用實(shí)變函數(shù)理論透視數(shù)學(xué)分析

霍美睿

[關(guān)鍵詞]實(shí)變函數(shù)理論；數(shù)學(xué)分析；勒貝格積分理論

我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的微積分是普通微積分，它是由牛頓和萊布尼茨所建立的，存在著明顯的缺陷主要有三個(gè)方面：

第一，黎曼意義下可積的 函數(shù)類(lèi)的范圍太小。例如，定義在上的狄利克雷函數(shù)，在黎曼積分（也稱(chēng)積分）意義下不是可積函數(shù)，這一點(diǎn)實(shí)在遺憾！因?yàn)閱螐男问缴峡此莻€(gè)非常“簡(jiǎn)單”的函數(shù)，函數(shù)值只有兩個(gè)值，卻居然黎曼不可積，這說(shuō)明黎曼可積函數(shù)類(lèi)的范圍太小。深入研究可知，黎曼可積函數(shù)空間是不完備的，即黎曼可積函數(shù)列的極限函數(shù)未必黎曼可積。空間的不完備使得泛函分析等近代數(shù)學(xué)方法和技巧無(wú)法應(yīng)用。

第二，積分與極限可交換順序的條件太嚴(yán)。在數(shù)學(xué)分析中，經(jīng)常遇到的重要問(wèn)題是兩種極限過(guò)程的交換順序問(wèn)題，尤其是積分與函數(shù)列的極限的交換問(wèn)題在那里一般都是用函數(shù)列的一致收斂的條件來(lái)保證極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序可以交換，但是“一致收斂”這個(gè)條件是過(guò)于苛刻了，而且檢驗(yàn)起來(lái)也不方便。由于積分與極限交換順序這個(gè)問(wèn)題不能順利解決，就大大降低了積分的效果。

第三，積分運(yùn)算不完全是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。我們知道任一個(gè)黎曼可積函數(shù)的變上限積分

在的所有連續(xù)點(diǎn)都有，換言之，就是積分后再微分可以還原。

然而，伏爾泰拉在1881年就構(gòu)造了一個(gè)可微函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是有界的，但導(dǎo)函數(shù)不是黎曼可積的，從而對(duì)這個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，積分運(yùn)算并不是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，這就大大限制了微積分學(xué)基本定理的應(yīng)用范圍。鑒于積分的上述缺陷，人們長(zhǎng)期以來(lái)就致力于改進(jìn)的嘗試，直1902年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格才成功地引入了一種新積分，后人稱(chēng)之為勒貝格積分，簡(jiǎn)稱(chēng)積分，由于它在很大程度上擺脫了上述積分的困境，而且大大地?cái)U(kuò)充了可積函數(shù)的范圍，所以今天已成為分析數(shù)學(xué)中不可缺少的工具。

實(shí)變函數(shù)理論就是圍繞積分的建立而展開(kāi)的，它以集合論和實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)，將考察對(duì)象從經(jīng)典分析考察的定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)擴(kuò)大到定義在可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)類(lèi)，在更寬松的條件下運(yùn)用微積分，使得微積分理論得到進(jìn)一步發(fā)展，其中心內(nèi)容為勒貝格測(cè)度論與勒貝格積分論。

但實(shí)變函數(shù)處理問(wèn)題的思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)分析有了較大的飛躍，常使初學(xué)者感 到陌生、不適應(yīng)，面對(duì)習(xí)題束手無(wú)策往往加重了學(xué)生的思想負(fù)擔(dān)。“教師難教，學(xué)生難學(xué) ”使課程建設(shè)的難度不言而喻。為此，在教學(xué)中一定要把這些新的概念與數(shù)學(xué)分析中已知的一些概念緊密結(jié)合起來(lái)，循環(huán)漸進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)，這樣才能有可能把“承上”做好。

一、在實(shí)變函數(shù)理論中探討牛頓萊布尼茲公式成立的條件

利用絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念，我們可以得到關(guān)于黎曼積分與牛頓—萊布尼茨公式：

黎曼積分

成立的充要條件是：（1）（2）是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)；而在勒貝格積分的意義下，牛頓萊布尼茲公式：勒貝格積分

成立的充要條件是：是上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。

二、應(yīng)用勒貝格積分理論可以簡(jiǎn)便解決數(shù)學(xué)分析中的某些問(wèn)題

根據(jù)黎曼積分與勒貝格積分間的以下關(guān)系： 設(shè)是有限區(qū)間上的有界函數(shù)，若在上黎曼可積，則在上勒貝格可積，且積分值相同。由此為我們提供了一個(gè)用勒貝格積分理論來(lái)處理數(shù)學(xué)分析中某些問(wèn)題的方法， 特別是原來(lái)比較難證明的或不易說(shuō)明白的問(wèn)題， 用此方法可較容易地給出滿(mǎn)意的解釋。 下面舉幾例子加以說(shuō)明。

例1 若 是在 上處處取正值的常義黎曼可積函數(shù)，則

黎曼積分。

分析 此題若用數(shù)學(xué)分析的方法去證明，則相當(dāng)麻煩。但若利用實(shí)變函數(shù)的結(jié)論：若 則必有并且

再用反證法，即假設(shè)勒貝格積分，由積分的唯一性知（）。 這與已知矛盾，證畢。

例2 求證。

證明 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

。所以，于是僅需證明即可。 但是用“”語(yǔ)言直接證明十分麻煩，從而，且=0，，這樣由勒貝格控制收斂定理有==0。

例3 求I=

解 首先展開(kāi)被積函數(shù)===，因在內(nèi)非負(fù)連續(xù)，故由勒貝格逐項(xiàng)積分定理得I= 即

從表面可以看出示例3的演算似乎完全是在數(shù)學(xué)分析的框架內(nèi)進(jìn)行的，但是求和與積分互換的理由卻不易用數(shù)學(xué)分析中定理講清楚，用Levi定理的級(jí)數(shù)形式—勒貝格逐項(xiàng)積分定理則十分簡(jiǎn)明。

三、數(shù)學(xué)分析對(duì)實(shí)變函數(shù)理論的作用

極限方法在研究實(shí)變函數(shù)理論中得到更充分的應(yīng)用。極限方法是研究數(shù)學(xué)分析的主要方法，與它相比，極限方法在研究實(shí)變函數(shù)理論中得到更加充分的應(yīng)用，事實(shí)上，一方面積分是在測(cè)度基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，而測(cè)度與作為積分基礎(chǔ)的Jordan測(cè)度相比，不僅具有有限可加性，更具有可數(shù)可加性；另一方面，積分論的研究對(duì)象是定義在可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，它與數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象——連續(xù)函數(shù)相比，有本質(zhì)區(qū)別，連續(xù)函數(shù)對(duì)極限運(yùn)算不封閉，而可測(cè)函數(shù)在極限運(yùn)算下是封閉的。這就是說(shuō)，極限運(yùn)算對(duì)可測(cè)集、測(cè)函數(shù)可暢通無(wú)阻地進(jìn)行使用，也正是由于這個(gè)原因，使極限運(yùn)算在積分理論中得到充分的應(yīng)用，而且使積分能克服積分的局限性。例如勒貝格控制收斂定理，提供了比積分較弱的條件，使極限與積分次序可以交換，即它不要求驗(yàn)證極限函數(shù)的可積性，分析其原因正是基于“可測(cè)函數(shù)的極限函數(shù)仍是可測(cè)函數(shù)”這一特性，因此積分較之積分有著更為廣泛的應(yīng)用。以下我們舉一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明極限方法在實(shí)變函數(shù)理論中的應(yīng)用：

例如 若：連續(xù)且，： 勒貝格可測(cè)，則：為勒貝格可測(cè)。

證明 設(shè)為簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限，連續(xù)函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)（在逐點(diǎn)意義下）可以交換， 與簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是簡(jiǎn)單函數(shù)， 簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限函數(shù)可測(cè)。 這里的過(guò)程完全由極限方法主導(dǎo)著。

通過(guò)實(shí)變函數(shù)理論與數(shù)學(xué)分析的比較，我們可以認(rèn)清有關(guān)測(cè)度的定理來(lái)源于積分的定理，對(duì)數(shù)學(xué)以及其它的學(xué)科也產(chǎn)生了很大的影響。實(shí)變函數(shù)理論是微積分的延續(xù)學(xué)科，是比較高深的學(xué)科。因此，在學(xué)習(xí)中我們要學(xué)會(huì)運(yùn)用比較的方法，結(jié)合以前所學(xué)的知識(shí)由淺入深，這樣才能對(duì)新的理論不會(huì)感到高深莫測(cè)。□

（編輯/劉佳）