基于改進干擾觀測器的虛擬軸機床滑模控制研究

李　琴, 劉海東, 張　祺,2

(1. 攀枝花學院 機械工程學院, 四川 攀枝花 617000; 2. 四川大學 制造科學與工程學院, 四川 成都 610065)

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基于改進干擾觀測器的虛擬軸機床滑模控制研究

李琴1, 劉海東1, 張祺1,2

(1. 攀枝花學院 機械工程學院, 四川 攀枝花 617000; 2. 四川大學 制造科學與工程學院, 四川 成都 610065)

圓弧齒輪加工用虛擬軸機床伺服系統存在的不確定性會影響系統的性能,從而降低圓弧齒輪的加工精度；同時,滑模控制中抖動現象會影響控制的精度和穩定性.為提高虛擬軸機床的加工精度和抑制滑模控制中的抖動現象,提出了基于改進觀測器的滑模變結構控制算法來控制虛擬軸機床的伺服電機,算法中采用該干擾觀測器對系統中的不確定性進行觀測,利用飽和函數代替符號函數來抑制滑模控制中的抖動現象.推導了基于改進觀測器的滑模變結構控制律,并證明了所設計控制器的穩定性；為驗證算法的有效性,在MATLAB中進行了仿真,仿真結果表明：所提出的算法能夠有效地觀測系統中存在的不確定性因素,并抑制滑模控制中的抖動現象,系統具有較強的位置跟蹤性能和抗干擾能力.

虛擬軸機床； 不確定性； 觀測器； 抖動； 仿真

圓弧齒輪是一種較新型的機械傳動副,由日本學者長谷川吉三郎等人于20世紀80年代提出,它具有接觸線長、重合度大、傳動平穩、無退刀槽、無軸向力等特點,能夠取代傳統的漸開線直齒輪、斜齒輪及人字齒輪[1-2].

由于圓弧齒輪的齒面是一種曲面,傳統的漸開線直齒、斜齒、人字齒的加工方法不能用于加工此種新型齒輪.國內外學者對圓弧齒輪的加工方式進行了深入的研究,比較有代表性的加工方式有：旋轉刀盤法、大刀盤分度切齒法、三刀頭旋轉切制法、數控滾切法、擠齒法、圓拉法和平行連桿加工法等[3-6].

虛擬軸機床是一種具有運動精度高、剛度大、負載能力強、結構緊湊、抗振性強、運動慣性小、切削穩定性好等特點的機床[7].考慮到圓弧齒輪的齒面精度會影響其性能,本文利用虛擬軸機床來實現圓弧齒輪的齒面加工；利用虛擬軸機床加工圓弧齒輪可以提高其曲面的精度,從而提高圓弧齒輪的性能.而虛擬軸機床加工曲面的精度與機床桿的位置精度息息相關,目前國內外學者對于直線伺服電機的位置控制算法研究較多,主要包括PID控制[8-9]、迭代控制[10-11]和滑模控制[12-13]等.

本文以虛擬軸機床的直線伺服電機為研究對象,提出了一種基于干擾觀測器的滑模控制算法來控制虛擬軸機床各桿的位置；同時為了進一步抑制滑模控制中存在的抖動現象,減小抖動現象對控制的精度和穩定性的影響,對提出的基于干擾觀測器的滑模控制算法進行了改進；為了驗證所提算法的有效性,在MATLAB中進行了仿真,仿真結果表明：所設計的控制算法能夠有效地對虛擬軸機床各桿的干擾進行觀測,改善了虛擬軸機床的軌跡跟蹤性能,同時滑模控制中的抖動現象也得到了改善.

1　基于改進干擾觀測器的滑模控制器設計

1.1系統描述

考慮干擾后,虛擬軸機床伺服電機的狀態方程可以表示為

(1)

假設1：系統是可控的；

假設2：系統滿足定義中的匹配條件.

根據定義1、假設1和假設2,系統(1)的離散形式可以改寫為

x(k+1)=Ax(k)+b[u(k)+d(k)]，

(2)

1.2基于改進干擾觀測器的滑模變結構控制器設計

以虛擬軸機床各軸的軌跡跟蹤問題為研究對象,各軸的理想軌跡可用向量xr表示,xr=[xr1xr2xr3xr4xr5xr6]T,各軸的實際軌跡用向量xa表示,xa=[xa1xa2xa3xa4xa5xa6]T,則系統各軸的跟蹤誤差為

e(k)=xa(k)-xr(k).

(3)

則滑模面函數可定義為

s(k)=CTe(k).

(4)

為了分析在滑模面函數值等于零時的動態情況,結合式(2)、式(3)和式(4),則

s(k+1)=CTe(k+1)=

CT[Ax(k)+bu(k)+bd(k)-xr(k+1)].

(5)

根據上式可以得到系統的控制律為

u(k)=-d(k)-(CTb)-1CT[Ax(k)-xr(k+1)].

(6)

根據式(4)和式(6),可得：

e(k+1)=[I-b(CTb)-1CT]Ae(k)-

[I-b(CTb)-1CT][xr(k+1)-Ax(k)].

(7)

為了保證所設計的滑模控制器能夠使得系統的跟蹤誤差收斂于零,根據假設1,式(7)可以簡化為(證明略)

e(k+1)=[I-b(CTb)-1CT]Ae(k).

(8)

對于如式(2)所示的虛擬軸機床電機伺服系統而言,引入干擾觀測后,本文設計的控制律和干擾觀測律分別為：

CTAx(k)+qs(k)-ηsgn(s(k))]，

(9)

qs(k-1)+ηsgn(s(k-1)]，

(10)

為了進一步提高系統的抗抖動能力,本文采用飽和函數來代替式(9)和式(10)中的符號函數,則式(9)和式(10)改寫為：

(11)

(12)

推論1:滑模及干擾估計誤差的動態必須滿足以下特性：

證明：由式(2)至(4)和式(11)，有s(k+1)=CTe(k+1)=CTx(k+1)-CTxr(k+1)=

CTAx(k)+CTbu(k)+CTbd(k)-CTxr(k+1)=

CTxr(k+1).

定義:

證明：

因為

所以

推論2：當

則

證明：

結論：當s(k)≥φ時,s(k+1)逐漸減小,直到進入邊界層.

②當s(k)≤-φ,則

qs(k)>s(k),

結論：當s(k)≤-φ時,s(k+1)逐漸減小,直到進入邊界層.

當φ>s(k)≥0,則

當-φ

1.3穩定性分析

1)當s(k)≥φ時：

因為

所以

s(k+1)-s(k)<0.

又

所以

[s(k+1)-s(k)][s(k+1)+s(k)]<0.

因此控制器是穩定的.

2)當s(k)≤-φ時：

因為

所以

s(k+1)-s(k)>0.

又

η≤-(1+q)φ+η+

所以

[s(k+1)-s(k)][s(k+1)+s(k)]<0.

因此控制器是穩定的.

2　數字仿真

為了驗證本文所提出算法的有效性,在MATLAB中采用該算法控制虛擬軸機床的伺服電機,電機離散后的方程為

x(k+1)=Ax(k)+b[u(k)+d(k)]，

圖2　基于改進干擾觀測器的位置跟蹤效果Fig.2　Location tracking effect based on the improved disturbance observer

圖3　基于干擾觀測器的相軌跡Fig.3　The phase trajectory based on the disturbance observer

圖4　基于改進干擾觀測器的相軌跡Fig.4　The phase trajectory based on the improved disturbance observer

從圖1，2可知,引入改進干擾觀測器后,控制器能夠有效地對系統中存在的不確定性因素進行觀測,從而抑制了不確定性因素對位置跟蹤性能的影響,系統具有良好的抗干擾能力；從圖3，4可以看出,利用飽和函數替代原控制律中的符號函數后,從其放大部分可以看出系統的抖動現象得到了明顯的抑制.

3　結　論

本文以一種圓弧齒輪加工用虛擬軸機床為研究對象,為提高虛擬軸機床的加工精度和抑制滑模控制中的抖動現象,提出了基于改進干擾觀測器的滑模變結構控制算法來控制虛擬軸機床的伺服電機.仿真結果表明：提出的基于改進觀測器的滑模變結構控制算法能夠有效地觀測系統中存在的不確定性因素,從而抑制了不確定性因素對位置跟蹤性能的影響,系統具有良好的抗干擾能力；同時滑模控制中的抖動現象也得到了明顯改善.

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Sliding model control scheme for virtual axis machine tool based on improved disturbance observer

LI Qin1, LIU Hai-dong1, ZHANG Qi1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Panzhihua University, Panzhihua 617000, China; 2. School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

The uncertainties existed in the servo system of virtual axis machine tool that was used to process the circular arc gears will affect the performance of the system and reduce the machining accuracy of the circular arc gears，and the chattering phenomenon existed in the sliding mode control will influence the control accuracy and stability. In order to improve the machining accuracy of the virtual axis machine tool and reduce chattering phenomenon in the sliding mode control， an sliding model control scheme with improved disturbance observer was proposed to control the servo motor of the virtual axis machine tool. The disturbance observer was used to observe the uncertainties existed in the servo system of virtual axis machine tool in this algorithm and the symbolic function in the variable structure control was replaced by the saturation function to reduce the chattering phenomenon which was brought by the variable structure control system. The control law was deduced based on the improved observer of sliding mode variable structure， and the stability of the designed controller was proved. In order to verify the validity of the algorithm， the simulation was taken in MATLAB， the simulation results showed that the algorithm proposed could effectively observe the uncertainties in the system， and chattering phenomenon in the sliding model control was reduced， then the motor servo system had stronger position tracking performance and anti-interference ability.

virtual axis machine tool; uncertainty; observer; chattering,simulation

2016-01-19.

國家自然科學基金資助項目(51375320).

李琴(1977—),女,四川成都人,副教授,碩士,從事機電一體化、先進制造技術等研究,E-mail:liqin103@126.com.

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.05.014

TP 273

A

1006-754X(2016)05-0501-05

本刊網址·在線期刊：http://www.zjujournals.com/gcsjxb

http://orcid.org//0000-0002-4043-3877