小學數學中的運算和運算定律

胡重光 周 志

小學數學中的運算和運算定律

胡重光 周 志

運算是小學數學的主要內容，關于運算的基本理論無疑是小學數學教師必須掌握的。但是，我國的小學教師一般都沒有系統地學習它，小學教師培訓一般也沒有數學基礎知識的內容。本文擬對運算和運算定律及其教學作一個扼要的介紹。

一、運算的概念

在數學中，運算是再普通不過的事了。但是要回答什么是運算卻并不容易說清楚。我國的小學數學界至今沒有給出運算的定義，卻給加、減、乘、除都下了定義。比如，加法的一種定義是：把兩個數合成一個數的運算叫做加法。說加法是一種運算，但之前并沒有說什么叫運算，這樣我們還是不知道什么是加法。再如，什么叫“把兩個數合成一個數”也沒說清楚。1和2合成12，也是把兩個數合成了一個數。這樣的定義我們曾長期使用，至今仍在流行。

考察加、減、乘、除這些運算，可以發現它們具有一些共同點：都是在兩個數之間進行的，都按照某種法則進行，結果都得到一個確定的數。蘇聯數學家M. K.格列本卡和C.E.里亞平合著的《算術》（這本書是蘇聯師范專科學校的教科書。我國北師大教授郝新將其譯成中文，由高等教育出版社出版）一書中給運算下的定義就是：

設給定兩數a與b，根據已知的規則，由給定的兩數來求新數叫做運算。

這一定義顯然是按照上述三個特點作出的。但是運算的結果不一定得到新數，例如1×1=1。定義沒有說求得的新數是一個還是不只一個。如果限于我國目前小學數學的范圍，則可以說結果是一個確定的數。仿照這兩位數學家給出的定義，我們可以給小學數學中的運算下一個定義：

定義1：給定兩個數，依照某種法則，由這兩個數求得一個確定的數叫做運算。

這個定義基本上體現了運算的本質，也比較通俗易懂。

運算的更一般的定義可從張禾瑞的《近世代數基礎》中找到。該書用集合和映射的觀點給代數運算下了定義。算術運算是代數運算的特例。該書所定義的運算，其結果是唯一的。

二、自然數的運算

有了運算的定義，我們就可以據此定義加、減、乘、除了。這幾種運算的區別，在于它們的運算法則不同。由于法則不同，所得的結果一般也不同。這四種運算的結果分別有不同的名稱：和、差、積、商。首先我們在自然數的范圍內考察運算。

（一）自然數的加法

定義2：設a、b是兩個自然數，從a起數b+1個數，數到的最后一個數叫做a與b的和。

例如，2與3的和，就是從2起數4個數：2、3、4、5，數到的最后一個數是5，所以2與3的和是5。

這一定義既規定了什么是兩個自然數的和，也給出了求兩個自然數的和的方法。

根據這兩個定義，我們就可以給加法定義如下：

定義3：求兩個自然數的和的運算，叫做自然數的加法。

（二）自然數的減法

對于減法，我們可以用同樣的方法定義。首先定義兩個自然數的差：

定義4：設a、b是兩個自然數，b≤a。從a起倒數b+1個數，數到的最后一個數叫做a與b的差。

例如，3與2的差，就是從3起倒數3個數：3、2、1，數到的最后一個數是1，所以3與2的差是1。

然后給出減法的定義：

定義:5：求兩個自然數的差的運算叫做自然數的減法。

由差的定義可以看出，減法是加法的逆運算。加法與減法的關系可以用下面的算式表示：

如果a+b=c，那么c-b=a或c-a=b。

因此，我們也可以這樣定義減法：

定義5’：已知兩個加數的和以及其中一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。

根據這個定義，我們可以利用加法來做減法。例如，由2+3=5即可得出5-2=3或5-3=2。

（三）自然數的乘法

我們通常將乘法定義為同數連加的簡便運算。這一定義也是長期使用并流行至今的。但它并沒有說明什么是乘法，因為簡便運算這一概念是不明確的。為了定義乘法，同樣要先定義乘積。

定義6：（1）設n是正整數，m是自然數，n個m相加的結果叫做m與n的乘積，簡稱積，記作m×n。

（2）m與0的積為0：m×0=0。

（3）m與1的積為m：m×1=m。

例如，3個2相加的結果，叫做2與3的積，記作2×3。特別地，0×3=0+0+0=0。

但是，3×0不能認為是0個3相加，3×1也不能認為是1個3相加（在這里當然不能利用乘法的交換律把3×0轉化為0×3）。然而從現實問題不難得到3×0、m×1、0×0的正確結果。例如：

數學課上老師出了3道思考題，每做對1道思考題老師獎3顆五角星。丁丁做對了2道思考題，亮亮做對了1道思考題，晶晶沒做對1道思考題，三人各得了幾顆五角星？

這道題的數量關系是：

每道題獎勵的五角星數×做對題數=得到的五角星數

丁丁得的五角星數是：3×2=6（顆），

亮亮得的五角星數是：3×1=3（顆），

晶晶得的五角星數是：3×0=0（顆）。

晶晶沒有做對思考題，當然得不到五角星，由此可知0乘3的積應當是0。

如果再添一問：晶晶得了幾面紅旗？因為老師只獎五角星，不獎紅旗，就是說，做對1道思考題獎勵的紅旗面數是0，晶晶做對了0道，所以她得的紅旗面數是：0×0=0（面）。

這樣我們又得出0乘0的積為0。

這樣的例子是小學生也可以理解和信服的。

有了定義中的（2）、（3）兩條，則乘法交換律對任意自然數都成立了。

乘積的定義隱含一個順序：m×n表示n個m相加，即m表示相同加數，n表示相同加數的個數。在傳統教材中，這一點是十分明確的。但自2000年開始課改以來，新教材認為不必區分乘數和被乘數，一律稱為因數。3個2相加既可寫作2×3，也可寫作3×2。從乘法的意義雖然可以得出2×3與3×2結果相同，但兩者的意義并不同。買3斤橘子每斤2元與買2斤橘子每斤3元顯然不能混為一談。因此，我們可以不區分乘數和被乘數，但不能不區分2×3與3×2，不能因為學生易錯就放棄原則。

類似地，乘法的定義是：

定義7：求兩個自然數的乘積的運算叫做自然數的乘法。

（四）自然數的除法

除法的意義有兩種。一種是等分除法，即把一個數平均分成若干份，求每份是多少。例如，將12平均分成3份，求每份是多少。方法是看哪個數乘3等于12。因為3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，所以12÷3=4。另一種是包含除法，即求一個數包含幾個另一個數。例如，求12包含幾個4。方法是看4的幾倍等于12。因為4×1=4，4×2=8，4×3=12，所以12÷4=3。由此我們看到，除法可定義如下：

定義8：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。

除法有一個重要的性質，就是0不能做除數。通常我們這樣說明其道理：

設a÷0=b，那么0×b=a。若a≠0，那么這樣的b不存在，即這個除法沒有商；若a=0，那么b可以為任意數，即這個除法的商可以是任意一個數。

這個道理看起來很有說服力，但對小學生講卻是不合適的，因為兒童總是從實際意義方面看問題的。我們可以把一個數（或量）平均分成幾份，如果一人獨占也可以說只分成1份，但是平均分成0份顯然是說不通的。我們可以說6里面包含幾個3、幾個2、幾個1，但是說6里面包含幾個0顯然也是說不通的。這樣的解釋兒童是可以理解的。

自然數中的四則運算還有一個重要的不同之處：加法和乘法對任意兩個自然數都能實施，但減法只有在被減數不小于減數時才能實施，除法受的限制最大，只有在能整除時才能實施。對于一個正整數n，可以實施n+1次減法運算，除法則遠少于這個數字。現實生活中有余數的除法是常見的，能整除的除法則是不常見的。因此，教學中應該多出現有余數的除法。

自集合論流行以來，基數理論被廣泛使用。例如，美國的卡爾B·艾倫多弗寫了一本專供小學教師使用的書《關于算術和幾何的原理》就是只用基數理論的。該書的加法定義是：

n（A）+n（B）=n（A∪B），

即a+b=n（A∪B）。

書中舉例說：要說明2+3=5，我們采取以下步驟：

（1）選取集合A，使n（A）=2，即選取的集合有2個元素。

（2）選取集合B，使n（B）=3，a并使A與B不相交。即選取的B有3個元素，其中沒有一個是A的成員。

（3）構成A∪B。

（4）找出n（A∪B）=5。

（5）然后用等式a+b=n（A∪B）定義加法。

顯然，這一定義相當繁瑣，并且它沒有給出加法的法則。進一步我們還會發現，按這一定義證明加法結果的唯一性、加法的運算定律等都比較復雜。更重要的是，學前兒童是自發地用數數的方法計算加法的。

序數理論受到一些著名數學家的高度重視，M.K.格列本卡和C.E.里亞平在《算術》一書中強調指出：“數數的觀念以及與它聯系著的自然數列的觀念在算術中是極其重要的。”弗賴登塔爾對序數和基數理論作了很多論述。他高度評價序數理論：“無論從歷史的、發生的還是從系統的角度來看，數的序列都是數學的基石。可以說，沒有數的序列就沒有數學。”“兒童很早就開始學計數了，并把它當成一種樂趣。他們的計數能力要遠遠超出對數量的理解。……數的概念產生中，計數數是最初始的，最具有意義的。”“我更深入的想法是利用完全歸納法，以計數數來奠定自然數及其運算的基礎。這是一種典型的，簡捷可靠、富有創造力的方法。”“加法是繼續計數，減法是往回計數，這是傳統的教學法中的一項基本原理。形成這項正確原理的靈感來自于數的計數這個側面，然而它卻被新數學的教學法專家忽視了。”“自然數的數量側面并不足以成為自然數引入的基礎，它的效果不大，漏洞卻不小。”

用序數理論定義加法，由于自然數的性質決定了數數的結果是唯一的，立刻就可得出加法結果的唯一性。

這樣，計數也歸結于數數。根據皮亞諾公理，每一個自然數都存在唯一的后繼數，所以得：

由和的定義以及定理1立即得到：

由乘法的定義可知，乘法是特殊的加法，因此乘積是唯一存在的。

由于差是用倒數的方法得到的，所以當減法能夠實施時，其差是唯一的。

若兩個數的除法可以實施，那么商是唯一的，這一點可以證明如下：

假設a除以b（b≠0）得到兩個商q和q′，q≠q′，那么a=bq且a=bq′。由此得bq=bq′，b（q-q′）=0。

因為b≠0，所以q-q′=0，于是q=q′。這與假設矛盾，商的唯一性得證。

關于計數，還有一個重要的計數公理：

根據這一公理，可以很容易地得出加法的交換律

a+b=b+a

因為a+b意味著先數a個數，接著數b個數；b+a意味著先數b個數，接著數a個數。即交換加數的位置相當于改變數數的順序。

加法的結合律（a+b）+c=a+（b+c）的實質也是數數順序的改變。

由于乘法是特殊的加法，乘法的運算定律也可以用計數公理說明，下面將結合運算定律的教學進行介紹。

三、運算定律的教學

教材對加法和乘法的交換律與結合律都采用了用具體例子說明的方法教學。例如，加法交換律的教學如圖1所示（其他運算定律的教學結構完全相同）。

圖1

顯然，這里用的是不完全歸納法，因此教材的推理是有邏輯漏洞的。但教材沒有把這一漏洞告訴學生，這樣學生就會產生數學并不需要十分嚴謹的印象。事實上，用不完全歸納法是很容易犯錯誤的。舉一個最簡單的例子，素數都是奇數，無論考察多少個大于2的素數都正確。但事實上大家都知道這是一個假命題。小學數學雖然要求淺顯易懂，但應該是淺而不錯，易而有理。這里應該如斯托利亞爾在《數學教育學》一書中指出的：“在教學過程中，必須盡可能公開指明邏輯上的不得已的漏洞，而不能對學生隱瞞。”

其實，加法交換律可以利用圖來說明（如圖2）。

圖2

從左往右數是3+2，從右往左數是2+3，根據計數公理，應有3+2=2+3。

還可以利用數軸來說明（如圖3）。

圖3

乘法的交換律和結合律也可用類似的圖形模式或實物操作來說明（如圖4、圖5所示）。

圖5

由圖4可以得出：4×3=3×4；

由圖5可以得出：（2×4）×3=3×（2×4）=（3× 2）×4。

這些圖雖然只涉及具體例子，但它提供了一個形象的模式，學生從中可以看出，圖中小圓圈的個數和長方體的層數都是可以任意給定的。由此他們體會到，上述運算定律具有一般性。需要注意的是，圖5是立體圖，中年級的兒童觀察它可能有一定的困難，最好采用實物操作的方法，用小立方塊拼出這個長方體。還可設計一個活動讓學生自己操作、計算，則更有意義。

如果作出下面的兩個圖（如圖6、圖7）還可分別得出：a+b=b+a，m×n=n×m（字母都代表正整數）。

這可以說具有一般性了。

圖6

圖7

我國的小學數學課程沒有介紹乘法和除法的分配律，但這兩個定律分別是多位數乘法和除法法則的依據。它們也可以用類似的圖（如圖8、圖9）來說明。

12×3=（10×3）+（2×3）：

圖8

39÷3=30÷3+9÷3：

圖9

（本文是基金項目：湖南省教育科學規劃課題（XJK013CJC004）、湖南省省級重點建設學科“課程與教學論”建設項目資助的階段性成果）

（作者單位：湖南第一師范學院長沙市實驗小學）