Massive MIMO多用戶系統(tǒng)波束成形的凸優(yōu)化解決思路分析*

何 華，姜 靜

（西安郵電大學 通信與信息工程學院，陜西 西安 710121）

Massive MIMO多用戶系統(tǒng)波束成形的凸優(yōu)化解決思路分析*

何 華，姜 靜

（西安郵電大學 通信與信息工程學院，陜西 西安 710121）

在Massive MIMO多用戶通信系統(tǒng)中，波束形成利用空分的思想來調(diào)整多波束的方向相位，使得各波束對用戶的指向更精確，從而有效提高系統(tǒng)的能效。波束算法最終要解決某一類優(yōu)化問題，傳統(tǒng)方法常常使用迭代計算，不但收斂速率慢，停止條件難以明確，且常常只能計算出局部最優(yōu)值。因此，提出將凸優(yōu)化理論與方法應(yīng)用到Massive MIMO多用戶通信系統(tǒng)中進行波束成形計算的思路，以大大加快計算收斂速率，且局部最優(yōu)一定是全局最優(yōu)，使得波束優(yōu)化問題得到快速、可靠解決。

大規(guī)模多輸入多輸出；凸優(yōu)化；波束形成；收斂速度

0　引 言

凸優(yōu)化方法被廣泛應(yīng)用于多種科學問題的設(shè)計和分析，特別是在通信與信號處理方面，凸優(yōu)化應(yīng)用解決了一些其他方法難以解決的問題，因而成為一種重要的方法和途徑，值得研究者不斷學習［1］。凸優(yōu)化方法還被用來有效與可靠地解決大型的、實際的工程問題。它提供了非傳統(tǒng)計算和數(shù)學方法，解決了實際中更為復(fù)雜的問題［2］。

為什么凸優(yōu)化方法可以解決通信中的許多問題？歸根結(jié)底是因為許多通信問題可以被定義為凸優(yōu)化問題，或者可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。這也體現(xiàn)

出凸優(yōu)化在通信領(lǐng)域的應(yīng)用不容忽視［3］。

凸優(yōu)化是凸目標函數(shù)的最小化，且必須滿足

某種凸的限制條件。認識凸優(yōu)化問題可以從三個方面入手。首先，能夠?qū)⒛骋豢茖W問題表示成優(yōu)化問題；其次，判斷優(yōu)化問題是否為凸優(yōu)化問題；第三，對判斷的凸優(yōu)化問題利用凸優(yōu)化方法進行分析與計算［4］。如果某一個科學問題可以被表示為凸優(yōu)化問題，那基本可以確定此問題已經(jīng)得到了解決。

1　優(yōu)化問題

優(yōu)化問題是指具有形如式（1）的形式［5］：

其中，x是優(yōu)化變量，f0是代價函數(shù)，fi和hi分別是不等式約束和等式約束。式（1）可理解為在同時滿足fi（x）≤0，i=1，…，m和hi（x）=0，i=1，…，p條件的x集合中找出最小化f0（x）的點x*，并求出f0（x*）的值。

一般來說，形如這樣的問題用一般的傳統(tǒng)方法很難解決。原因歸結(jié)起來有三點：第一，當x維數(shù)較大，該問題會變得非常復(fù)雜；第二，收斂速率較慢是優(yōu)化問題難以解決的極大障礙，常常在迭代計算進行了很多次后，仍然難以找到可行的最優(yōu)解；第三，迭代停止的標準較為武斷，在迭代計算停止時，或許找到的最優(yōu)解只是局部最優(yōu)解，但此時若滿足停止條件，則會將局部最優(yōu)解當作全局最優(yōu)解來使用，從而在很大程度上降低了優(yōu)化問題解的正確性與可靠性。因此，凸優(yōu)化方法越來越成為當今很多領(lǐng)域的重要解決途徑。

2　凸優(yōu)化問題

如果能將某個問題表述為凸優(yōu)化問題，那么就能迅速有效地進行求解。使用凸優(yōu)化的難點或技巧，在于如何判斷某個問題是否為凸優(yōu)化問題。一旦實際問題成功被表述為凸優(yōu)化問題的形式，那么解決該問題將只是一項技術(shù)問題［6］。

凸優(yōu)化問題具有形如式（2）的形式［7］：

其中，x是優(yōu)化變量，f0是代價函數(shù)，fi和分別是不等式約束和等式約束。將凸優(yōu)化表達式（2）與一般優(yōu)化表達式（1）進行比較發(fā)現(xiàn)，需滿足以下三個條件，才可將該優(yōu)化問題稱之為凸優(yōu)化。第一，代價函數(shù)（也稱目標函數(shù)）必須是凸的；第二，不等式約束函數(shù)必須均是凸的；第三，等 式約束函數(shù)必須是 仿射的，即式（1）中的hi須具有的形式，且對于成立。

3　Massive MIMO多用戶通信系統(tǒng)下行波束成形的凸優(yōu)化解決思路

波束成形是Massive MIMO多用戶通信系統(tǒng)中解決用戶間干擾、提高能量效率和頻譜效率的有力途徑。考慮一個配有N根天線的單基站通信系統(tǒng)，共有M個用戶，每個用戶具有1根天線，如圖1所示。

圖1　多用戶Massive M IMO通信系統(tǒng)

基站的發(fā)送信 號可如 式（3）所示：

其中，xm為向用戶m傳送的發(fā)射信號，wm為用戶m的波束向量。

用戶m的 接收信號可表示為：

下行波束成形優(yōu)化問題中，有三種情況是波束成形算法常常需達到的優(yōu)化標準。

第一，限制每個用戶的接收信干噪比SINR（Signal Interference Noise Rate）必須達到一定水平，同時最小化發(fā)射總功率。該SINR平衡問題可表示為：

其中，γk是用戶K需要接收的最小SINR。

第二，下行波束成形還可以考慮 信漏噪比S LNR（Signal Leakege Noise Rate）。用戶m的信號泄漏到其他用戶的比例需限制在一定的水平上：

其中，βk是用戶K必須滿足的最小SLNR。

第三，當發(fā)射功率的大小有限制時，發(fā)射功率的限制則變?yōu)榧s束條件，而同時要滿足此約束下用戶端能夠達到最大的信干噪比或信漏噪比：

式（5）、式（6）和式（7）均是多用戶Massive MIMO通信系統(tǒng)中波束成形常遇到的優(yōu)化問題。解決這些優(yōu)化問題的傳統(tǒng)方法是迭代算法，但是迭代算法的收斂速率慢，停止條件模糊，常常計算不出最優(yōu)值，或僅僅只能計算出局部最優(yōu)值。然而，如果采用凸優(yōu)化的方法，只要能計算出局部最優(yōu)值，則可確定該值即是全局最優(yōu)。因為凸優(yōu)化的基本性質(zhì)就是其任意局部最優(yōu)解也是全局最優(yōu)解。

但是，以上考慮的三種優(yōu)化問題均不是凸優(yōu)化問題，因此需要打破傳統(tǒng)迭代算法的思路，將波束成形的三種優(yōu)化問題利用凸優(yōu)化的理論知識轉(zhuǎn)換成凸優(yōu)化問題，或在一定程度上降低約束條件，使得非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，然后再用凸優(yōu)化方法，如拉格朗日法、KKT條件法、Newton法或內(nèi)積等方法來進行求解，最終使得優(yōu)化問題得以可靠、快速解決。

4　結(jié) 語

本文說明了迭代算法在凸優(yōu)化算法中的不足，提出了用凸優(yōu)化方法來解決波束形成問題的思路，以期改善迭代算法帶來的收斂速率慢、局部最優(yōu)等問題，最終提高Massive MIMO多用戶通信系統(tǒng)的性能。

［1］ Gershman A B，Sidiropoulos N D，Shahbazpanahi S，et al.Convex Optimization-Based Beamforming［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2010，27（03）：62-75.

［2］ Chang T H，Luo Z Q，Chi C Y.Approximation Bounds for Semidefinite Relaxation of Max-Min-Fair Multicast Transmit Beamforming Problem［J］.IEEE Transactions on Signal Processi ng，2008，56（08）：3932-3943.

［3］ WEI Yu，TIAN Lan.Transmitter Optimization for the Multi-Antenna Downlink With Per-Antenna Power Constraints［J］.IEEE Transactions on Signal Processi ng，2007，55（06）：2046-2660.

［4］ Lingbing Hu，Hongwei Liu，Da-Zheng Feng，et al.Optimal Mismatched Filter Bank Design for MIMO Radar via Convex Optimization［C］.IEEE Internation al Conference on Waveforms Diversity and Design，2010：126-131.

［5］ 孫波.多天線系統(tǒng)的波束成形技術(shù)研究［D］.成都：西南交通大學，2009.

SUN Bo.Beam Forming Technology of Multi Antenna System［D］.Chengdu：Southwest JiaoTong University，2009.

［6］ Boyd S，Vandenberghe L.Covex Optimization［M］.New York：Ca m-bridge University Press，2004.

［7］ 寧英井.基于凸優(yōu)化的魯棒認知波束形成技術(shù)［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2013：15-17.

NING Ying-jing.Robust Cognitive Beam based on Convex Optimization Technique［D］.Harbin：Harbin Institute of Technology，2013：15-17.

何 華（1982—），女，博士，講師，主要研究方向為無線通信；

姜 靜（1974—），女，博士，教授，主要研究方向為無線通信。

Convex Optimization Solution of Beam Forming in Massive MIMO

HE Hua， JIANG Jing
（Faculty of Communication and Information Engineering， Xi'an University of Telecommunications and Posts， Xi'an Shaanxi 710121， China）

In Massive MIMO multiuser communication system， beamforming adjusts the directions of multiple beams， and makes these beams more accurately point to the users， thus effectively improving the energy efficiency of the system. Beamforming algorithm ultimately solves a certain class of optimization problems， and the traditional methods often use iterative calculation. However， this iteration is slow in convergence rate and indistinct in stop condition， and usually calculates the local optimal value only. For this reason， the convex optimization theory and methods are proposed and applied to the massive MIMO multiuser communication system for beamforming calculations， thus to greatly accelerate the convergence rate and ensure that the local optimum must be the global optimum， and finally make a rapid and reliable solution of beamforming optimization problem.

Massive MIMO； convex optimization； beamforming； convergence rate

Scientific Research Plan Projects of Shaanxi Education Department（No.16JK1688）

TN929.12

A

1002-0802（2016）-10-1317-03

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.10.010

2016-06-14；

2016-09-19

data：2016-06-14；Revised data：2016-09-19

陜西省教育廳專項科研計劃項目（No.16JK1688）