室內配電房混凝土地板的振動功率流場分析

徐祿文，梁　林，高芳清，吳　祺，鄒岸新

（1.國網重慶市電力公司電力科學研究院，重慶 401123；2.西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

室內配電房混凝土地板的振動功率流場分析

徐祿文1，梁林2，高芳清2，吳祺2，鄒岸新1

（1.國網重慶市電力公司電力科學研究院，重慶 401123；2.西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

室內變壓器常安置于混凝土地板，運行時會引起地板振動并向外傳播。以地板與四周邊界固結并考慮地基的彈性，建立混凝土地板的振動分析模型，基于Hamilton方程及振型疊加法對地板的振動位移方程進行詳細推導與求解。在此基礎上，利用功率流方法對地板振動傳播特性進行研究分析，得到變壓器典型激振頻率下地板的振動功率流傳遞特性與衰減情況；最后利用有限元法對地板進行諧響應分析，得到混凝土地板的振動功率流場分布圖，并對不同激振頻率下的振動功率流場進行比較與分析。

振動與波；變壓器；混凝土地板；振動功率流；諧響應分析

室內配變房的變壓器置于混凝土地板上，變壓器運轉激起混凝土地板的振動，板振動會產生振動能量的傳遞，通過混凝土地板將能量傳遞至墻體以及相鄰居室乃至各個房間，因為振動而產生的結構聲會大大影響人們的日常生活，因此弄清振動在混凝土板內的傳播特性與規律非常必要［1-3］。考慮到混凝土地板下地基的彈性支撐作用，本文對混凝土板置于彈性地基上的受迫振動進行分析，對于板的受迫振動，許多學者已進行過大量的工作，也取得了豐碩的研究成果［4-6］。目前常用的研究方法，大體上分數值方法和能量方法，數值方法主要包括有限元法（FEM）［7-8］、邊界元法（BEM）［9-10］，其中有限元法對于高頻分析存在著相對較大誤差，能量法對于位移函數的選取又比較困難。考慮到二者的局限性并結合混凝土板置于彈性地基上，本文建立了混凝土板置于彈性地基上的力學模型，該模型嚴格按照彈性地基的動力剛度特性對彈性地基進行了力學簡化，得到了彈性地基的豎向抗壓剛度動力解，在此模型基礎之上結合Hamilton原理建立方程，并詳細地對變分方程進行推導求解，得到混凝土板置于彈性地基上的振動微分方程，再利用振型疊加法又對位移方程的解析解進行詳細的推導和求解，在求得的位移方程基礎上對混凝土板的振動功率流傳遞特性進行分析，得到了在4種變壓器運行的典型激振頻率下混凝土板內振動功率流的傳遞特性［11-15］。最后通過有限元方法對混凝土板進行諧響應分析，得到了變壓器不同激勵頻率下的功率流場分布圖，這些功率流場圖能夠很直觀的顯示振動功率流在混凝土板內的傳遞與分布狀態。

1　四邊固支混凝土地板在彈性地基上的理論模型

如圖1所示。將變壓器在混凝土板上激振情況簡化為如下板結構分析模型，變壓器振動簡化為集中簡諧激振力P（t），配電房混凝土地板與四面墻體固結，因此考慮混凝土板的邊界條件為四邊固支情況。又考慮到板置于彈性地基上，將地基簡化為剛度為K0的彈簧，不考慮彈性地基阻尼，K0為地基豎向剛度系數動力解，與地基土的力學參數有關，計算式取

圖1　混凝土板簡化結構示意圖

混凝土板在變壓器激勵下振動，設板振動的總勢能為V，地基的彈性勢能為V0，T表示混凝土板振動時的總動能，W表示外力做功，其與位移的關系表達式如下

2　混凝土板的Hamiltonilton方程及位移函數

2.1混凝土板的Hamilton方程

由彈性力學知，混凝土板的Hamilton方程為

通過哈密頓方程可對位移函數進行求解，將式（2）-式（5）代入式（6）并對各項式子分別求變分可得

2.2混凝土板位移函數的求解

對式（12）采用振型疊加法，將混凝土板的位移方程按正則振型Wi，j展開成如下的級數

其中ηi，j（t）為主坐標，將上式代入式（12）求出的振動微分方程中可得

由主振型之間的正交性條件，上式可化簡為

通過該方程便可解得主坐標ηi，j（t）的方程。

對于Wi，j（x，y）可通過有限積分變換，得

3　混凝土板的導納功率流分析

經上述分析模型中混凝土地板位移方程的確立與推導，可得到位移方程的解析解，并可對不同點的位移、速度或者加速度響應進行定量分析。基于較為全貌性地反映地板振動傳遞過程以及衰減情況的考慮，這里采用導納功率流法，通過能量分析描述地板振動的傳播狀態。

結構的導納能夠很好地反應結構對輸入的動力響應特性，這里對地板的速度導納進行分析。基于前述對混凝土地板位移方程的推導與求解，設輸入激勵的激振頻率為ω，則速度導納的表達式如下

式中V表示激振速度，F表示激振力。

導納功率流具有較高的預測精度，它把系統的響應和激勵統一到功率流概念中，不僅給出振動能量傳輸的一種絕對量度，還給出了振動能量的傳播特性，便于從能量的角度清晰地了解能量在結構中的傳播，從而對振動和噪聲進行有效的控制。

同時功率流包含力與速度的幅值以及它們之間的相位關系，避免單純使用速度有效值表示的振級落差帶來的一些問題。且功率流反映了振動能量的傳遞，可獲得系統中的能量傳遞規律，設混凝土板結構中任一點的功率流強度為I（x，y）

式中Ix（x，y）和Iy（x，y）分別表示I（x，y）沿x軸和y軸的分量，大小為

4　數值計算

某變壓器置于室內配電房混凝土地板上，其運轉時的激振頻率ω取50 Hz兩倍之倍頻，通過對配電房地板的信號檢測，得到配電房地板的加速度時程曲線及頻譜圖如圖2所示。

圖2　配電房地板加速度時程曲線及頻譜圖

這里以100 Hz、200 Hz、300 Hz、400 Hz作為計算頻率，變壓器置于混凝土板中心激振，混凝土板長為a=5 m，寬為b=5 m，厚度為h=0.1 m，板的密度ρ=3 000 kg/m3，彈性模量 E=300 GPa，泊松比μ=0.2，彈性地基的剛度系數K0=5 MPa/mm。

本例中，激振力對稱和混凝土板尺寸的幾何對稱，理論上講在混凝土板內關于激振點中心對稱的任意兩點的響應情況也是完全相同的。如圖3所示，該圖為關于激振點（2.5 m，2.5 m）中心對稱的兩點A（2 m，2 m）（圖3（a）和B（3 m，3 m）（圖3（b）的速度導納曲線圖，其中（紅色）實線為通過本文方法推導計算的導納-頻率曲線圖，（藍色）虛線為有限元方法的計算結果。結果表明計算結果與理論分析一致，同時采用本文方法與有限元的計算結果亦具有一致性。

圖3　點A和B的速度導納曲線

另外從圖中還可看出，在低頻階段兩曲線是基本完全吻合的，但隨著頻率的逐漸升高，兩條曲線產生了相對的偏移，產生這一現象主要是因為有限元方法對于高頻的計算精度下降，要達到更高的精度，就需要對單元進行更細更密的劃分。

從圖2可知，變壓器激起混凝土板振動的典型頻率主要為100 Hz、200 Hz、300 Hz、400 Hz，因此為了解變壓器在典型激勵頻率下振動功率流在地板內的分布與傳遞衰減情況，這里采用有限元法對混凝土地板的振動功率流場進行了計算分析。其中單元采用solid-concret 65，網格劃分為0.01×0.01 m。得到振動功率流場在混凝土地板的分布狀態分別如圖4（a）-圖4（d）所示。

圖4　不同激振頻率下功率流傳遞分布圖

從圖4可清晰看出隨著激振頻率的增加，振動功率流的分布并不是按照如圖4（a）（100 Hz激勵）那樣從大到小的向外擴散，而是隨著激振頻率的增加使得某些區域能量衰減，而有些區域形成能量的堆積，從圖4（b）（200 Hz激勵）可以看出功率流主要向靠近墻角的地方傳遞，因而在墻角處形成了能量的堆積，圖4（c）（300 Hz激勵）可以看到，功率流逐漸從墻角向地板的四邊擴散傳遞，到最后的圖4（d）（400 Hz激勵）可看到功率流集中在地板的四邊并堆積。

5　結語

本文針對室內配變房變壓器振動引起與之接觸混凝土地板的振動傳遞特性進行研究分析。

（1）依據室內變壓器的實際安置環境建立了混凝土地板的力學分析模型，并通過Hamilton方程及振型疊加法對地板的位移方程進行了詳細推導與求解，由此可對地板的導納功率流進行定量分析并有諸多優點。

（2）以本文方法與有限元法分別對地板某點導納功率流進行了計算，兩者結果具有良好的一致性，且有限元在高頻段計算精度下降。表明本文方法能夠對地板的振動性態及傳遞情況進行有效分析。

（3）基于文中所述有限元模型對地板在變壓器典型頻率激勵下的振動功率流場進行了計算與分析，得到了變壓器4種典型激振頻率下地板的振動功率流場分布圖，為振動功率流在地板中的傳播以及后續的結構傳聲研究奠定基礎與提供參考。

［1］GIBBS B M，COOKSON R，QI N.Vibration activity and mobility of structure-borne sound sources by a reception plate method［J］.Applied Acoustics，2008；123（6）:209-4199.

［2］SP?H M M，GIBBS B M.Reception plate method for characteristicofstructure-bornesoundsourcesin buildings:assumptionsandapplication［J］.Applied Acoustics，2008，70:8-361.

［3］EN 15657-1:2007，Acoustic properties of building elements and of buildings-Laboratory measurement of airborneandstructurebornesoundfrombuilding equipment-Part 1:Simplified cases where the equipment mobility are much higher than the receiver mobility，takingwhirlpoolbathsasanexample.European Committee of Standardization，Brussels，Belgium，2007:2-3.

［4］姚偉岸，蔡智宇，胡小飛.矩形正交各向異性薄板彎曲受迫振動問題的分析解［J］.動力學與控制學報，2011（1）：12-17.

［5］MUKHERJEE M.Forced vertical vibrations of an elastic elliptic plate on an elastic half space a direct approach using orthogonal polynom-ials［J］.International Journal of Solids and Structures，2001，38:389-399.

［6］LIM C W，LU C F，XIANG Y，et al.Onthenew symplectic elasticity approach for exact freevibration solutions of rectangular Kirchhoff plates［J］.International Journal of Engineering Science，2009（01）:131-140.

［7］吳鴻慶，任俠.結構有限元分析［M］.北京：中國鐵道出版社.2000：321-424.

［8］陳偉，何飛.基于結構參數化的有限元分析方法［J］.機械科學與技術，2003（06）：945-950.

［9］楊德全，趙忠生.邊界元理論及應用［M］.北京：北京理工大學出版社，2002：1-317.

［10］JASWON M A，MAITI M.An integral equation of plate bendingproblems［J］.JournalofEngineering Mathematics，1968（1）:83-93.

［11］IVARSSON L H，SANDERSON M A.MIMO Technique forSimultaneousMeasurementoftranslationaland rotational mobilities［J］.Applied Acoustics，2000（61）:345-370.

［12］曾勤謙，華宏星，韓祖舜.耦合結構中的功率流有限元法［J］.上海交通大學學報，2000，34（4）：5-503.

［13］儀垂杰，陳天寧，李偉，等.BBD板結構的振動功率流研究［J］.力學學報，1995，27（4）：495-500.

［14］馮國平，黃修長，劉興天，等.基于振動功率流的船艉傳遞路徑分析［J］.噪聲與振動控制，2010，30（2）：2-5.

［15］吳大德，王立兵，王宇寧.基于機-電相似性的隔振系統功率流計算與分析［J］.噪聲與振動控制，2011，31（2）：2-3.

Vibration Power FlowAnalysis of Concrete Floor of Indoor Transformers

XU Lu-wen1，LIANGLin2，GAO Fang-qing2，WUQi2，ZOU An-xin1
（1.Electric Power Science Research Institute of State Grid Chongqing Electric Power Company，Chongqing 401123，China；2.School of Mechanics and Eng.，Southwest Jiaotong Uni.，Chengdu 610031，China）

The indoor transformer is usually settled on the concrete floor.Operation of the transformer can induce the floor vibration which will spread outward.In this paper，the concrete floor is considered as a plate on an elastic foundation with its edges fixed.Then，the vibration analysis model of the floor is established.The vibration displacement function of the floor is derived and solved in detail based on the Hamilton equation and modal superposition method.On this basis，the propagation characteristics of the floor are studied using the vibration power flow method.The transmission and attenuation characteristics of the vibration power flow of the floor are obtained under the typical exciting frequency of the transformer. Finally，the harmonic response of the concrete floor is analyzed by means of the finite element method.The distribution diagram of the vibration power flow field of the concrete floor is plotted.The vibration power flow fields for the different exciting frequencies of the transformer are compared and analyzed.

vibration and wave；transformer；concrete floor；vibration power flow；harmonic response analysis

O422.6

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.05.027

1006-1355（2016）05-0128-05

2016-04-19

國網重慶電力公司科學技術研究資助項目（2014H01580）

徐祿文（1968-），男，四川廣安人，高級工程師，主要從事電網電磁環境與噪聲振動控制相關研究。E-mail:xuluwen023@qq.com