雙包覆層局域共振聲子晶體帶隙特性研究

張佳龍，姚 宏，杜 軍，趙靜波，董亞科

(1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安 710038； 2.空軍工程大學理學院，西安 710051)

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雙包覆層局域共振聲子晶體帶隙特性研究

張佳龍1，姚 宏2，杜 軍1，趙靜波2，董亞科1

(1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安 710038； 2.空軍工程大學理學院，西安 710051)

從理論上提出了一種雙包覆層局域共振聲子晶體結構，結合有限元對該結構帶隙產生的機理、影響因素以及隔聲特性進行深入分析。結果表明：帶隙上邊界頻率主要由雙包覆層彈性模量大的材料決定；下邊界頻率主要由基體密度小的材料決定。該聲子晶體在低頻范圍具有良好的隔聲特性，為聲子晶體的結構設計提供理論指導。

聲子晶體； 局域共振； 帶隙機理； 隔聲特性

1 引 言

在日常環境中，噪聲污染(低頻噪聲)不但影響人們的工作學習，而且對人體健康都存在很大的危害，因此逐漸被人們廣泛關注。噪聲以彈性波的形式在聲子晶體中傳播，受其內部周期性結構作用，禁止傳播的頻率范圍稱為帶隙[1]?；诼曌泳w抑制波傳播機理，研究人員設計了很多聲子晶體結構，以達到低頻寬帶的目的[2-5]，例如彎曲梁類，薄板類，以及梁板復合結構。在隔聲減振處理做出了突破性的貢獻[6,7]。

二十一世紀初，香港科技大學的劉正猷教授等首次提出了基于局域共振機理的三維聲子晶體結構[8]，他們的團隊把直徑為1 cm鉛球外面均勻包覆2.5 mm的橡膠散射體，嵌入到環氧樹脂立方基體構成。實驗結果表明：帶隙頻率遠低于相同晶格尺寸的Bragg帶隙，實現了“小尺寸控制大波長”。K. M. Ho、C. K. Cheng 等根據局域共振機理制造出局域共振聲子晶體結構，獲得了200～500 Hz的寬頻帶隙，帶隙范圍內的聲衰減強度比預測大11 dB[9]。2010年，沈禮等基于彈性波機理，將局域共振聲子晶體結構引入到汽車盤式制動裝置中，通過實驗可驗證其在實際工程的可行性，結論為：該聲子晶體結構可在2000～2500 Hz頻率范圍內，聲壓降低幅值最大可達25 dB，平均噪聲可達13 dB以上[10]。2013年，西安交通大學張思文等提出了一種用于回收環境低頻振動能量新型局域共振單元結構，能夠在250 Hz以下擁有幾十甚至更多的共振頻率，最低頻率可降至20 Hz[11]。2014年，張晶的碩士論文《薄膜聲學超材料板力學特性研究》，提出有限三維結構薄膜結構，共振頻率為75.8 Hz，具有良好的隔聲效果[12]。2015年，黃佳等提出一種圓管型局域共振聲子晶體三維結構[13]，通過分析包裹層材料對帶隙特性的影響，進一步提出帶隙設計方法，使其滿足結構中對減振、隔振及降噪的需求，應用于工程實際。Chen等首次發現，薄膜類具有局域共振類聲子晶體，具有良好聲衰減特性，而且會產生帶隙頻率范圍為50～1000 Hz[14]。最近十幾年，Lai Y、Mei J等[15,16]基于局域共振機理設計了體和薄膜超材料，解決了低頻降噪減振的控制問題。

本文提出了雙包覆層局域共振聲子晶體結構在第一帶隙頻率范圍為400～560 Hz 具有良好的降噪效果，最大隔聲量為115 dB,而傳統的單包覆層局域共振單元結構在第一帶隙頻率范圍420～550 Hz內，最大隔聲量為95 dB。而且雙包覆層結構在不同頻段帶隙振動模態能夠相互的轉化，在低頻段帶隙主要是基體的密度起主導因素，高頻段帶隙主要是正八邊形框密度起主導因素，帶隙的下邊界頻率由基體密度大的材料決定，而上邊界由正八邊形框密度小的材料決定，這種結構的設計具有“輕質，寬帶，強衰減”特性，最大隔聲量為115 dB。本文對該結構帶隙機理、帶隙寬度影響因素以及隔聲特性進行了分析，為聲子晶體的制備提供理論依據。

2 共振帶隙機理

2.1 局域共振聲子晶體模型

該聲子晶體結構由局域共振單元組成，如圖1(a)。圖1(b)和(c)分別為局域共振單元和第一布里源區；局域共振單元是由A(鉛芯體)、B(內包覆層)及C(外包覆層)及D(環氧樹脂)組成，即內外雙包覆層包裹鉛球構成散射體，嵌入到環氧樹脂基體中。對應的材料和尺寸如表1,2。

圖1 (a)聲子晶體結構；(b)單元結構簡圖；(c)第一布里淵區Fig.1 (a)The structure of phononic crystal;(b)unit structure drawing;(c)first brillouin zone

MaterialsDensityρ/kg·m-3Young'smodulusE/1010PaPoissonratio/μA(Pb)116004.080.369B(Siliconrubber)13001.175e-50.469C(Membrane)9802e-50.490D(Epoxyresin)39700.4350.370

表2 材料尺寸Tab.2 Structure sizes

2.2 局域共振帶隙特性分析

根據局域共振單元結構的材料和尺寸參數，采用有限元法計算出該結構的能帶圖如圖2。

圖2 聲子晶體能帶圖Fig.2 Band gap of phononic crystal

由圖2可知，能帶在點分開，這是由于長波行波在低頻范圍，其波長遠遠大于單元結構(晶格常數)的長度，彈性播在低頻范圍內傳播與均勻介質相同，能帶圖呈線形關系。當基體中行波的頻率接近或者等于共振單元固有頻率時，則在單元體內會發生局域共振。基體中的長波將與該結構的共振模態相互耦合，絕大部分能量被局域在共振單元中，實現聲屏蔽，因此會出現帶隙，如上圖陰影部分所示。該局域共振聲子晶體在頻率范圍400～560 Hz和680～740 Hz，具有寬頻帶隙，為了進一步研究其產生帶隙機理，選取第一布里源區的高對稱點A、B、C、D、E和F的振動模態進行分析，圖3為A-F振型圖。

圖3 A-F 振形圖(黑色箭頭表示了位移的相對大小和方向)Fig.3 Local resonance modes of structure(Black arrow indicates the relative size and directions)

圖4 等效“質量-彈簧”系統Fig.4 Equivalent “mass-spring” system

A和B點為平移共振模式，該單元結構在平移共振模式下動力學特性相同，此時局域共振單元：振子為環氧樹脂，基體為由雙包覆層包裹的鉛球構成的散射體。橡膠帶動散射體做橫向或者縱向的平移運動，其中散射體一側受擠壓，另外一側受到拉伸，并且為相鄰振子之間以相同頻率反向運動，相互抵消，保證基體框靜止，內部相當于單自由系統，該共振單元結構可簡化為“質量-彈簧”系統，如圖4所示。共振帶隙的固有頻率，可根據單元結構簡化“質量-彈簧”系統，并由其提供的等效質量和剛度來進行估算：

(1)

上式中，Me、ke分別代表振子等效質量，彈簧的等效剛度。

C和D點為扭轉共振模式，對基體產生扭轉作用，而沒有對x、y方向有合力作用，基體中的長波很難與之發生相互耦合作用，因此不能產生共振帶隙。

噪聲以彈性波的形式傳播到該結構單元時，會對基體產生力F作用，而振子Me運動會對基體產生一個反用力f，基體在兩力共同作用下振動。當外激振力的頻率與共振單元的固有頻率接近時，兩作用力反向疊加，基體合外力為零，因而基體趨于靜止狀態，彈性波被局域化，振動無法傳播，僅限于共振單元中，能量被共振單元消耗掉，因此，此頻段的彈性波不能繼續傳播。

E、F點平移共振模式，該結構的局域共振單元：振子為散射體，基體為環氧樹脂。這就是傳統的經典模型。該結構可等效彈性模量的“質量-彈簧”系統。彈性波傳播到局域共振單元，會對共振單元產生力F作用，同時基體也會產生一個反作用力f，當彈性波的頻率和此系統的固有頻率接近時，元胞所受合外力為零，鉛芯體趨于靜止狀態。該結構的簡化模型由兩個單自由度的“質量-彈簧”系統串聯在一起，等效的彈簧的彈性模型模量減小。由根據公式(1)可知，等效的彈性模量減小，質量增加，該單自由系統固有頻率減小。

由以上分析可知，處于E、F點平移共振模式的共振頻率相比A、B點的較小，因此該局域共振聲子晶體能帶的上邊界頻率由前一個單自由系統中彈性模量大的決定，下邊界頻率由后一個單自由系統的振子(基體)密度小的決定。

3 影響帶隙寬度的因素及隔聲特性

3.1 帶隙寬度的影響因素

為了進一步分析該結構帶隙寬度和材料參數之間的關系，改變結構中鉛芯體的密度，包覆層、基體的彈性模量，觀察其帶隙的變化，如圖5所示。

圖5 帶隙寬度的影響因素(a)芯體鉛密度；(b)內包覆層彈性模量；(c)外包覆層彈性模量；(d)基體材料密度Fig.5 Width of band gap affect factors(a)the core of Pb of material density;(b)the inner cladding layer of elastic modulus；(c)the outer cladding layer of elastic modulus;(d)the based material of material density

從圖5可以看出，隨著鉛芯體的密度的增大，帶隙的上、下邊界頻率均隨之減小，但下邊界頻率變化率較快，較上邊界頻率降低至264 Hz，而且帶隙的寬度也隨著增大，這是由于簡化為“質量-彈簧”系統中密度(即質量)增大，固有頻率減小。根據公式(1)可知，振子密度增大，整個數值將減小，即該局域共振單元固有頻率減小。由圖(b)和(c)可知，隨著雙包覆層的彈性模量的增大，帶隙的上、下邊界的頻率均增大，且帶隙的寬度也隨之增大，但帶隙上邊界的頻率增大的程度較大，隨后基本保持不變，這是由于簡化模型中彈性模量增大，但彈簧的彈性模量在一定范圍呈線性，超過臨界值呈非線性，因此固有頻率減小。由圖5(d)可知，隨著基體的密度的增大，帶隙的上、下邊界的頻率均減小，但帶隙下邊界的頻率減小的程度較大，這是由于局域共振單元中環氧樹脂作為振子，基體為散射體的簡化為模型中，基體密度增大，故帶隙的固有頻率減小。

根據以上分析可知，帶隙上邊界頻率由包覆層的彈性模量大的決定，下邊界頻率由基體密度大的決定。

3.2 隔聲特性

圖6 聲子晶體隔聲量Fig.6 Sound insulation of the phononic crystal

為了進一步研究該結構的隔聲特性，結合表1、2的材料參數和尺寸參數，計算3X3結構的隔聲量如圖6 所示。從圖6可知，在頻率范圍400～560 Hz，該結構的隔聲效果最好，最大隔聲量為115 dB。根據式(1)可得，第一共振頻率減小，能量衰減快，隔聲量大，因此，聲衰減特性增強。在低頻段0～310 Hz，隔聲量呈現先緩慢增大趨勢；在高頻段310～910 Hz，隔聲量呈現先增大后減小趨勢，主要由于簡化模型中，等效質量減小，等效的彈簧剛度增強，局域共振系統能量損耗增大，隔聲量增強；當系統等效質量達到極限時，系統就會失去局域共振特性，因此該結構優于傳統的單包覆層局域共振單元結構。同時也驗證了在此頻率范圍內正好為禁帶，與能帶結構吻合。

4 結 論

(1)本文提出一種雙包覆層局域共振聲子晶體結構模型，采用有限元法對結構的帶隙生成機理，隔聲特性進行深入分析，該結構在中低頻段(400～560 Hz)具有良好的隔聲特性，而且帶隙邊界頻率等效兩個單自由度的“質量-彈簧”系統，該局域共振單元結構沒有嚴格意義上的基體和振子之分，他們之間可以相互轉化；

(2)帶隙是由基體行波與局域共振單元相互耦合作用的結果，通過改變結構性能參數(芯體密度，包覆層、基體的彈性模量)，可以調節帶隙寬度及帶隙上下邊界頻率；帶隙上邊界頻率由包覆層彈性模量大的決定，下邊界頻率由基體密度大的決定，從而確定影響帶隙寬度，隔聲量的關鍵因素，從而達到優化結構目的。

這種結構的設計為制備“低頻，寬帶，強衰減”特性的聲子晶體提供了理論依據和方法指導。

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Band Gap Characteristics of Periodic the Double Cladding Layer Locally Resonant Phononic Crystal

ZHANGJia-long1,YAOHong2,DUJun1,ZHAOJing-bo2,DONGYa-ke1

(1.College of Aeronautics and Astronautics Engineering,Air Force Engineering University,Xi’an 710038,China；2.College of Science,Air Force Engineering University,Xi’an 710051,China)

The double cladding layer local resonance mechanism resonators in phononic crystal was proposed. The band gap formation mechanisms, the width of band gap affect factors, and sound insulation quantities with finite element methods were analyzed. These results show that starting frequency depends on higher elastic modulus of the double cladding layer elasticity, cut-off frequency depends on smaller bulk density of elasticity. These results that phononic crystal has a good the light quality, low-frequency, width band gap and the sound insulation of characteristics, provides potential applications prospect the reducing of low-frequency noise in the mechanical equipments and provides theoretical guidance for the design of the structure of the phonon crystal.

phononic crystal;local resonance;band-gap mechanism;sound insulation of characteristic

國家自然科學基金(11447147,11504429);陜西省自然科學基礎研究計劃(2015JQ5155)

張佳龍(1990-)，男，碩士研究生.主要從事聲子晶體振動與降噪方向的研究.

姚 宏，博導，教授.

O734

A

1001-1625(2016)09-2767-05