到頻域上的諧波平衡方程為

(13)

式中：ω為圓頻率；n為第n個諧波。

頻域方法最初是因為渦輪機設計上的需要而被開發[119-120]，此后被應用于飛行器氣動力的求解[121-123]。Thomas等[124-131]應用時域諧波平衡法模擬翼型和F16機翼在跨聲速流動時的極限環振動和顫振問題以及圓柱的繞流問題，并提出了一種新的穩定性技術來消除顯式處理諧波源項引起的不穩定。Ekici等[132-135]應用高維時域諧波平衡法模擬直升機旋翼繞流問題并在多個基準頻率下模擬多級渦輪機組的葉片繞流問題。斯坦福大學的McMullen等[136-139]利用頻域諧波平衡方法數值模擬了一維管道流和圓柱繞流，并提出了一種迭代求解時間周期的方法，應用并成功模擬圓柱繞流的渦脫落問題和翼型的俯仰振蕩問題，為對于事先不知道振蕩頻率的問題提供了一種求解方法。Mosahebi和Nadarajah[140]隨后應用自適應諧波平衡法模擬了跨聲速翼型俯仰振蕩和圓柱繞流問題。Choi等[141]將時間譜方法應用于直升機旋翼運動，取得了較好的效果。諧波平衡法求解這種存在多個頻率的情況，會出現穩定性問題，因此Guédeney等[142]提出時間樣點不均勻分布的觀點，并證明了其穩定性和可靠性。在動導數預測方面，Ronch等[143]對比了時間推進法、線性頻域方法和諧波平衡法在數值預測動導數和消耗內存方面的能力。Hassan和Sicot[144]將諧波平衡法應用于動導數的快速預測。Murman等[145-146]將諧波平衡法應用于預測Finner及SDM(StandardDynamicModel)模型的動導數。

國內對諧波平衡法的研究較少。李道春和向錦武[147]應用諧波平衡法研究非線性二元機翼氣動彈性。杜鵬程和寧方飛應用時域諧波平衡法模擬跨聲風扇周向畸變流動[148]，考查不同周期性邊界條件對求解的影響，并采用預處理技術，將可壓諧波平衡方程直接用于低速周期性流動的計算。許建華等[149]應用時域諧波平衡法模擬旋翼前飛繞流問題。楊小權等[150]應用時間譜方法模擬了俯仰翼型和機翼的強迫運動問題。謝立軍等[151]采用時間譜方法對高超聲速HBS標模和超聲速Finner標模進行動導數計算。陳琦等采用諧波平衡法開展翼型和鈍錐的非定常繞流模擬[152]，并預測了帶翼導彈的俯仰動導數[153]。

由于頻域計算的數學簡化，導致對非定常流動的計算精度遠低于時域計算，當流動出現明顯的非線性效應時其應用受到限制。圖10給出了采用線性頻域法計算的NACA0012翼型強迫簡諧振動與時域計算的比較[154]。實線是時域(TimeDomain)計算結果，虛線是線性頻域(LinearFrequencyDomain,LFD)法計算結果。線性頻域法計算未能模擬出NACA0012振動時出現在兩端處的非線性拐折。圖11給出了不同外形的諧波平衡法與時域計算比較。Nr代表諧波平衡方法中的諧波數。從圖中可以看出，無論是對于簡單外形還是復雜外形，一個諧波對應的3個非定常流場樣本均不足以精確模擬非定常振動出現的非線性氣動力。與時域計算吻合一致的計算諧波數至少在2個以上。

Note: LFD—Linear frequency domain.圖10　NACA0012翼型線性頻域法與時域計算比較Fig.10　Comparison between NACA0012 airfoil linear frequency domain method and time-domain simulation　

圖11　諧波平衡法與時域計算比較Fig.11　Comparison between harmonic balance method and time-domain simulation

頻域計算最大的特點是利用動態系統的周期性極大地減少非定常CFD仿真的計算開銷。CFD時域仿真需要多個周期達到氣動響應的諧振解，并且要達到時間上的精確求解必須采用小的時間步長來精確捕獲流體運動，因此需要大量的計算開銷[155-156]。而頻域計算可以高效近似求解飛行器周期性的非定常小擾動條件下氣動力，在減少計算開銷的情況下估算動導數。圖12是作者所在課題組針對類X-51內外流一體化外形雙時間步方法時域計算與諧波平衡法的比較，圖中CA為軸向力系數。內外流一體化外形半場網格量為2 000萬，時域計算與諧波平衡法均采用18個CPU(IntelCorei7)進行并行計算。圖中dt代表雙時間步方法的無量綱時間步長，nsub代表內迭代步數。當時間步長取0.1，內迭代取20步時，雙時間步法計算1.5個周期共5 000步的耗時約為48h，與諧波平衡法計算兩萬步基本達到收斂的用時相等，但此時雙時間步方法的精度遠低于諧波平衡法。隨著內迭代步數的增加和時間步長的減小，二者達到同等精度時雙時間步方法計算一個狀態的耗時約為50天，是諧波平衡法計算時間的25倍。

圖12　類X-51內外流一體化外形雙時間步方法時域計算與諧波平衡法比較Fig.12　Comparison of time domain simulation of analogous X-51A-like hypersonic vehicle with dual time step method and that with harmonic balance method

圖13　NACA0012強迫簡諧振動頻域法的計算效率Fig.13　Computational efficiency of NACA0012 forced harmonic vibration frequency-domain method

6　結　論

在對飛行穩定性問題進行概述的基礎上，介紹了飛行器動導數數值模擬的國內外研究進展。對近年來主要的動導數計算方法進行了綜述分析，結論顯示：

1) 動導數的工程近似方法與CFD方法相比精度較低，但其最大的優勢在于快捷高效。工程方法依賴于經驗性，只適用于簡單外形，不考慮邊界層轉捩、流動的分離和再附以及復雜背風區渦流情況下的小迎角線性范圍。

2) 諧振攝動法和錐運動方法由于方法本身的局限性，對復雜外形和復雜流態的模擬能力有限，應用上存在諸多限制，工程實際中較少使用。

3) 準定常方法與非定常強迫振動方法的計算精度基本一致，是一種快速高效的動導數求解方法。但該方法僅適用于旋轉導數計算。

4) 自由振動法的優點是振動頻率與真實飛行情況相似度高。強迫振動的特點是適合不同狀態的動導數計算，能夠辨識的動導數種類豐富，對交叉導數、交叉耦合導數和加速度導數均有較好的模擬能力。因此目前采用強迫振動方法獲得動導數是當前飛行品質和操穩特性研究中一種最理想、最現實的方式，且可靠性有望接近飛行試驗。

5) 頻域計算利用動態非定常系統的周期性來精確高效地獲得動導數，獲得了廣泛關注和應用。諧波平衡法中諧波數Nr的選取需要綜合考慮計算資源、計算精度與效率。

雖然近年來在非定常氣動力計算、動導數辨識方法及非定常氣動力建模等方面取得了較大進展，但為了更高效地獲得不同類型的準確、可靠的動導數數據，仍有大量工作要做：

1) 非定常氣動力的數學模型用于確定氣動力所依賴的運動狀態變量及其之間的數學關系。現代飛行器外形設計和運動方式比傳統飛行器復雜，應進一步發展能夠全面反映氣動力對迎角的強烈非線性依賴關系、時間延遲效應、氣動力的交叉耦合等特點的非定常氣動力模型。

2) 動導數的計算需要綜合考慮精度與效率。在目前CFD方法模擬效率不高的前提下，工程近似方法依然是飛行器型號設計初期滿足動導數快速分析需求的重要手段。準定常計算方法和非定常頻域計算方法作為非定常時域求解的簡化近似方法，其適用范圍及計算精度有待于深入研究。

3) 目前動導數的研究大多圍繞繞定軸振動的組合導數，針對加速度導數和旋轉導數的研究較少，對交叉導數和交叉耦合導數的預測也經驗不足。如何準確可靠地預測這類動導數，仍有大量工作要做。

4) 目前針對工程復雜外形的動導數模擬研究較少，工程實際外形的非定常流場的準確模擬是動導數計算的重要基礎。動態非定常條件下的激波誘導分離、旋渦運動與破裂以及它們之間的相互作用使得動導數的精確模擬是一件非常困難的工作。采用高精度、高分辨率格式可以更好地處理復雜外形強非定常的非線性多尺度流動問題，是未來動態特性模擬技術研究的發展方向。此外，針對工程問題中遇到的高溫氣體效應、稀薄氣體效應、噴流影響等實際情況下的動導數計算還需做進一步深入的研究。

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劉緒男， 博士研究生。主要研究方向： 高超聲速空氣動力學。

Tel.: 0731-84574792

E-mail: liuxuqd@126.com

劉偉男， 博士， 教授。主要研究方向： 計算流體力學研究與應用。

Tel.: 0731-84573137

E-mail: fishfather6525@sina.com

柴振霞女， 博士研究生。主要研究方向： 頻域計算方法在非定常流動中的應用。

Tel.: 0731-84574792

E-mail: chaizhenxia@sina.cn

楊小亮男， 博士， 講師。主要研究方向： 計算流體力學研究與應用。

Tel.: 0731-84574792

E-mail: yangxl_nudt@sina.com

Research progress of numerical method of dynamic stabilityderivatives of aircraft

LIU Xu, LIU Wei*, CHAI Zhenxia, YANG Xiaoliang

College of Areospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha410073, China

Dynamic stability derivatives (for short, dynamic derivatives) are key aerodynamic parameters for designing the control system, investigating the dynamic instability boundary and studying the dynamic stability criteria of aircraft. After a brief summary of flight stability, the research progress made in the numerical simulation of aircraft dynamic stability parameters is described. The main dynamic derivative calculation methods applied over the past few years are reviewed with respect to the theoretical method, engineering approximation and computational fluid dynamics (CFD) simulation. The merits of these dynamic derivative prediction methods are identified, and problems with numerical simulation of dynamic derivatives in terms of theoretical basis, unsteady aerodynamic modeling, the precision and efficiency of the prediction methods are pointed out. A mature, reliable prediction of dynamic stability characteristic enables us to evaluate and select different air design plans so as to minimize the aircraft design cost and mitigate risk exposure. Finally, the development trend of numerical simulation of dynamic derivatives is prospected.

numerical methods; computational fluid dynamics; stability; time domain analysis; dynamic derivatives

2016-01-11； Revised： 2016-02-17； Accepted： 2016-03-23； Published online： 2016-03-2915:29

s： National Natural Science Foundation of China (11172325, 11502292); NUDT Advanced Project (ZDYYJCYJ20140101)

. Tel.： 0731-84573137E-mail: fishfather6525@sina.com

2016-01-11； 退修日期： 2016-02-17； 錄用日期： 2016-03-23；

時間： 2016-03-2915:29

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160329.1529.008.html

國家自然科學基金 (11172325，11502292); 國防科學技術大學預研項目 (ZDYYJCYJ20140101)

.Tel.： 0731-84573137E-mail: fishfather6525@sina.com

10.7527/S1000-6893.2016.0098

V211.3

A

1000-6893(2016)08-2348-22

引用格式： 劉緒， 劉偉， 柴振霞， 等． 飛行器動態穩定性參數計算方法研究進展[J]． 航空學報, 2016, 37(8): 2348-2369. LIU X, LIU W, CHAI Z X, et al. Research progress of numerical method of dynamic stability derivatives of aircraft[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(8): 2348-2369.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160329.1529.008.html