考慮時延的多Euler-Lagrange系統自適應神經網絡協調跟蹤控制

孫延超，陳亮名，李傳江，馬廣富

（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江　哈爾濱 150001）

考慮時延的多Euler-Lagrange系統自適應神經網絡協調跟蹤控制

孫延超，陳亮名，李傳江，馬廣富

（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001）

考慮存在通訊時延，在有向通訊拓撲結構下研究多Euler-Lagrange系統的協調跟蹤控制問題。僅有部分跟隨者可以獲得靜態領航者信息。對每一個跟隨者設計了一種分布式觀測器，以獲得領航者的狀態量。針對系統模型具有非線性不確定性和外部擾動情況，基于神經網絡方法提出了兩種分布式自適應協調控制律，分別使每一個跟隨者對領航者的跟蹤誤差最終有界和漸近收斂到零。運用Lyapunov穩定性理論對兩種控制律的穩定性進行了證明。數值仿真驗證了本文提出的控制律的有效性。

分布式控制；Euler-Lagrange系統；協調跟蹤；通訊時延；神經網絡

網址：www.sys-ele.com

0　引　言

近年來，多智能體系統協調控制問題引起了廣泛的關注，在許多領域呈現出廣闊的應用前景。例如，文獻［1］針對航天器編隊飛行問題，基于多智能體協調控制方法使系統的狀態最終趨于一致。文獻［2］研究了傳感器網絡的協調控制問題，并設計了完全分布式控制器。文獻［3］研究了移動機器人的協調控制問題。在多智能體系統中，通過智能體間的相互協作能夠完成單個運動體無法完成的復雜任務，并提高系統的效率、靈活性和可靠性［4］。

多智能體協調控制可以分為兩大類問題：無領航者的一致性問題和有領航者的跟蹤控制問題。對于無領航者的一致性，每個智能體通過和鄰居進行信息交互來更新自己的狀態，從而使所有智能體的狀態趨于一個共同值。文獻［5］研究了一類機械系統的一致性問題，提出了一種有效的分布式控制律。文獻［6］考慮了系統的有限時間特性，對多智能體系統的一致性問題進行了研究。文獻［7］針對多機械臂系統，考慮了非線性動態特性，提出一種自適應一致控制律使所有系統狀態趨于共同值。然而，一致性問題最終的共同值往往是假定的一個常數或者是初始狀態的加權和，這給應用帶來較大的限制。作為一種更有效的協調控制方案，有領航者的協調跟蹤控制是指對跟隨者設計分布式控制律，使所有跟隨者的狀態都趨于領航者的狀態。其中領航者的運動獨立于跟隨者，但會影響跟隨者，因此通過設定領航者的目標軌跡就可以達到整個智能體系統的控制目標，因此降低了設計和控制成本。文獻［8］針對一類機械物理系統，考慮領航者具有時變軌跡情況，研究了協調跟蹤控制問題。文獻［9］在只有部分跟隨者可以獲得領航者信息的前提下，研究了機械系統的協調跟蹤控制問題，但沒有考慮通訊時延的影響。文獻［10］分別在固定和切換通訊拓撲下，研究了一類非線性系統的協調跟蹤控制問題，同樣沒有考慮時延的影響。實際上大多系統都存在模型非線性情況，因此按一階或二階積分系統進行建模存在一定問題［11-12］。Euler-Lagrange（EL）方程可以用來對大多實際系統進行建模，如航天器、自動車輛、操作機器人、多機械臂等［6，13］。因此，多EL系統分布式協調控制問題具有更強的實際應用價值。文獻［14］對多EL系統的分布式跟蹤控制問題進行了研究，考慮系統存在參數不確定性，假設EL系統滿足參數線性化條件，通過分布式滑模估計器補償系統不確定性，并設計分布式控制律使系統狀態達到一致。文獻［15］通過參數線性化的方法處理系統的不確定性，研究了多EL系統的蜂擁控制問題。

對于多智能體協調控制的研究，考慮系統模型存在非線性不確定性和外部擾動具有一定的挑戰性。文獻［16］針對多EL系統，設計了兩種分布式自適應神經網絡控制律，實現了跟蹤誤差的漸近收斂。文獻［17］采用神經網絡的方法逼近與補償系統的非線性不確定性，針對多EL系統提出了一種不利用鄰居信息的分布式跟蹤控制律，并保證了跟蹤誤差的有界性。針對輸入干擾問題，文獻［18］針對多EL系統，基于終端滑模技術提出了分布式魯棒控制律，使系統狀態趨于一致。在實際情況下，由于多智能體系統必須通過通訊才能交互信息，因此不可避免地存在通訊時延現象。通訊時延是多智能體協調控制研究必須考慮的一個問題。基于EL模型方法，文獻［19］針對多星編隊系統的姿態跟蹤控制問題，考慮通訊時延，設計分布式控制律使所有跟隨星的姿態趨于領航星的姿態；文獻［20］研究無人機的編隊飛行問題，在考慮通訊時延的情況下，同樣實現了編隊控制任務。考慮切換通訊拓撲和通訊時延影響，文獻［21］針對異構多EL系統，提出了一種分布式控制算法，使所有系統的運動狀態趨于一致；文獻［22］研究了多EL系統協調控制問題，并同時考慮了系統存在參數不確定性和通訊時延的情況，但假設期望軌跡全局已知。目前對存在通訊時延的多EL系統的協調控制的研究還比較少，從工程實際的角度有必要進行深入的研究。

基于上述文獻綜述，本文針對多EL系統，在有向通訊拓撲下，同時考慮存在通訊時延以及模型非線性不確定性、外部擾動的情況，通過設計兩種分布式協調控制律使所有跟隨者實現對靜態領航者的跟蹤控制，并分別使跟蹤誤差最終有界和漸近收斂到零。和已有文獻相比，本文的研究特色在于：①本文考慮的通訊拓撲含有通訊時延，模型具有非線性不確定性及外部擾動，更符合實際情況；②對每一個跟隨者設計分布式觀測器，在存在通訊時延情況下有效觀測出領航者的狀態量；③基于神經網絡方法分別設計了兩種自適應協調控制律，通過Lyapunov穩定性理論對兩種控制律的穩定性進行了證明，并利用數值仿真驗證了兩種控制律的有效性。

1　數學基礎和問題描述

1.1EL動力學方程

本文假設系統由n+1個智能體組成，其中有n個跟隨者（記為Ι=｛1，2，…，n｝）和1個靜態領航者（記為n+1）。跟隨者i的動力學模型由EL方程表示為

在本文分析中，假設如式（1）所示的EL方程滿足以下假設和性質：

假設1外部擾動ωi是有界的，并存在正常數ωMi，使‖ωi‖≤ωMi。

式中，v∈Rm為輔助狀態量；S∈Rm×m和F∈Rp×m為常值實數矩陣。

注1通過合理選取v的初值以及矩陣S和F的維數和元素，可以保證qn+1保持為常值向量。

1.2代數圖論

用有向圖來描述智能體間的通訊拓撲結構。有向圖G=（υ，ε，A由頂點集υ=｛1，…，n，n+1｝，邊集ε?υ×υ和鄰接矩陣組成。有向圖的邊（υi，υj）∈ε 表示智能體j能夠獲取智能體i的信息，υi為υj的父節點，υj為υi的子節點，并記υi為υj的鄰居，υi所有父節點組成的集合Ni為智能體i的鄰居集。若有向圖中除了一個節點（稱為根節點）外，其余每個節點均有且僅有一個父節點，且存在根節點到其余任何節點的路徑，則稱該有向圖為有向樹。有向圖的有向生成樹為包含該有向圖所有節點的有向樹。如果有向圖存在一個為有向生成樹的子圖，則稱該有向圖具有有向生成樹。

假設2有向圖G具有一個有向生成樹。

1.3問題描述

本文研究在有向圖G下由n個跟隨者和1個領航者組成的多EL系統，在存在模型非線性不確定性、外部擾動和恒定通訊時延的情況下，通過設計合適的分布式觀測器和分布式自適應神經網絡控制律，實現跟隨者對領航者的跟蹤控制。

2　分布式協調跟蹤控制律設計

2.1分布式觀測器設計與神經網絡基礎

由于領航者的狀態不是全局已知，為了實現所有跟隨者對領航者的跟蹤控制，對于每一個跟隨者，首先設計分布式觀測器為

式中，ηi∈Rm、τ分別為跟隨者i對領航者輔助狀態v的估計、智能體間通訊的固定時延。其中

并且假設ηn+1=v。

引理1對于分布式觀測器（3），在滿足假設2的條件下，如果存在正定對稱矩陣P，T∈Rnm×nm，使得Q矩陣為負定

證明由于領航者為靜態，所以根據式（2b）可得v為常值，所以有v（t-τ）=v（t），因此將式（2）代入式（3）可以得到

由于矩陣Q的形式與文獻［25］中的式（9.1.2）形式類似，因此根據文獻［25］中定理9.1.1可以得到當存在正定對稱矩陣P和T，使Q負定時，有證畢

注2對于矩陣P和T的求解過程，采用的是比較成熟的線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）求解技術。具體的求解方法和程序可以參考文獻［25］“附錄A.4”內容。并且值得說明的是，由于矩陣Q的形式和維數不是非常復雜，所以一般可以找到滿足要求的矩陣解。

提出輔助變量

式中，α為正常數。將式（6）帶入式（1），可以得到

基于本節提出的分布式觀測器（3）、輔助變量（5）以及估計方程（9），以下分別設計兩種分布式自適應控制律，以實現跟隨者對領航者的跟蹤控制。

2.2跟蹤誤差最終有界的分布式控制律設計

對跟隨者系統（1），提出分布式控制律

式中，Wi為最優權值矩陣；φi為激活函數；εi表示有界逼近誤差。那么跟隨者i對fi的估計變量可以設計為

定理1在假設1、假設2成立的條件下，考慮存在模型非線性不確定性和外部擾動的多EL系統（1），通過有向圖G進行通訊，且存在恒定通訊時延τ的情況下，在分布式觀測器（3）和自適應控制律（10）的作用下，當滿足δλmin（K）＞1/2時，可以使跟隨者和靜態領航者間的跟蹤誤差趨于最終有界。

證明構造Lyapunov函數

對V求導可得

將式（7）、式（9）和式（10）帶入式（12），并根據性質1可以得

式中，δ為正常數。

根據矩陣相關的放縮運算，式（16）關系式成立。

根據式（13）～式（16）可以得到

記λmin（·）表示矩陣的最小特征值，則式（17）可以寫為

式（18）可以表示為

式中

由式（19）可得

因此，可以通過選取K和δ使得δλmin（K）＞1/2，則β＞0。又因為C＞0，因此可得

由si的定義，可以得到

根據引理1和式（21）～式（22）可以得到

進一步求解計算可得

又因為

根據引理1和式（24）可得

因此得出在分布式觀測器（3）和自適應控制律（10）作用下各跟隨者對領航者的跟蹤誤差最終有界的結論。證畢

2.3跟蹤誤差漸近收斂的分布式控制律設計

本節在第2.2節基礎上提出一種改進的分布式自適應控制律，保證所有跟隨者對領航者的跟蹤誤差漸近收斂到零。

對跟隨者系統（1），提出分布式控制律

式中，γ為正常數；Ki為正定對稱矩陣；ki為正常數且滿足ki≥‖ωi+εi‖1。

定理2在假設1、假設2成立的條件下，考慮存在模型非線性不確定性和外部擾動的多EL系統（1），通過有向圖G進行通訊，且存在恒定通訊時延τ的情況下，在分布式觀測器（3）和自適應控制律（26）的作用下，可以使跟隨者和靜態領航者間的跟蹤誤差漸近收斂到零。

證明構造以下Lyapunov函數

將控制器（26）代入式（7）有

仿照定理1的證明過程式（11）～式（13）可以得到

由式（14）和式（15）可得

根據式（27）與式（30）可以得到si∈L∞，并且存在V∞∈［0，V（0）］使得lim V（t）=V∞。對式（30）兩邊積分可得

由si的定義，給出穩態一階微分方程

由式（32）和引理1（即ˉηi→0m），可以得到

因此得出在分布式觀測器（3）和自適應控制律（26）作用下各跟隨者對領航者的跟蹤誤差漸近收斂到零的結論。證畢

根據式（24）和式（34）可以得到

3　仿真實驗

通過仿真實驗驗證兩種控制律的有效性。考慮由5個兩自由度機械臂構成的有向通訊網絡，其中編號1～4為跟隨者，編號5為領航者，如圖1所示。

圖1　智能體間通訊拓撲圖

每個跟隨者的EL動力學方程為

靜態領航者的位置選取為

相對應的式（2）中的模型參數分別取為

跟隨者狀態的初始參數取為

考慮系統通訊時延為τ=0.05 s。對跟隨者i（i=1，2，3，4），神經網絡激活函數向量取為

式中，φij（z）是Guassian函數，即

控制律（10）的控制參數選取為Ki=36I2，γ=1，μ= 10，α=10。控制律（26）的控制參數選取為Ki=36I2，ki= 300，γ=1，α=10。

圖2和圖3分別表示在自適應控制律（10）的作用下，各跟隨者跟蹤領航者的運動軌跡。

圖2　各跟隨者關節1跟蹤領航者關節1的運動軌跡

圖3　各跟隨者關節2跟蹤領航者關節2的運動軌跡

圖4和圖5分別表示在自適應控制律（26）的作用下，各跟隨者跟蹤領航者的運動軌跡。

圖4　各跟隨者關節1跟蹤領航者關節1的運動軌跡

由圖2～圖5可知，在分布式觀測器（3）和自適應控制律式（10）與式（26）作用下，所有跟隨者與領航者間的跟蹤誤差均可趨于收斂。對比圖2與圖4以及圖3與圖5可以發現，相比于控制律式（10），在控制律式（26）作用下跟隨者對領航者的跟蹤過程具有更小的超調和更好的動態特性，證明了控制律式（26）是相對于控制律式（10）的改進。

圖5各跟隨者關節2跟蹤領航者關節2的運動軌跡

4　結　論

在有向通訊拓撲下，針對時延網絡中存在模型非線性不確定性和外部擾動的多EL系統的分布式協調跟蹤控制問題，提出了兩種分布式自適應神經網絡控制律，分別使跟隨者和領航者間的跟蹤誤差最終有界和漸近收斂到零。考慮通訊時延，本文首先設計了一種分布式觀測器，實現了對領航者狀態量的觀測。然后，提出了第一種分布式控制律，利用神經網絡的方法逼近模型的非線性不確定性，理論上證明了跟蹤誤差可以最終有界；在此基礎上，提出了改進的控制律，通過引入符號函數項，設置符號函數的增益值，得到了跟蹤誤差漸近收斂到零的結論。仿真實驗驗證了所提出的控制律的有效性。在本文研究結果基礎上，下一步將考慮動態領航者，且存在通訊時變時延情況下的分布式協調控制問題。

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制、導航制導與控制。

E-mail：sunyanchao@hit.edu.cn

陳亮名（1993-），男，博士研究生，主要研究方向為多智能體協同控制、導航制導與控制。

E-mail：chenlm_hit@163.com

李傳江（1978-），男，教授，博士，主要研究方向為最優控制、導航制導與控制。

E-mail：lichuan@hit.edu.cn

馬廣富（1963-），通訊作者，男，教授，博士，主要研究方向為最優控制、導航制導與控制。

E-mail：magf@hit.edu.cn

Adaptive neural-network coordinated tracking control of multiple Euler-Lagrange systems with communication delays

SUN Yan-chao，CHEN Liang-ming，LI Chuan-jiang，MA Guang-fu
（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Considering communication delays，the coordinated tracking control problems of multiple Euler-Lagrange systems under a directed graph are investigated.The information of the static leader is available to only a subset of the followers.First，the distributed observer is designed so that the state information of the leader can be estimated by every follower.Then，considering model nonlinear uncertainties and external disturbances，two distributed adaptive control algorithms based on neural networks are proposed to make sure that the tracking errors for every follower can be bounded and asymptotically convergent，respectively.The closed-loop systems are investigated by using the Lyapunov theory and the graph theory.Numerical simulations are provided to verify the effectiveness of the proposed methods.

distributed control；Euler-Lagrange system；coordinated tracking；communication delays；neural networks

TP 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.25

1001-506X（2016）05-1132-07

2015-02-10；

2015-10-19；網絡優先出版日期：2015-01-12。

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160112.1743.018.html

國家自然科學基金（61174200，61304005）；高等學校博士學科點專項科研基金（20102302110031）資助課題

孫延超（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為多智能體協同控