數學分析中微分概念探究教學的實踐與思考

謝海斌 陳迪三 葉潔

摘要：《數學分析》課程教學應打破傳統(tǒng)教學模式，積極開展自主、合作和探究式教學.微分概念探究教學應從概念的形成、概念的理解與鞏固、學生認知水平三個角度開展.通過實踐分析和總結得到：數學分析課程探究式課堂教學要重視良好課堂氛圍的營造，探究活動核心環(huán)節(jié)的掌控以及學生認知水平的發(fā)展三個環(huán)節(jié)，循序漸進地開展科學合理有效的課堂探究教學活動.關鍵詞：微分；探究教學；情境問題；認知水平中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）38-0131-03

一、引言

目前，很多從事高校數學課程教學的教育工作者，仍然采用教師教，學生學；教師講，學生聽的傳統(tǒng)教學模式，導致學生學習積極性不高，學習興趣逐漸喪失，因此，傳統(tǒng)數學教學模式不利于學生形成良好的數學學習習慣和創(chuàng)造性思維能力.2015年國務院辦公廳關于深化高等學校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實施意見中指出：“高校課程教學和考核方式要開展啟發(fā)式、討論式、參與式教學，……，注重考查學生分析、解決問題的能力.”針對這一要求，高校數學教師應結合數學課程自身特點積極開展探究式教學改革.近年來，有關數學探究教學的研究主要集中在中學數學教學領域[1-4]，然而高校數學探究教學的研究比較少，針對這一現狀，本文以高師《數學分析》課程中微分概念探究教學為例，提出《數學分析》教學應積極開展自主、合作、探究的有效教學模式，為學生提供更多主動參與、合作交流、探究發(fā)現的教學活動，從而促進學生主體學習意識和能力的培養(yǎng).

二、微分概念的教學探究實踐與分析

Klausmeier指出概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進行分類的心智結構.概念是重要的，概念反應思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產生思想的，相反，思想產生概念.[5]事實上，人類社會現有的數學概念都是在人類社會歷史發(fā)展的過程中，隨著勞動實踐和社會經驗的積累，在經驗概括的基礎上形成的.[6]因此，教師在微分概念教學過程中，應從微分概念知識起源中尋找切入點，根據學生的認知水平，創(chuàng)設合理情景，引導學生從具體事例抽象出微分的實質，自主構建微分概念，并感悟概念形成中蘊含的數學思想，逐步培養(yǎng)自身的數學概括能力.

1.注重學生從具體到抽象的思維能力的培養(yǎng)，體會概念形成過程.微分概念比較抽象，若教師直接引入，學生很難理解與接受，故可以結合微分在實際的生產生活領域中的應用來引入微分概念.在實際生活中，往往需要根據測量值來近似計算某些物理量，故教師可以設計如下教學情境引入課題.

教學片段1：教師拿出三個正方形紙板如下圖1所示，展示三個正方形紙板的面積的變化情況，并提出如下問題：

問題一：觀察三個圖形中面積增量主要取決于哪一部分？

問題二：思考當邊長增量Δx→0時，ΔS，200Δx，（Δx）三者存在著怎樣的關系？

設計意圖：通過動態(tài)圖形演示，創(chuàng)造教學情景，引導學生觀察面積的變化規(guī)律，形成感官上的一種具體認知和判斷.然后通過設置問題引導學生朝著預設的教學目標方向進行思考，并檢測不同層次的學生對問題的分析理解能力.

學生在討論后給出答案：當邊長增量Δx→0，故有

顯然，學生能夠利用已學導數的概念來分析問題，但是對問題的理解缺乏方向性，沒有刻畫ΔS，200Δx，（Δx）三者關系，此時教師可以做進一步補充：

說明邊長增量越來越小時，面積增量的實際值主要決定于兩個小長方形的面積.再借助高階無窮小量可知

ΔS=200·Δx+ο（Δx）

從而使得微分概念的雛形自然而現.進而針對一般函數f（x），給出微分的一般定義形式

其中ο（Δx）是Δx的高階無窮小量.

教學分析：好的教學情境的引入，往往能營造良好的教學氛圍，提升學生參與教學活動的積極性和主動性.但是在這樣的教學過程中，學生的初步認知往往是具體的，并且是不完整的，甚至是錯誤的，教師應引導學生多思考如下問題：我的理解方式與已有的概念是否存在聯(lián)系？解決問題的關鍵在哪里？結論是否具有推廣性？若不能推廣，是否可通過修改條件實現結論的推廣？等等.學生在反思過程中，會對已有的認知和理解進行深入思考，從而使得自己對數學知識的體驗不斷得以釋放，思維能力不斷提升，并逐步達到抽象思維的認知水平.

2.注重學生對概念深化理解，通過變練演編等方式鞏固概念.王光明博士認為：理解是數學學習的重要環(huán)節(jié)，“懂而不會的”現象說明學生對數學知識的學習并未達到真正的理解[7].因此，當微分概念給出后，并不代表著學生能準確認識和理解概念，它需要教師進一步引導學生從不同的側面和角度去挖掘概念，解釋概念，深化學生對概念的理解.

教學分析：本題的解題過程充分展現用定義法驗證函數在某點可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教師在對微分概念講解時要循序漸進，對問題的探究思路和角度要多元化，對教材例題要進行剖析和演編，同時還要給學生一些與例題類似或演編的題目進行訓練，這樣可以進一步加深學生對微分概念的理解.

3.在概念教學中逐步提升學生的認知水平，幫助學生建立新的認知結構.教師對例題進行總結和歸納是加深學生對概念理解的一種有效方法，同時也是促使學生發(fā)現新問題或新規(guī)律的一個有效途徑.著名教育家波利亞在其著作《數學與猜想》中寫道：“數學的創(chuàng)造過程是與任何其他知識的創(chuàng)造一樣的.在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路.”[8]所以在教學活動中，教師應積極引導學生對已有結論進行反思、歸納和論證，促使學生的數學認知水平逐步提高，并在原有的認知水平上建立起新的認知結構.

教學片段3：教師請學生觀察分析上述例題中給出的微分表達式的特征有哪些，并猜想在具備同樣條件下的一般函數f（x）是否也有類似結論成立，若成立嘗試證明你的結論.

設計意圖：培養(yǎng)學生的觀察分析能力，合情推理和歸納證明的能力等，通過對這些能力的培養(yǎng)，不斷提升學生的認知水平，幫助學生建構新的認知結構.

學生通過相互討論給出答案：（1）微分都是一個常數與自變量增量的乘積的結構模型；（2）算例表明常數恰巧是函數在該點處的導數值；（3）由導數定義形式可推知

-f′（x）=ο（1）？圯Δy=f′（x）Δx+ο（Δx），

表明函數f（x）在點x可導一定可以推出f（x）在點x=x可微.

在了解學生的認知情況后，教師可以對學生給出的答案做進一步補充說明：一元函數可導一定可微，反之，可微也一定可導，證明如下

顯然根據導數的定義可知A=f′（x）.至此，教師可以帶領學生對上述討論內容進行總結，強調函數可導與可微是等價的，同時也找到了判斷函數在某點是否可微的另外一種重要方法，此方法比微分定義法更容易證明.

教學分析：在課堂教學中，教師通過精心設置問題情境，引導學生進行演練、搜集數據和觀察對比分析，并借助已有的經驗知識進行大膽猜想，提出假說，進而論證假設的真?zhèn)涡?在這一過程中，既發(fā)揮了教師在教學中主導作用，又體現了學生是課堂教學的主體.師生通過合作學習，共同探究，不僅增近了師生之間的情感交流，同時也讓學生在學習過程中獲得新的認知結構，提升了自身的認知水平，體驗了數學創(chuàng)造的艱辛歷程，并積累了豐富的數學素養(yǎng).

三、數學分析課程探究教學的反思與建議

1.創(chuàng)設合理有效的問題情境，為學生營造良好的數學思維氛圍.合理有效地創(chuàng)設問題情境，能夠激發(fā)學生的學習積極性和主動性，讓學生在解決問題的過程中學會思考，因此，數學分析課程教學應盡可能開展“情景—問題”探究式教學活動，教師通過設置一些能夠與學生認知產生沖突的情境問題，將學生置身于探究未知問題的氣氛中，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，從而形成學生積極思考的良好課堂氛圍.

2.開展探究教學活動要以教材為核心，做到循序漸進，問題解決方案多元化.數學分析課程教學由于學習內容比較抽象，學時又有限，所以在開展探究式教學活動中，教師要以教材為核心，重點突出基本概念與定理，并且教學過程中所設置的問題要適中，難度有層次性，能夠形成問題鏈.問題提出循序漸進，能夠體現思維水平由低到高的發(fā)展過程，此外，探究問題的解決方案盡可能多元化，學生在思考問題時可以從多角度、多方向、多途徑尋找切入點，提出多種新穎的見解，進而促進學生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

3.引導學生多回顧與反思，形成新的認知水平.回顧與反思有利于學生養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習慣，有利于發(fā)現數學問題及其解答的來龍去脈，有利于發(fā)現數學問題，方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于發(fā)現許多相關結果中的交匯點.[9]因此，教師在教學過程中，要多鼓勵學生進行反思，多聯(lián)系知識點之間的關系，通過反思與總結去改編，引申或者推廣已有的問題和結論，進而產生新的問題，形成新的認知結構.

參考文獻：

[1]寧連華.數學探究教學設計研究[J].數學教育學報，2006，15（4）：39-51.

[2]曾小平，汪秉彝，呂傳漢.數學“情境—問題”教學對數學探究學習的思考[J].數學教育學報，2009，18（1）：82-87.

[3]郭宗雨.在高中數學課堂中開展自主合作探究教學的實踐研究[J].數學教育學報，2012，21（5）：41-44.

[4]徐章韜，梅全雄.論基于課堂教學的數學探究性學習[J].數學教育學報，2013，22（6）：1-4.

[5]張楚廷.數學教育心理學[M].北京：警官教育出版社，1998.

[6]曹才翰.中學數學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，1990.

[7]王光明，楊蕊.數學學習中的“懂而不會”現象[J].中學數學教學參考，2012，（10）.

[8]波利亞.數學與猜想[M].李心燦，譯.北京：科學出版社，1985.

[9]徐彥輝.數學解題后的“回顧與反思”與數學問題的提出——探究一種通過“回顧與反思”來提出數學問題的模式與方法[J].數學教育學報，2015，24（1）：9-12.