函數(shù)思想在解題中的應用例析

函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學概念，是變量數(shù)學的基礎(chǔ)，與數(shù)學的其他知識之間有著廣泛而又密切的聯(lián)系，揭示并認識這種內(nèi)在聯(lián)系，對提高分析問題的能力具有重要的意義.所以函數(shù)思想滲透到數(shù)學的各個領(lǐng)域.函數(shù)思想是用運動和變化的觀點，去分析和研究數(shù)學問題的數(shù)量關(guān)系.用函數(shù)思想解題，具體表現(xiàn)在兩個方面：一是借助函數(shù)一些性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造輔助函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)討論，以達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、以函數(shù)為依托，強化函數(shù)思想在集合問題中的運用

集合與函數(shù)都是數(shù)學中最基本、最重要的概念，它們既有區(qū)別，又有聯(lián)系.用函數(shù)思想解集合問題，不僅能加強知識間的橫向聯(lián)系，還能培養(yǎng)解題能力，提高解題效率.

例1已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，且BA，求實數(shù)a的取值范圍.

解：當B=時，即方程x2-2ax+a+2=0的判別式Δ<0，所以4（a2-a-2）<0，解得-1

當B≠時，設(shè)f（x）=x2-2ax+a+2，因為A={x|1≤x≤4}，所以f（x）=0的兩根在區(qū)間[1，4]之間，如圖所示，有：

f（1）=1-2a+a+2≥0，f（4）=16-8a+a+2≥0，Δ=4a2-4（a+2）≥0，1≤--2a2≤4.2≤a≤187.②

綜合①、②得a的取值范圍為-1

例2設(shè)A={x|1

解：設(shè)f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，

g（x）=x2-2bx+5=（x-b）2+5-b2.

要使AB，則必須使f（x），g（x）在[1，3]上的函數(shù)圖象落在x軸下方，即：

f（1）≤0，f（3）≤0.a-1≤0，a+3≤0.a≤-3，

且g（1）≤0，g（3）≤0.-2b+6≤0，14-6b≤0.b≥3.

∴滿足條件的a、b取值范圍為a≤-3且b≥3.

評析：在理解集合符號的基礎(chǔ)上，準確地將集合語言轉(zhuǎn)化為初中已學過的數(shù)學問題，然后用函數(shù)知識和方法把問題解決.這種轉(zhuǎn)化可以把抽象知識用簡潔、準確的數(shù)學語言表達出來.運用函數(shù)思想來研究集合中有關(guān)參數(shù)取值范圍的問題，就是將集合之間……