用跟蹤微分器實(shí)現(xiàn)機(jī)器人自抗擾控制

李殿起，段勇

（1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽110870；2.沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧沈陽110870）

用跟蹤微分器實(shí)現(xiàn)機(jī)器人自抗擾控制

李殿起1，段勇2

（1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽110870；2.沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧沈陽110870）

建立基于干擾估計(jì)的機(jī)器人非線性反饋控制系統(tǒng)并證明其穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上提出一種適用于機(jī)器人跟蹤控制的新型自抗擾控制器。該控制器不需實(shí)時(shí)計(jì)算復(fù)雜的機(jī)器人動(dòng)態(tài)模型，由兩個(gè)跟蹤微分器（TD）構(gòu)成：一個(gè)用于安排系統(tǒng)的過渡過程；另一個(gè)用來估計(jì)速度和加速度，TD的濾波特性使其對(duì)量測(cè)噪聲具有抑制作用。由被控對(duì)象的控制量與所估計(jì)加速度的反饋構(gòu)成的“擴(kuò)張狀態(tài)”來自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)模型和外擾的實(shí)時(shí)作用并實(shí)時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。除了和以往的自抗擾控制器一樣具有很好的適應(yīng)能力和很強(qiáng)的魯棒性外，它還具有需整定參數(shù)少的特點(diǎn)。仿真結(jié)果表明，該控制器是有效的且具有很強(qiáng)的魯棒性，而且系統(tǒng)響應(yīng)快且超調(diào)小。

控制科學(xué)與技術(shù)；機(jī)器人；自抗擾控制器；加速度估計(jì)；跟蹤微分器；擴(kuò)張狀態(tài)

0　引言

機(jī)器人控制器設(shè)計(jì)按是否考慮動(dòng)態(tài)模型可分為兩類［1］。

一類是完全不考慮機(jī)器人的動(dòng)態(tài)模型，只是按機(jī)器人實(shí)際軌跡與期望軌跡的偏差進(jìn)行負(fù)反饋控制。這類控制器常采用PD或PID控制，它的主要優(yōu)點(diǎn)是控制律簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。但對(duì)于控制高速高精度的機(jī)器人來說，這類方法有兩個(gè)明顯的缺點(diǎn):一是難于保證受控機(jī)器人具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)品質(zhì)；二是需要較大的控制能量。

另一類控制器設(shè)計(jì)方法是以模型為基礎(chǔ)的控制方法，被稱為動(dòng)態(tài)控制。用動(dòng)態(tài)控制方法設(shè)計(jì)的控制器可使被控機(jī)器人具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)品質(zhì)。然而由于各種動(dòng)態(tài)控制方案中都無一例外地需要實(shí)時(shí)進(jìn)行機(jī)器人動(dòng)力學(xué)計(jì)算，而機(jī)器人又是一個(gè)復(fù)雜的多變量強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，這就需要較大的在線計(jì)算量，給實(shí)時(shí)控制帶來困難。

機(jī)器人動(dòng)態(tài)控制的基本方案是計(jì)算力矩方法，也稱為逆動(dòng)力學(xué)算法。在此基礎(chǔ)上又發(fā)展了機(jī)器人自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制和各種魯棒控制設(shè)計(jì)方法等。上述方法要么依賴復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，要么設(shè)計(jì)方法復(fù)雜，實(shí)用性差。

在不計(jì)算復(fù)雜的機(jī)器人動(dòng)態(tài)模型的前提下，如何實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的高速高精度控制是一個(gè)值得研究的問題。而自抗擾控制器（ADRC）正是這樣一種不依賴于系統(tǒng)模型的新型控制技術(shù)。

ADRC從其設(shè)計(jì)思想產(chǎn)生至今已經(jīng)經(jīng)歷了20多年的曲折發(fā)展過程［2-4］，它的明確提出并形成完整的理論［5-6］僅僅發(fā)生在十幾年前。目前，將其用于機(jī)器人控制的研究［7-9］較少，這些研究只是將ADRC原來的控制結(jié)構(gòu)用在了機(jī)器人控制方面，沒有針對(duì)機(jī)器人控制的特點(diǎn)有所改進(jìn)。本文的目的就是根據(jù)ADRC的原理，設(shè)計(jì)一種適用于機(jī)器人控制的新型ADRC.

1　用干擾估計(jì)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人單關(guān)節(jié)控制

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為

式中:子=［τ1，τ2，…，τn］T是加在各關(guān)節(jié)上的n×1廣義力矩矢量，n是機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)；q=［q1，q2，…，qn］T是機(jī)器人的n×1關(guān)節(jié)矢量；D（q）是機(jī)器人的慣量矩陣，是n×n的實(shí)對(duì)稱陣是n×1的非線性哥氏力和離心力矢量；G（q）為n×1重力矢量；F表示未建模動(dòng)態(tài)和未知外擾作用。

將（1）式重寫為

式中:M=diag［m11，m22，…，mnn］是n×n的實(shí)常量對(duì)角矩陣外，所有其他來自模型（已建模和未建模動(dòng)態(tài)）和未知外擾的實(shí)時(shí)作用一并計(jì)入由（1）式和（2）式得

同時(shí)得到理想情況下的誤差方程

現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是在不通過計(jì)算復(fù)雜動(dòng)態(tài)模型（1）式的情況下，如何得到H的估計(jì)文獻(xiàn)［11］提出用（8）式計(jì)算:

由（4）式得出如下控制律:

綜上所述，（9）式能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)所有來自模型和未知外擾的實(shí)時(shí)作用H，控制器（10）式使機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程（1）式解耦和線性化，這樣機(jī)器人多關(guān)節(jié)控制被轉(zhuǎn)化為單關(guān)節(jié)控制。

2　非線性反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與證明

定義誤差矢量

式中:ε（t）=［ε1（t），ε2（t），…，εn（t）］T。在控制律為（10）式的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程（5）式被重寫為

ε（t）被認(rèn)為是干擾輸入，若ε（t）有界，則誤差方程（12）式的解e（t）亦有界，這也是通常所說的有界輸入、有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性［10］。實(shí)際上，對(duì)于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸進(jìn)穩(wěn)定包含了系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定。這也就是說，若ε（t）有界，且解耦的線性定常系統(tǒng)（7）式的平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)（12）式是穩(wěn)定的。用極點(diǎn)配置法，很容易保證系統(tǒng)（7）式的穩(wěn)定性，目前的關(guān)鍵問題是如何保證ε（t）的有界性，文獻(xiàn)［11］對(duì)此進(jìn)行了分析，并得出如下結(jié)論:只要對(duì)角矩陣M的取值滿足下面條件中的任意一個(gè)，即可保證ε（t）的有界性:

1）對(duì)角矩陣M=ηI，I是n×n的單位矩陣，η為一正常數(shù)值，同時(shí)需滿足0＜η＜2ρ，其中ρ是慣量矩陣D（q）的特征值的下界。

2）如果慣量矩陣D（q）是對(duì)角陣，對(duì)角矩陣M=diag［η1，η2，…，ηn］，但需滿足ηi＜2ρi，其中ρi為D（q）的對(duì)角元素的下界。

文獻(xiàn)［12］對(duì)機(jī)器人的慣量矩陣的一致有界性進(jìn)行了詳細(xì)的分析，在不需推導(dǎo)D（q）的情況下，可方便地得到它的特征值下界。

ADRC一般采用非線性反饋控制，為此這里設(shè)計(jì)如下機(jī)器人非線性反饋控制律:

式中:βi1、βi2為增益系數(shù)；0＜αj＜1（j=1，2）時(shí)誤差衰減速度最快，抑制擾動(dòng)的能力最好［5］。若αj=1，（13）式變?yōu)椋?0）式，可見，機(jī)器人PD反饋控制是非線性反饋控制（13）式的特殊形式。

通過對(duì)角矩陣M的選取，保證了ε（t）的有界性。通過補(bǔ)償項(xiàng)^H，把機(jī)器人非線性系統(tǒng)化為了線性系統(tǒng)。然而，在控制律為（13）式時(shí)，如何保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性呢？下面給出證明。

由（2）式和（13）式兩式得到閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程為

3　機(jī)器人自抗擾控制器

上述（9）式的控制思想與ADRC［6］自動(dòng)檢測(cè)擾動(dòng)并進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)姆椒ㄊ且恢碌?。控制器?0）式在實(shí)施過程中，還存在著如下問題:首先時(shí)間延遲T在很小的情況下，估計(jì)值^H才能準(zhǔn)確反映總干擾H，而且用（9）式計(jì)算^H時(shí)要用到加速度，眾所周知，量測(cè)位移中不可避免地含有噪聲，文獻(xiàn)［11］用1階微分求速度，2階微分求取加速度的方法勢(shì)必引起噪聲的放大，采樣時(shí)間T越小，噪聲放大越嚴(yán)重［13］，為此這里提出用跟蹤微分器（TD）跟蹤位移和估計(jì)速度的同時(shí)一并估計(jì)出加速度的新方法。另外，控制器（10）式采用PD控制無法很好地解決系統(tǒng)快速性和超調(diào)之間的矛盾。出于以上兩點(diǎn)考慮，將控制器（10）式改造成一種適用于機(jī)器人控制的ADRC.

在一般的控制系統(tǒng)中，比如上面的控制器（10）式采用PD控制，誤差直接取成e=v-y，式中: v為設(shè)定值；y為系統(tǒng)輸出。誤差的這種取法就意味著讓有一定慣性，不可能跳變的輸出量y來跟蹤可以跳變的量v，從而使初始誤差很大，易引起“超調(diào)”，很不合理。加上這種線性組合方式不易解決快速性和超調(diào)的矛盾。因此，用TD和非線性控制來克服PD控制的缺點(diǎn)。

ADRC是由如下3部分組成:用一個(gè)TD來安排系統(tǒng)的過渡過程并提取其微分信號(hào)；用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）來估計(jì)對(duì)象的狀態(tài)變量和未知擾動(dòng)的實(shí)時(shí)作用量并進(jìn)行補(bǔ)償；由安排的過渡過程與對(duì)象狀態(tài)估計(jì)量之間誤差的適當(dāng)非線性組合和未知擾動(dòng)估計(jì)量的補(bǔ)償來生成控制信號(hào)。文獻(xiàn)［14］介紹了ADRC設(shè)計(jì)的分離性原理，即按各自的工程意義分別獨(dú)立地設(shè)計(jì)出以上3個(gè)組成部分，然后組合起來組成一個(gè)完整的ADRC.盡管目前還沒能給出分離性原理的理論證明，但是大量仿真研究說明，對(duì)ADRC的設(shè)計(jì)完全可以使用這一分離性原理。

第2節(jié)證明了機(jī)器人非線性反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在控制器（13）式的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的機(jī)器人ADRC如圖1所示，圖中所有變量的下標(biāo)i表示機(jī)器人的關(guān)節(jié)號(hào)，以下敘述中i=1，2，…，n.圖1中NLC表示非線性反饋控制，z-1表示時(shí)間延遲。與ADRC的3個(gè)組成部分相對(duì)應(yīng)，機(jī)器人ADRC的組成分以下3個(gè)小節(jié)來介紹。

圖1　機(jī)器人自抗擾控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure drawing of active disturbance rejection controller for robot

3.1安排過渡過程

TD的離散形式為

式中:T為采樣周期；v（t）為輸入信號(hào)；x1（t）跟蹤v（t）；x2（t）為v（t）的微分；r為決定跟蹤快慢的參數(shù)，稱作速度因子；而h為輸入信號(hào)被噪聲污染時(shí)，決定濾波效果的參數(shù)，稱作濾波因子；

觀察TD（15）式，若v（t）為輸入位移，則x1（t）跟蹤輸入位移，x2（t）為速度，而x2（t+T）為其后一時(shí)刻的速度，根據(jù)速度和加速度的關(guān)系，顯然（15）式中的fhan（x1（t），x2（t），v（t），r，h）就是加速度。

在圖1中有兩個(gè)TD（TD1和TD2）。為了區(qū)分TD1和TD2，給x1（t）、x2（t）、fhan加上標(biāo)“1”、“2”，為了區(qū)分應(yīng)用于不同的關(guān)節(jié)為其加下標(biāo)“i”.

在這里使用離散TD有兩個(gè)好處，能保證系統(tǒng)有較短的過渡過程而不出現(xiàn)超調(diào)，即使跟蹤階躍信號(hào)也沒有超調(diào)［15］；在機(jī)器人控制過程中，軌跡規(guī)劃的參考軌跡通常是不可微的，TD可以從不可微信號(hào)或含有噪聲的信號(hào)中合理地提取連續(xù)可微的信號(hào)。因此，只要給定參考位移，即可由TD“自動(dòng)規(guī)劃”出參考速度和加速度。

3.2估計(jì)速度和加速度

如果將ADRC中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器直接運(yùn)用到機(jī)器人自抗擾控制中，由于每個(gè)ESO中有3個(gè)參數(shù)需要整定，對(duì)于具有n個(gè)自由度的機(jī)器人來說，僅ESO部分就有3n個(gè)參數(shù)需要整定，其難度是可想而知的。為此這里提出用TD估計(jì)速度和加速度。

如圖1所示，當(dāng)TD2的輸入為機(jī)器人關(guān)節(jié)角位移qi的量測(cè)值時(shí)，x21i（t）跟蹤機(jī)器人關(guān)節(jié)的實(shí)際轉(zhuǎn)見，在這里TD2實(shí)際上是一個(gè)速度、加速度估計(jì)器。為了盡可能好地提取出速度和加速度信號(hào)，通常速度因子r2取得大些。因?yàn)門D具有類似于線性低通濾波器的頻率特性［15］，所以用它來跟蹤機(jī)器人關(guān)節(jié)的輸出qi具有較好的噪聲抑制作用。一般系統(tǒng)的輸出均含有一定噪聲，因此濾波因子h2取適當(dāng)大些的值。

3.3非線性反饋控制律

控制律（13）式中的非線性PD反饋為

當(dāng)0＜αj＜1（j=1，2）時(shí)確定的誤差反饋律（16）式具有小誤差、大增益，大誤差、小增益的特點(diǎn)。

文獻(xiàn)［16］已經(jīng)證明了非線性TD的收斂性，另外，TD的速度因子r越大，對(duì)位置和速度跟蹤得越快，就能越快地達(dá)到設(shè)定值。因此，當(dāng)機(jī)器人非線性反饋控制律（13）式用在如圖1所示的機(jī)器人ADRC中時(shí)，機(jī)器人關(guān)節(jié)的位置誤差和速度誤差為ei=

從圖1可見本文的機(jī)器人ADRC與文獻(xiàn)［6］提出的ADRC的一般形式是不同的。在上述機(jī)器人控制器（13）式里“未知擾動(dòng)”是由（17）式來確定的，它是由被控對(duì)象的控制量τi（t-T）與所估計(jì)加速度的反饋構(gòu)成的。按著ESO的定義，為與其“擴(kuò)張狀態(tài)”相對(duì)應(yīng)，此處把稱作“擴(kuò)張狀態(tài)”。用（17）式來檢測(cè)擾動(dòng)，有兩點(diǎn)好處:1）和以往ADRC中的ESO相比，需要整定的參數(shù)很少；2）加速度是力最直接的反映，用它來檢測(cè)擾動(dòng)物理意義更加明確。

所謂“自抗擾”就在于補(bǔ)償項(xiàng)^hi（t），系統(tǒng)的“未建模動(dòng)態(tài)”和“未知外擾”的實(shí)時(shí)作用一并給予估計(jì)和補(bǔ)償，把非線性系統(tǒng)化為線性系統(tǒng)。當(dāng)機(jī)器人的負(fù)載發(fā)生變化時(shí)，這種控制器具有很好的適應(yīng)能力和很強(qiáng)的魯棒性。

4　仿真驗(yàn)證與對(duì)比分析

下面以文獻(xiàn)［17］中的一個(gè)3自由度直接驅(qū)動(dòng)機(jī)器人為例進(jìn)行仿真研究，該機(jī)器人的3個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，能進(jìn)行高速運(yùn)動(dòng)。仿真中需要的機(jī)器人動(dòng)態(tài)模型及相關(guān)參數(shù)請(qǐng)參見文獻(xiàn)［17］。

4.1仿真參數(shù)設(shè)置

在仿真或?qū)嶋H控制中，將TD（15）式寫成固定的功能模塊，如圖1所示，控制每個(gè)關(guān)節(jié)時(shí)直接進(jìn)行函數(shù)調(diào)用，非常方便。

仿真中為了模擬量測(cè)噪聲，在圖1所示的機(jī)器人的每個(gè)關(guān)節(jié)位移輸出qi（i=1，2，3）中加入零均值高斯白噪聲，若量測(cè)裝置為脈沖編碼器，設(shè)其分辨率為θm，則白噪聲的方差為，這里的直接驅(qū)動(dòng)機(jī)器人采用2 000 p/r的脈沖編碼器。

mii的取值很重要，它關(guān)系到機(jī)器人控制的穩(wěn)定性，因這里是直接驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，可按第2節(jié)中關(guān)于M取值方法中的第二個(gè)結(jié)論來取值，事實(shí)上，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的關(guān)節(jié)所使用電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也大，這樣此處mii分別取關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji的10倍左右，個(gè)別做適當(dāng)調(diào)整。即mii（i=1，2，3）分別為0.028 kg·m2、0.028 kg·m2和0.002 5 kg·m2.

βi1、βi2的取值通常根據(jù)系統(tǒng)時(shí)間尺度整定［18］。在這里為了具有可比性，控制器（13）式的增益βi1、βi2可取為PD控制中的kpi、kdi，對(duì)誤差方程（7）式采用極點(diǎn)配置法得到PD控制中的kpi、kdi，此時(shí)βi1、βi2的取值分別為:β11=β21=β31=30，β12=β22=β32=12.

其他參數(shù)取值都比較容易，滿足前面小節(jié)中所述條件要求即可。在這里根據(jù)噪聲抑制和跟蹤速度情況，TD1中h1=0.01，r1為20～400；TD2中h2= 0.02，r2為80～800.非線性反饋控制律（13）式中α1=0.8，α2=0.5；采樣時(shí)間T=0.005 s，仿真時(shí)間為8 s.

4.2自抗擾控制仿真結(jié)果

4.2.1系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

為了驗(yàn)證控制器（13）式的有效性，在圖1所示的控制系統(tǒng)中，為qri（i=1，2，3）分別設(shè)置單位階躍輸入，取r1=30，r2=80，其他值如上所述，得到該系統(tǒng)的階躍時(shí)間響應(yīng)如圖2所示。從仿真中可以得出，3個(gè)關(guān)節(jié)的位移響應(yīng)最大超調(diào)量均不到3％.實(shí)際上，r1和r2取上述范圍內(nèi)的任意組合，只要r2比r1大幾倍，就能使3個(gè)關(guān)節(jié)的位移響應(yīng)最大超調(diào)量都不超過6％.當(dāng)然，通過調(diào)整參數(shù)也可以使系統(tǒng)的階躍時(shí)間響應(yīng)無超調(diào)，這表明了采用TD1安排系統(tǒng)過渡過程的合理性。

圖2　3個(gè)關(guān)節(jié)的階躍響應(yīng)Fig.2 Step responses of 3 joints

4.2.2軌跡跟蹤

根據(jù)實(shí)際情況，直接驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的3個(gè)關(guān)節(jié)均在一定轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)連續(xù)周期性地進(jìn)行正、反向運(yùn)動(dòng)，在每個(gè)循環(huán)內(nèi)機(jī)器人關(guān)節(jié)跟蹤下面的參考軌跡［19］:

式中:Δri=qri（tp）-qri（0），i=1，2，3，且tp是一個(gè)循環(huán)的終止時(shí)間，qri（0）是起始關(guān)節(jié)角度，qri（tp）是終止關(guān)節(jié)角度。（18）式所表示的參考軌跡充分考慮到了機(jī)器人的加減速狀態(tài)［20］，表示實(shí)際中較不利的輸入情況。

（18）式中的tp取不同的值，就得到不同振幅和頻率的參考軌跡。限于篇幅，仿真中tp=1.6 s，即要求機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)在1.6 s內(nèi)從起始關(guān)節(jié)角度qri（0）運(yùn)動(dòng)到終止關(guān)節(jié)角度qri（tp），用（qri（0），表示。3個(gè)關(guān)節(jié)的起始和終止角度分別為

跟蹤過程中均給出8 s內(nèi)5個(gè)周期的仿真結(jié)果。

圖3為軌跡跟蹤結(jié)果，e1、e2、e3分別為機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差，從圖3可見跟蹤誤差較小，各關(guān)節(jié)相對(duì)于參考軌跡來說，跟蹤偏差的相對(duì)值不超過3％.注意這是在具有量測(cè)噪聲情況下的跟蹤誤差，若在沒有量測(cè)噪聲的情況下，跟蹤誤差是很小的。當(dāng)然，改變上述仿真參數(shù)設(shè)置，可進(jìn)一步提高跟蹤精度。

從圖2和圖3可以看出，第3個(gè)關(guān)節(jié)與其他兩個(gè)關(guān)節(jié)相比，跟蹤效果相對(duì)較差，為了清楚起見，下面只給出第3個(gè)關(guān)節(jié)的仿真結(jié)果。另外，需要說明的是以下各圖中虛線為由（18）式描述的期望軌跡，實(shí)線為跟蹤軌跡。

4.2.3魯棒性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證控制器的魯棒性，保持上面的所有參數(shù)不變，在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)開始2 s后，在機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)上加上階躍負(fù)載τdi:

式中:τdmaxi為上述機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)的最大峰值堵轉(zhuǎn)扭矩，為機(jī)器人手部承受負(fù)載達(dá)到最不利情況時(shí)，電機(jī)能夠承受的力矩，其中τdmax1=0.84 N·m，τdmax2= 6.66 N·m，τdmax3=6.66 N·m.

仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第1和第2個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤情況變化不大，只有第3個(gè)關(guān)節(jié)變化稍大（如圖4所示）。如果用e3L表示第3個(gè)關(guān)節(jié)加上階躍負(fù)載τdi后的跟蹤誤差，e3為未加τdi前的跟蹤誤差，二者之間的差值即跟蹤誤差的變化可以用來衡量控制器的魯棒性:Δe=e3-e3L.

圖3 3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差Fig.3 Tracking errors of 3 joints

圖5是Δe隨仿真時(shí)間變化的曲線，從圖5可見加上階躍負(fù)載τdi前后，跟蹤誤差變化Δe的最大值為0.15 rad，發(fā)生在加上或去掉τdi的瞬時(shí)，Δe從整個(gè)時(shí)間歷程來說較小。這說明控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。

圖4　加上階躍負(fù)載后第3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤Fig.4 Trajectory tracking of Joint3 under step load

圖5　Δe隨時(shí)間變化的曲線Fig.5 Time domain diagram ofΔe

4.3對(duì)比分析

為了進(jìn)一步說明機(jī)器人ADRC（13）式的有效性和合理性，將其與控制器（10）式進(jìn)行對(duì)比分析。

4.3.1跟蹤效果對(duì)比

圖6　第3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差（控制器為（10）式）Fig.6 Tracking errors of Joint3（controller is Eq.（10））

為了具有可比性，在（10）式中令位置增益kpi= βi1，速度增益kdi=βi2，其他參數(shù)亦不變。圖6為第3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤結(jié)果，從圖6可見，跟蹤初始階段產(chǎn)生了很大誤差，調(diào)整增益，也沒有明顯改善。而當(dāng)采用機(jī)器人ADRC（13）式時(shí)，自始至終的跟蹤誤差都不大（見圖3），這說明系統(tǒng)響應(yīng)具有快速性，能夠解決快速性和超調(diào)之間的矛盾，這進(jìn)一步說明了采用TD1安排系統(tǒng)過渡過程的合理性。

4.3.2對(duì)噪聲敏感程度對(duì)比

為了比較兩種控制器對(duì)噪聲的敏感程度，只改變量測(cè)白噪聲方差的取值，而保持上面的所有其他參數(shù)不變。前面白噪聲方差取值當(dāng)放大到2.1R時(shí)，控制器（10）式由于噪聲的影響而失穩(wěn)。然而，對(duì)于機(jī)器人ADRC（13）式，即使噪聲放大到10R甚至更高仍能進(jìn)行有效的軌跡跟蹤，圖7為噪聲放大10倍時(shí)第3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤結(jié)果。這充分說明了用TD2作為濾波估計(jì)器估計(jì)速度和加速度的合理性。

圖7　第3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤（控制器為（13）式）Fig.7 Trajectory tracking of Joint3（controller is Eq.（13））

5　結(jié)論

本文提出了用TD跟蹤位移和估計(jì)速度的同時(shí)一并估計(jì)出加速度的新方法，拓展了TD的應(yīng)用范圍。由被控對(duì)象的控制量與所估計(jì)加速度的反饋構(gòu)成的“擴(kuò)張狀態(tài)”實(shí)際上已使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償線性化，故無需建立并實(shí)時(shí)計(jì)算復(fù)雜的機(jī)器人模型，僅需知道機(jī)器人慣量矩陣的下界即可。由兩個(gè)TD構(gòu)成的ADRC是針對(duì)非線性、強(qiáng)耦合的機(jī)器人系統(tǒng)而設(shè)計(jì)的，它在控制過程中只需給定期望位置。仿真與對(duì)比分析結(jié)果表明:用TD1安排系統(tǒng)的過渡過程使系統(tǒng)響應(yīng)快且超調(diào)小；用TD2作為濾波估計(jì)器估計(jì)速度和加速度使這種控制器對(duì)量測(cè)噪聲具有很好的抑制作用；機(jī)器人在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，該控制器亦能實(shí)現(xiàn)較精確的跟蹤控制。這種ADRC也可用于其他運(yùn)動(dòng)控制當(dāng)中。

（References）

［1］ 霍偉.機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與控制［M］.北京:高等教育出版社，2005:123-140. HUOWei.Robot dynamics and control［M］.Beijing:Higher Education Press，2005:123-140.（in Chinese）

［2］ 黃一，張文革.自抗擾控制器的發(fā)展［J］.控制理論與應(yīng)用，2002，19（4）:485-492. HUANG Yi，ZHANG Wen-ge.Development of active disturbance rejection controller［J］.Control Theory＆amp;Applications，2002，19（4）:485-492.（in Chinese）

［3］ 高志強(qiáng).自抗擾控制思想探究［J］.控制理論與應(yīng)用，2013，30（12）:1498-1510. GAO Zhi-qiang.On the foundation of active disturbance rejection control［J］.Control Theory＆amp;Applications，2013，30（12）: 1498-1510.（in Chinese）

［4］ 夏元清，付夢(mèng)印，鄧志紅，等.滑?？刂坪妥钥箶_控制的研究進(jìn)展［J］.控制理論與應(yīng)用，2013，30（2）:137-147. XIA Yuan-qing，F(xiàn)U Meng-yin，DENG Zhi-hong，et al.Recent developments in sliding mode control and active disturbance rejection control［J］.Control Theory＆amp;Applications，2013，30（2）: 137-147.（in Chinese）

［5］ 韓京清.控制系統(tǒng)的非光滑綜合［C］∥第十九屆中國控制會(huì)議論文集（二）.香港:中國自動(dòng)化學(xué)會(huì)控制理論專業(yè)委員會(huì)，2000:483-488. HAN Jing-qing.Non-smooth feedback synthesis for control system［C］∥Proceedings of 19th Chinese Conference on Control.Hong Kong，China:Technical Committee on Control Theory，Chinese Association of Automation，2000:483-488.（in Chinese）

［6］ 韓京清.自抗擾控制器及其應(yīng)用［J］.控制與決策，1998，13（1）:19-23. HAN Jing-qing.Auto-disturbances-rejection controller and its applications［J］.Control and Decision，1998，13（1）:19-23.（in Chinese）

［7］ Huang Y，Luo Z W，Svinin M，et al.Extended state observer based technique for control of robot systems［C］∥4th World Congress on Intelligent Control and Automation.Shanghai，China:Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc，2002:2807-2811.

［8］ Su Y X，Duan B Y，Zheng C H，et al.Disturbance-rejection high-precision motion control of aStewart platform［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2004，12（3）:364-374.

［9］ 阮曉鋼，王旭，陳志剛.獨(dú)輪機(jī)器人的建模與自抗擾控制算法［J］.控制與決策，2015，30（12）:2253-2258. RUAN Xiao-gang，WANG Xu，CHEN Zhi-gang.Modeling and active disturbance rejection control algorithm of single wheel robot［J］.Control and Decision，2015，30（12）:2253-2258.（inChinese）

［10］ 熊有倫，丁漢，劉恩滄.機(jī)器人學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1993:200-219. XIONG You-lun，DING Han，LIU En-cang.Robotics［M］.Beijing:China Machine Press，1993:200-219.（in Chinese）

［11］ Hsia T C，Gao L S.Robot manipulator control using decentralized linear time-invariant time-delayed joint controllers［C］∥1990 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Cincinnati，OH，US:IEEE，1990:2070-2075.

［12］ Ghorbel F，Srinivasan B，Spong MW.On the uniform boundedness of the inertia matrix of serial robot manipulators［J］.Journal of Robotic Systems，1998，15（1）:17-28.

［13］ Belanger PR，Dobrovolny P，Helmy A，et al.Estimation of angular velocity and acceleration from shaft-encoder measurements［J］.International Journal of Robotics Research，1998，17（11）:1225-1233.

［14］ 黃煥袍，武利強(qiáng)，韓京清，等.火電單元機(jī)組協(xié)調(diào)系統(tǒng)的自抗擾控制方案研究［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24（10）: 168-173. HUANG Huan-pao，WU Li-qiang，HAN Jing-qing，et al.A study of active disturbance rejection control on unit coordinated control system in thermal power plant［J］.Proceedings of the Chinese Society for Electrical Engineering，2004，24（10）:168-173.（in Chinese）

［15］ 韓京清，黃遠(yuǎn)燦.二階跟蹤—微分器的頻率特性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003，33（3）:71-74. HAN Jing-qing，HUANG Yuan-can.Frequency characteristic of second-order tracking-differentiator［J］.Mathematics in Practice and Theory，2003，33（3）:71-74.（in Chinese）

［16］ Guo B Z，Zhao ZL.on convergence of racking differentiator［J］. International Journal of Control，2011，84（4）:693-701.

［17］ Li D Q，Xue D Y，Li T，et al.Dynamic model of a 3 DOF direct drive robot and its control mode［C］∥IEEE International Conference on Control and Automation.Guangzhou，China:IEEE Control Systems Society，2007:2694-2698.

［18］ 李述清，張勝修，劉毅男，等.根據(jù)系統(tǒng)時(shí)間尺度整定自抗擾控制器參數(shù)［J］.控制理論與應(yīng)用，2012，29（1）:125-129. LI Shu-qing，ZHANG Sheng-xiu，LIU Yi-nan，et al.Parametertuning in active disturbance rejection controller using time scale［J］.Control Theory＆amp;Applications，2012，29（1）:125-129.（in Chinese）

［19］ Kane T R，Levinson D A.The use of Kane's dynamical equations in robotics［J］.International Journal of Robotics Research，1983，2（3）:3-21.

［20］ 李殿起，薛定宇，崔建國，等.一種新型的速度和加速度估計(jì)器［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào).2008，20（15）:4132-4135. LI Dian-qi，XUE Ding-yu，CUI Jian-guo，et al.Novel velocity and acceleration estimator［J］.Journal of System Simulation，2008，20（15）:4132-4135.（in Chinese）

Implementation of Active Disturbance Rejection Control of Robot by Tracking Differentiator

LI Dian-qi1，DUAN Yong2
（1.School of Mechanical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，Liaoning，China；2.School of Information Science and Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，Liaoning，China）

A disturbance estimation-based nonlinear feedback control system for robots is presented，and its stability is demonstrated.On the basis of result，a novel active disturbance rejection controller（ARDC）is proposed，which avoids the burdensome online computation of robot inverse dynamics and implement the trajectory tracking of robots.The controller comprises two tracking differentiators（TDs），one is used to arrange the transient process of system，and the other is used to estimate velocity and acceleration.TD can attenuate measurement noise due to its filtering characteristic.“Extended state”，comprising the control input of controlled object and the feedback of estimated acceleration，is used to detect the real time effects of system model and the external disturbances，and then dynamically compensate their real-time effects.The proposed ARDC has the same good adaptability and expected robustness as previous ADRC，and it also has the characteristic of less parameters adjustment.Numerical results show that the control system has less overshoot，rapid response，and robustness.

control science and technology；robot；active disturbance rejection controller；acceleration estimation；tracking differentiator；extended state

TP24

A

1000-1093（2016）09-1721-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.09.024

2015-12-24

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60905054）；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀科技人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（LR2015045）；遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2015020010）

李殿起（1968—），男，副教授。E-mail:dianqi@126.com