帶有攻角約束的高超聲速飛行器航跡傾角跟蹤控制方法

王易南，陳　康，符文星，閆　杰

(西北工業大學 航天學院，西安　710072)

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帶有攻角約束的高超聲速飛行器航跡傾角跟蹤控制方法

王易南，陳康，符文星，閆杰

(西北工業大學 航天學院，西安710072)

針對高超聲速飛行器高速飛行過程中受攻角的限制的控制問題，研究了一種基于障礙Lyapunov函數的狀態約束航跡傾角跟蹤控制方法。首先對飛行器航跡傾角模型進行部分線性化，得到符合嚴反饋的條件的參數化方程。采用BLF反步法，設計了對攻角具有約束的航跡傾角跟蹤控制器，證明了控制器的穩定性并給出攻角響應范圍和控制器參數的關系。仿真中使用反步法和BLF方法進行對比。結果表明，采用BLF方法設計的控制能在滿足高超聲速飛行器攻角約束條件下，實現對飛行器航跡傾角的無差跟蹤。

攻角約束控制；傾角跟蹤；障礙李雅普洛夫函數；反步法

0　引言

以超燃沖壓發動機及綜合推進系統為動力的高超聲速飛行器，能夠在大氣層內以Ma>5的速度飛行，在軍事和民用兩方面都有重要的應用價值，是未來航空航天領域主要的發展方向。美國X-43的試飛成功，表明超燃沖壓發動機技術取得了突破性進展。超燃沖壓發動機正常工作時，需要進氣道能捕獲足夠的空氣，而進氣道捕獲空氣的能力與飛行器的攻角密切相關，需要飛行器保證攻角在±4°以內，否則會導致超燃沖壓發動機關機[1]，從而也對飛行器的控制系統提出了更高要求。

高超聲速飛行器在飛行時滿足攻角范圍要求，本質上是一個具有狀態不等式約束的非線性控制問題。目前，解決帶有狀態約束控制問題的主要有參考軌跡調節器[2-3]、模型預測控制[4]、基于不變集原理[5]的控制器設計和極值搜索控制[6-7]。這些方法本質上均基于數值方法，且計算較復雜。此外，障礙Lyapunov函數(Barrier Lyapunov Function，BLF)法也是解決具有約束條件控制問題的有效方法。Neo最早提出這種方法，在反步法中構造BLF，解決了具有Brunovsky標準型的狀態約束控制[8]。而后Tee等基于Neo的思想，把BLF推廣到非線性領域，并做了更詳盡研究。Tee將BLF方法與自適應控制結合，構造了對稱與非對稱BLF，解決了帶有參數不確定性反饋非線性控制系統的輸出約束、全狀態約束和部分狀態約束的控制問題[9-12]。

飛行器控制中，航跡傾角跟蹤控制是實現飛行器高度控制的一種有效方法，本文針對以超然沖壓發動機為推進系統的高超聲速飛行器模型，設計具有攻角約束的傾角跟蹤控制系統。首先對航跡傾角控制系統，通過忽略高超聲速飛行器氣動力函數中關于小狀態量的高階項，把系統模型的化為嚴反饋形式。通過構造BLF函數、反正切函數和反步法，設計了帶有攻角誤差狀態約束的控制器，結合帶有飽和限制的指令濾波器，實現了在攻角約束條件下的航跡傾角指令跟蹤。對控制器的穩定性進行了分析，同時給出了攻角約束界限與控制器參數的關系。最后通過仿真驗證，說明了控制器的有效性。

1　高超聲速飛行器縱向模型

高超聲速飛行器的縱向動力學模型[13]可由下列方程描述：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中v、γ、α、q和h為方程狀態變量，分別表示速度、航跡傾角、攻角、俯仰角速度和高度；T、D、L和Myy為發動機推力、阻力、升力和俯仰力矩；Iyy為飛行器轉動慣量；m為飛行器質量。

假設1：在高超聲飛行器高度控制中，飛行器的速度近似為常數，且速度大小的變化率近似為零。

假設2：飛行器的攻角α很小，做近似sinα≈α，且在氣動力和氣動力矩系數中忽略與α高次項有關的系數。

在假設1和假設2的條件下得到高超聲速飛行器航跡傾角反饋參數控制模型：

(6)

(7)

(8)

其中

2　攻角受限條件下航跡傾角跟蹤

2.1帶有攻角限制的航跡傾角跟蹤控制器設計

Step 1：定義對傾角跟蹤誤差信號，并對其求導：

(9)

設計Lyapunov函數，并對Lyapunov函數求導:

(10)

定義攻角誤差信號：

(11)

式中u1為虛擬控制輸入。

設計u1：

(12)

式中c1為控制器參數。

(13)

通常在反步法設計控制器時，把虛擬控制u1設計成如下形式：

(14)

得到具有二次形式的Lyapunov函數的導數：

(15)

由于本文目的是設計攻角約束條件下的控制器，從攻角誤差的定義中可得到α=e2+u1，攻角的邊界是與虛擬控制輸入u1有關，如果使用式(14)作為虛擬輸入，|u1|的邊界很難計算，所以在這使用有界的反正切函數設計虛擬控制輸入u1。

Step 2：設計對攻角誤差具有限制作用的Lyapunov函數：

(16)

式中kb為函數的參數，用于限制誤差的變化范圍。

定義俯仰角速度誤差e3：

e3=q-u2

(17)

式中u2為虛擬控制輸入，用于鎮定狀態α。

設計u2：

(18)

式中c2為控制器參數。

(19)

Step 3：設計Lyapunov函數V3：

(20)

設計控制器輸入：

(21)

把δ代入設計Lyapunov函數V3的導數，得

(22)

由此得到高超聲速飛行器攻角限制下的傾角跟蹤控制系統閉環控制器：

(23)

相對應的Lyapunov函數和其導數：

(24)

(25)

2.2穩定性分析

引理1：對于正數kbi，i=1，2，…，n，存在開集E={e∈Rn：|ei|

(26)

其中，f：R+×N→Rn且f(t，e)為關于t的分段連續函數。在R+×N上f(t，e)關于e滿足局部Lipschitz條件，關于t一直連續。假設在開集Ei：={ei∈R：|ei|

(27)

式中γ1和γ2為K∞類函數。

令

如果下列不等式成立：

(28)

那么ei(t)滿足對任意t∈[0，∞]，ei∈(-kbi，kbi)。

假設3：所給定的跟蹤指令γd及γd的各階導數有界，即存在正數A0，A1，A2，…，An，…滿足：

定理：在系統的輸入指令為γd且滿足假設3的條件下，由式(6)～式(8)及式(23)所組成的閉環系統，若初始條件e(0)∈Ωe，e=[e1，e2，e3]，Ωe={e(0)∈R3：e2(0)

(1)所有的誤差信號e(t)有界；

(2)狀態α有界，且滿足

(3)閉環系統所有信號有界；

(4)當t→∞時，γ→γd，即閉環系統誤差跟蹤信號漸進穩定。

證明：

(29)

不等式(29)等價于：

(30)

同理，可得誤差信號e1(t)和e3(t)的上界：

(31)

(32)

(3)由結論1可知，所有誤差信號是有界的，根據假設3可知，輸入指令是有界的，由誤差信號e1的定義可得到狀態γ是有界的。虛擬控制輸入u1中，γd、γ、e1有界。所以u1有界。同理可依次推出各控制信號和各狀態有界。

2.3指令濾波器

由BLF反步法傾角跟蹤控制器設計的表達式可知，控制器完成閉環穩定跟蹤，不僅需要被控對象的各個狀態信息，而且還需要跟蹤指令的各階導數。對于三階控制系統，控制器的輸入為系統狀態和跟蹤指令以及指令的一階、二階、三階導數。為實時計算指令的導數，在此引入三階指令濾波器：

(33a)

(33b)

指令濾波器的輸出作為控制系統的跟蹤指令，其中輸出y1為指令，y2為指令的一階導數，y3為指令二階導數，指令的三階導數可表示為

a1(y1+r)+a2y2+a3y3

由式(25)可知，在BLF控制器控制下，控制系統響應中攻角的響應范圍與控制器參數和輸入指令的一階導數有關。所以為了跟蹤過程中實現對攻角的約束控制，還需要對控制指令的一階導數加以限制。指令濾波器的輸出y2是指令的一階導數，所以在指令濾波器的輸出y2上加入飽和限制：

(34)

式中ks為待定的參數。

3　控制器仿真驗證

仿真中使用的飛行器模型是NASA公布的winged-cone，仿真中使用的氣動數據是在表1的條件下計算獲得，表1中同時列出飛行器參數。BLF控制器參數見表2。仿真中使用的指令濾波器為式(35)。

飛行控制任務：

(1)完成對航跡傾角的無差跟蹤；

(2)在跟蹤過程中滿足飛行器攻角不超出±4°。

表1　飛行器初始條件

表2　BLF控制器參數

(35a)

(35b)

根據航跡傾角跟蹤時對攻角的要求|α|<4和式(32)可得

(36)

把根據表1計算而得的氣動系數和表2中的控制參數代入式(36)可得

(37)

所以，把指令濾波器設y2的飽和限制參數設為ks=0.265。

下面給出飛行器跟蹤不同航跡傾角指令的跟蹤仿真結果。

圖1和圖2顯示，當航跡傾角指令不斷變大時，飛行器響應的攻角峰值也不斷變大，且不斷趨近于4°，但在BLF控制器的約束下，攻角始終小于4°。指令濾波器的輸出y2的限幅是一種理想的閾值截止限制方法，這使得航跡傾角的跟蹤過程中出現了不平滑的現象。

圖1　航跡傾角

圖2　攻角

下面用反步法航跡傾角跟蹤控制系統進行仿真，并將反步法和BLF方法的仿真結果進行對比，來驗證BLF控制方法的控制性能。仿真中，航跡傾角指令為5°。

圖3顯示2種方法都能使飛行器無穩態誤差的跟蹤階躍指令，但BLF方法的瞬態響應速度不如反步法。圖4顯示，反步法在跟蹤5°航跡傾角指令時，攻角的峰值已經超出了控對攻角的要求范圍，但BLF方法中，攻角被限制在要求范圍內。BLF方對航跡傾角跟蹤響應中的攻角運動范圍進行了限制，使得提供給飛行器的氣動力的大小受到了限制，造成了BLF方法在跟蹤航跡傾角時動態響應變慢。這種響應變慢并不是由于控制器造成的，而是控制要求對攻角的限制造成。圖5給出了飛行器俯仰角速度響應曲線，圖6是飛行器舵偏曲線，圖7是控制器設計中引入的虛擬控制指令，這些曲線說明閉環系統中各個狀態和控制信號都是穩定的。

圖3　航跡傾角

圖4　攻角

圖5　俯仰角速度

4　結論

(1)本文針對超燃沖壓發動機作為推力裝置的高超聲速飛行器，使用障礙Lyapunov函數(BLF)方法，設計了一種帶有攻角限制的飛行器航跡傾角跟蹤控制器。該方法可有效保證高超聲速飛行器在飛行控制過程中，超燃沖壓發動機工作所需要的攻角約束條件。文中在給出控制方法設計的同時，對控制器穩定性給出了分析，并給出控制狀態|α|的上界和控制器參數的關系。

圖6　舵偏

圖7　虛擬控制信號

(2)在對不同航跡傾角的跟蹤響應中，BLF控制器可實現飛行器對航跡傾角的無差跟蹤。對比仿真中的結果顯示在響應過程中，使用傳統反步法控制的飛行性的攻角超出了4°，破壞了超然沖壓發動機的正常工作對攻角的要求；而BLF控制方法控制的飛行器，在跟蹤過程中，攻角能按照控制要求將攻角限制在約束范圍內。

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(編輯：呂耀輝)

Hypersonic flight vehicle’s flight path angle tracking control with attack angle constraints

WANG Yi-nan，CHEN Kang，FU Wen-xing，YAN Jie

(School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an710072,China)

To overcome the attack angle constraints,this paper uses the barrier Lyapunov function(BLF)to study an flight path tracking control method under attack angle constraints.The hypersonic flight vehicle model was partially linearized to obtained the parameterized control model that agrees with the strict feedback form.BLF backstepping method is used to design the flight path angle tracking controller that has attack angle constraints.Stability of closed loop system was proved and the relationship between scope of attack response and controller’s parameters was established.The flight path angle tracking simulation uses the backstepping method so as to compare it with the BLF.The simulation results show that the BLF similar performances in term of steady-state error, but the BLF can restrict the attack angle within the required condition.

attack constraint；flight path angle tracking；barrier Lyapunov function；backingstepping controller

2015-07-09；

2015-10-25。

國家自然科學基金青年基金(61503302)。

王易南(1969—)，男，博士，研究方向為飛行器導航、制導與控制。E-mail：domo_fin@163.com

V249.1

A

1006-2793(2016)01-0125-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.01.023