合理構造函數，妙解導數問題

胡磊

構造法是解決導數問題的重要方法之一，許多導數問題的解決需要巧妙的構造函數.如何構造函數顯得非常重要，下面剖析幾例.

一、特征構造

例1（2016·銀川二模）f（x）是定義在非零實數集上的函數，f′（x）為其導函數，且x>0時，xf′（x）-f（x）<0，記a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，則（）

A. a

C. c

分析：令g（x）=f（x）x，通過求導得到g（x）的單調性，從而解決問題.

解：令g（x）=f（x）x，則g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，

∵x>0時，xf′（x）-f（x）<0，∴g（x）在（0，+∞）遞減，

又log25>log24=2，1<20.2<2，0.22=0.04，

∴log25>20.2>0.22，

∴g（log25）

點評：本題考查了函數的單調性，考查了導數的應用，考查了指數、對數的性質，解決本題的關鍵是根據所比較的三個數，合理構造函數，利用函數的單調性比較大小即可.

二、變形后構造函數

例2（2016·合肥二模）定義在R上的偶函數f（x）的導函數為f′（x），若對任意的實數x，都有2f（x）+xf′（x）<2恒成立，則使x2f（x）-f（1）

A. {x|x≠±1}B. （-∞，-1）∪（1，+∞）

C. （-1，1）D. （-1，0）∪（0，1）

分析：根據已知條件構造合適的函數，對函數求導，根據函數的單調性，求出x>0時的取值范圍，并根據偶函數的性質，求出x<0時的取值范圍.

解：當x>0時，由2f（x）+xf′（x）-2<0：兩邊同乘以x得：

2xf（x）+x2f′（x）-2x<0.

設g（x）=x2f（x）-x2，則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）-2x<0，恒成立：

∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，由x2f（x）-f（1）

∴x2f（x）-x2

即x>1；

當x<0時，函數是偶函數，同理得：x<-1.

綜上可知：實數x的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞），故選：B.

點評：主要根據已知構造合適的函數，函數求導，并通過求導判斷函數的單調性，并應用偶函數的性質，求對稱區間上的解.解決本題需要注意對x的討論.

三、移項法構造函數

例3（2016·江西模擬）設函數f（x）=ex（3x-1）-ax+a，其中a<1，若僅有一個整數x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（）

A. [-2e，1）B. [-2e，34）

C. [2e，34）D. [2e，1）

分析：設g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，對g（x）求導，將問題轉化為存在唯一的整數x0使得g（x0）在直線h（x）=ax-a的下方，求導數可得函數的極值，解g（-1）-h（-1）=-4e-1+2a≥0，求得a的取值范圍.

解：設g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，則g′（x）=ex（3x+2），

∴x∈（-∞，-23），g′（x）<0，g（x）單調遞減，x∈（-23，+∞），g′（x）>0，g（x）單調遞增，∴x=-23，取最小值-3e-23，∴g（0）=-1<-a=h（0），

g（1）-h（1）=2e>0，直線h（x）=ax-a恒過定點（1，0）且斜率為a，

∴g（-1）-h（-1）=-4e-1+2a≥0，∴a≥2e，a<1，∴a的取值范圍[2e，1）.故答案選：D.

點評：本題……