基于非對稱Copula函數度量影子銀行對A股市場的尾部影響性

李錦成

(中國社會科學院數量經濟與技術經濟研究所，北京　100732)

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基于非對稱Copula函數度量影子銀行對A股市場的尾部影響性

李錦成

(中國社會科學院數量經濟與技術經濟研究所，北京100732)

線性相關性無法捕捉變量間非正態分布圖中上下尾相關性結構，即當影子銀行作為一個變量取較大值或者較小值時，對上證指數作為一個變量的取值是否有影響。而Copula函數可以有效刻畫各種變量間的尾部相關性，對于各種非線性相關性有很好的度量。金融時間序列通常呈現尖峰厚尾的形態，本文基于極值理論測算影子銀行與A股市場的尾部相關性，對二元數據聯合分布和邊緣分布的關系，采用Gumbel-copula和Clayton-copula函數進行驗證，從而檢驗中國影子銀行對A股市場的尾部影響性。

Copula函數；影子銀行；A股市場；尾部相關性

1.理論基礎

劉曉星和王金定(2010)指出許多金融資產的收益具有明顯的尖峰厚尾性，與正態分布假設相差較大。市場波動較大時，線性相關系數無法反映出資產收益曲線的尾部相關特征，copula函數可以克服上述不足，提高模型預測的準確性。謝中華(2010)指出二元正太copula函數、t-copula函數和Frank-copula函數具有對稱的尾部，無法捕捉到隨機變量之間的非對稱的尾部相關關系，而二元Gumbel-copula函數和二元Clayton函數具有不對稱的尾部，能有效捕捉隨機變量幾件的非對稱尾部相關關系。本文利用這種方法結合影子銀行、上證指數和上證成交量月度對數收益率來檢驗影子銀行對A股市場的影響性。

1.1 確定邊緣分布

首先，需要通過參數法或者非參數法來確定隨機變量的邊緣分布情況，參數法通過JB檢測函數、KS檢測函數和Lillie檢測函數的參數h值和p值來看序列是否符合正態分布形態，如果h值大于顯著性水平0.05下拒絕原假設，則認為序列不服從正態分布。同時，要求p值在區間范圍內。分別表達為：

其中，n為樣本容量，s為偏度，k為峰度。

KS=max(|Fn(x)-G(x)|)

其中，Fn(x)為經驗分布函數，G(x)為指定的分布函數。

KS=max|SCDF(x)-CDF(x)|

其中，SCDF(x)為經驗分布函數，CDF(x)為指定分布的分布函數。

在任意點x處的總體密度函數f(x)的核密度估計表達式為：

1.2 確定聯合分布Copula函數類型

在確定了隨機變量的邊緣分布以后，需要進一步通過Copula函數確定聯合分布。Copula函數分為正太分布的函數類型和非對稱的函數類型。金融事件學列的條件分布多呈現時變、偏斜、尖峰拖尾的特性，所以排除了正太Copula函數，利用阿基米德Copula函數中的非對稱Gumbel和Clayton函數來進行擬合相關性參數。阿基米德分布函數表達式為：

其中，φ(u)是C(u1,u2，…,un)的生成元，滿足：φ(1)=0，對u∈[0,1]，有。φ′(u)<0,φ″(u)>0。

Copula函數通過把隨機向量X1，X2，…，Xn的聯合分布函數F(x1,x2,…,Xn)與其單獨的邊緣分布函數Fx1(x1),…,Fxn(xn)連接后的連接函數，即函數C(μ1,μ2,…,μN)，使

F(x1,x2,…,xn)=C[Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn]

Gumbel-copula函數表達式為：

假設φ為連續遞減的凸函數φ[0,1]→[0,+∞]，其中φ(1)=0，φ(u)+φ(v)≤φ(0)。定義一個copula函數，函數φ有：

C(u,v)=φ-1[φ(u)+φ(v)]u,v∈[0,1]

如果φ(t)=(-logt)?，?∈[1,+∞]，則：

1.3 尾部相關分析與Copula函數的相關性分析

謝中華(2010)指出通過二元Copula函數檢驗尾部相關性，即滿足定義域為[0,1]×[0,1]，零基面且二維遞增、對于任何u,v∈[0,1]滿足C(u,1)=u,C(1,v)=v的函數C(u,v)，假設F(x)與G(y)為連續一元函數，令U=F(x)，V=G(y)，即U，V均服從[0,1]上的均勻分布，則C(u,v)為邊緣分布均為[0,1]上均勻分布的二元聯合分布函數，即定義域上的任何一個點(u,v)，有0≤C(u,v)≤1。

通常在研究隨機變量相關性分析時，多使用Kendall秩相關系數、Spearman秩相關系數和Pearson線性相關系數。公式定義為：

設定F(x),F(y)分別為隨機變量X，Y的邊緣分布，則X和Y的上尾、下尾的相關系數分別為：

其中：F-1(s)=inf{x|X>s},G-1(s)=inf{y|Y>s}。

如果：λup/λlo存在λup∈(0,1]，或：λlo∈(0,1]，則隨機變量X和Y存在漸進上尾/下尾相關性。如果：λup≡0/λlo≡0，則二者間相互獨立。設隨機向量(X,Y)的邊緣分布分別為F(X)與G(Y)，則Copula函數為C(u,v)，則其與Kendall秩相關系數τ、Speraman秩相關系數ρ、尾部相關系數λ的關系表達式為：

其中，U=F(x)～U(0,1),V=G(y)～U(0,1)

C(1-u,1-v)=P(U>u,V>v)=1-u-v+C(u,v)

則對于二元非正太copula函數有：

λlo(Gumbel-copula)=0，λup(Gumbel-copula)=2-21/α

λlo(Clayton-copula)=2-1/α，λup(Clayton-copula)=0

1.4 模型檢驗與評價

最后，利用平方歐式距離檢驗copula函數的的擬合優度，值越小擬合程度也越好，平方歐式距離表達式為：

2.實證研究

首先，對三個變量的時間序列進行對數收益率處理后確定邊緣分布，用參數法，為了確定變量的分部類型，對中國影子銀行規模、上證指數、上證成交量月對數收益率分別設定為X、Y、Z，并作出頻率直方圖，如下圖1：

上圖1可以顯著看出，三個變量的分布均不對稱。然后，對變量進行正態性檢驗，如下表1，三個變量的偏度均偏離0，峰度均大于3，影子銀行和上證指數呈左偏拖尾現象，上證成交量呈現右偏拖尾現象，即三者都為尖峰厚尾的特點。而正態分布是薄尾分布，初步斷定X、Y和Z不服從正態分布。然后，利于jbtest、kstest和lillietest函數對X、Y和Z進行正態性檢驗發現：三種檢驗H值均為1，p值處kstest外，多數小于0.01，而上證指數和上證成交量的K-S的P值和Lillie的P值又大于0.01，但極小。說明三者基本不服從正態分布。

表1　統計值檢驗

繼續利用非參數法確定X、Y和Z的分布。通過經驗累積分布(ECDF)函數求樣本的經驗分布函數，作為總體分布函數的近似，并利用核光滑密度(ksdensity)函數估計總體的分布。如下圖2，經驗分布函數圖和核分布估計圖幾乎重合。

圖2　中國影子銀行、上證指數、上證成交量月收益率的經驗分布函數圖和核分布估計圖

通過確定影子銀行與上證指數的邊緣分布U=F(x)、V=G(x)，可以通過(Ui,Vi)(i=1,2,…n)二元直方圖的形狀確定copula函數。頻率直方圖可以作為(U,V)的聯合密度函數的估計。如下圖所示：頻率直方圖的尾部并不對稱，即(U,V)的copula密度函數不具有對稱的尾部。所以用非對稱Gumbel-copula或者Clayton-copula將更符合分布要求。

由于隨機變量邊緣分布中通常會存在未知參數，即copula函數中也存在未知參數，所以，通過最大似然估計來進行參數估計。利用copulafit函數估計Gumbel-copula函數中的影子銀行與上證指數線性相關參數為：

α=1.0028

將α代入二元Gumbel-copula函數：

C(u1,u2,…,un)=exp[-((-lnu)(1.0028)+

二元Clayton中的線性相關參數α和自由度k的估計值為：

α=-0.0241

利用copulafit函數估計Gumbel-copula函數中的影子銀行與月度上證成交量線性相關參數為：

α=1.0021

將α代入二元Gumbel-copula函數：

二元Clayton中的線性相關參數α和自由度k的估計值為：

α=1.0011

以上估計了Gumbel-copula和Clayton-copula函數的參數，然后利用copulapdf函數和copulacdf函數分別制作Copula密度函數和分布函數圖：

圖5　影子銀行與上證指數二元Gumbel-copula密度函數和分布函數圖

圖6　影子銀行與上證指數二元Clayton-copula密度函數和分布函數圖

通過上圖中影子銀行與上證指數的密度函數圖可以看出，基于Gumbel的Copula函數的下尾有顯著性，而Clayton的Copula函數并沒有顯示出顯著的尾部相關性。正如謝中華(2010)指出的二元Gumbel Copula函數與二元Clayton Copula函數都可以描述隨機變量之間的非對稱的尾部相關性。如上圖所示，Gumbel Copula函數的密度函數呈現“J”字形，但本案例中“J”字形沒有十分顯著，也說明影子銀行對上證指數的尾部相關性并不是很強，但仍然捕捉到了二者間上尾高和下尾低的敏感性變化，即上尾部具有相對下尾較強的相關性，而分布的下尾部變量間逐漸獨立。

圖8　影子銀行與上證成交量二元Clayton-copula密度函數和分布函數圖

通過上圖中影子銀行與上證成交量的密度函數圖可以看出，基于Clayton的Copula函數的下尾有顯著性，而Gumbel的Copula函數并沒有顯示出顯著的尾部相關性。如圖所示，Clayton Copula的密度函數呈現“L”形，即下尾高和上尾低的形態，這說明了影子銀行與上證成交量的變化由Clayton Copula函數描述和捕捉到的下尾關系更好。同樣，Clayton Copula中下尾部有較強的相關性，而上尾部變量間是逐漸獨立的。這說明產生正向收益率情況下，影子銀行與A股市場具有更高的相關性，也凸顯了影子銀行作為宏觀經濟流動性渠道會分流證券市場的流動性。影子銀行對上證指數尾部相關性和對上證成交量尾部相關性分別為：

λup(Gumbel-copula)=2-21/α≈0.0039

λlo(Clayton-copula)=2-1/α=2-1/1.0011≈0.5004

有此參數可知，影子銀行對上證指數更適用于Gumbel Copula函數，即上尾部的影響性。參數值說明當影子銀行快速上升，上證指數發生相應反饋的的概率為0.3%，影響性較小。比如央行突然收緊商業銀行信貸，導致影子銀行信貸規模短期快速增長，這種影子銀行快速增長的情況導致上證指數快速下跌的概率為0.3%，不是很顯著。同樣，影子銀行對上證成交量更適用于Clayton Copula函數，即下尾部的影響性。當影子銀行快速下降，A股市場上海交易所上證成交量產生相應反饋的概率為50%，其較為顯著。這也說明了：影子銀行是金融市場流動性的一個重要組成部分，對證券市場尤其是股市的存量資金或者增量交易資金有顯著影響性。

通過估計了Copula中的參數之后，繼續利用copulastat函數估計Kendall秩相關系數和Spearman秩相關系數。

表2　各項相關系數值

將以上求出的Kendall-Gumbel秩相關系數和Spearson-Gumbel秩相關系數與corr-Kendall和corr-Spearson對比發現，說明了線性相關參數為α=-0.0241和α=-0.0332的Clayton-Copula函數較好的反映了影子銀行與上證指數、上證成交量月度對數收益率的秩相關關系。

表3　歐式平方距離檢測表

3.結論

通過利用非對稱Copula函數實證檢驗中國影子銀行對A股市場的尾部相關性，可以看出，Copula函數可以有效檢驗單個金融資產經常出現的厚尾情況下的結構性相關性，而這種尾部風險有必要被長期跟蹤，原因是中國的股票市場波動性較大，而貨幣超發情況也極為顯著。金融資產間存在的非線性關系通過Copula函數有效檢驗，可以使我們有效觀察特殊情況下影子銀行與A股市場的尾部結構相關關系。尾部風險是不可能獨立存在的，其互相影響程度是可被捕捉到的，非對稱的Gumbel-copula和Clayton-copula顯然提高了尾部風險影響性的精度，二者在密度函數圖中各呈現“L”形和“J”形形態分布。影子銀行對上證指數的尾部相關性在利用Gumbel Copula函數時更有意義，但尾部相關性只有0.3%，說明影子銀行短期快速增長時，對上證指數的影響性較小。影子銀行對上證成交量的尾部相關性在利用Clayton Copula函數時更有意義，且尾部相關性高達50%，說明影子銀行短期快速下跌時，對A股市場上證成交量的影響性較大。

同時，經過matlab制作的資產邊緣分布的概率二元直方圖和概率密度圖可以看出：二元copula函數中基于正態分布條件的橢圓copula函數(包括Guassian-copula和t-copula)顯然不適于本文的度量方法，而基于非正態性阿基米德copula中的Gumbel-copula函數較適合描述本文研究的影子銀行和股市。

[1]何德旭，李錦成.中國影子銀行與A股市場的相關性分析[J].上海金融，2015，04：77-82.

[2]李錦成.對1996—2015年中國影子銀行月度規模數據的測算[J].中國市場，2016，24：71-80.

[3]劉曉星，王金定.我國商業銀行流動性風險研究——基于Copula和高階ES測度的分析[J].廣東商學院學報，2010，05：26-33.

[4]謝中華.MATLAB統計分析與應用：40個案例分析[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010.6.