有限元法在納米光子學中的應用研究

孫東慧,李坤,朱蘭,孔巖,陳志科

(電子科技大學,四川 成都 611731)

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有限元法在納米光子學中的應用研究

孫東慧,李坤,朱蘭,孔巖,陳志科

(電子科技大學,四川 成都 611731)

尋求快速且高效求解偏微分方程的方法對科學未來的發展起來很大的作用。而作為新興起來的納米光子學，從被提出就一直廣受關注。怎么去求解涉及納米光子學的模型，也一直備受關注。本文主要研究是用有限元求解納米光子學中的德魯德模型，用數值實驗進行模擬，求解散射體在納米級的現象。

有限元；納米光子學；德魯德模型

To find a fast and efficient method to solve partial differential equations has a great effect on the development of Science in the future.As a burgeoning nano photonics,was put forward has been widely concerned.How to solve the nano photonics model,has attracted much attention.This paper is using the finite element method to solve Drude model in nano photonics,Numerical experiments are used to simulate,Finding the phenomenon of dissolution of the emitter at the nanometer level.

1　引言

納米光子學，被定義為納米技術和光子學的融合學科，是一個新興的前沿學科。它為基礎研究提供了挑戰，也為新技術提供了機遇。納米光子學在市場上已經取得了一定的影響。它是一個多學科交叉的研究領域，為物理學，化學，應用科學，工程學和生物學，以及生物醫學技術創造了機遇。

納米光子學(Nanophotonics)研究光在納米范疇內的行為。它是處理光或光和粒子，物質相互作用光工程的一個亞波長分支。作為納米光學的重要部分，等離子體探索了電磁學在小于波長的維度上的定義。納米光學領域的技術包括近場(near-field)掃描光學顯微鏡，光助隧道掃描顯微鏡和表面等離激元(Plasmon)光學。納米光學有二方面的研究：第一，在納米范圍研究光的性質；第二，為工程應用提高能量效率。

在等離子領域，亞波長的金屬被用來散射光，模擬非局部等離子性質已經成為了一項標準，甚至對于復雜的幾何體，這些都歸功于先進的數值方法和專用的軟件技術。

有限元法(finite element method)是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化后，可以編制程序，使用計算機輔助求解。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中(這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系)。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。

電傳導的德魯德模型在1900年由保羅·德魯德提出，以解釋電子在物質(特別是金屬)中的輸運性質。這個模型是分子運動論的一個應用，假設了電子在固體中的微觀表現可以用經典的方法處理，很像一個釘球機，其中電子不斷在較重的、相對固定的正離子之間來回反彈。用德魯德模型可以計算超導材料石墨烯的介電常數和電導率以及計算均勻外磁場中的交流電導率等。所以對德魯德模型的研究有很大的現實意義。

2　德魯德模型

2.1局部問題德魯德模型公式

方程第二個式子為一階吸收邊界條件。

對方程進行弱變分，設電場所在的空間為the sobolev space

設測試函數Φ∈v=H(curl,Ω)

5）適時冬剪。及時收聽天氣預報，根據氣候變化適當調整冬剪時間，建議在12月下旬至次年1月上中旬修剪；結果母枝選留時切忌選用徒長枝、基部直徑大于1.5 cm的發育不充分枝；可適當增加15%～20%的留枝量，避免由于部分枝蔓芽體受凍，影響萌芽率和花芽分化質量。

方程(1)式乘以試探函數得

(3)

利用矢量第一格林公式，(3)式變為

(4)

進一步化簡：

(5)

再利用(6)式

則有：

(7)

2.2離散

對公式(7)進行離散：

根據有限元理論，在每個剖分小區域上Ee,φe∈ve=H(curl,Ω)

(8)

將(7)式化為直角坐標形式

(9)

將(8)式代入(9)式則有:

整理成矩陣形式得：

其中i,j=1,2,3…N

3　數值實驗

這一部分，我們即將呈現一些關于德魯德模型的數值結果，有限元方法的數值實驗已經用MATLAB代碼實現出來。

3.1真空中平面波的傳播

我們首先考慮關于平面波在真空中傳播的模型，選擇的區域為圓域，一階吸收邊界條件強加在邊界上面，參數ε1=ε2=1：網格剖分呈現在圖(1)。

圖(1)

數值結果：

接下來分別展示兩個區域都為真空狀態電場虛部分布圖如圖(2)，電場實部分布圖如圖(3)，電場分布圖如圖(4)

圖(2)

圖(3)

圖(4)

3.2平面波的散射問題

數值結果：

接下來我們展示的是在里面區域是散射體的情況下，磁場與電場的分布情況。

圖(5)

圖(6)

圖(7)

4　結論

在這篇論文中，我們用有限元方法求解納米光子學的德魯德模型，并用數值實驗驗證了平面波在真空中的傳播及平面波的散射問題。在不久的將來，我們將利用HDG與FEM耦合的方法求解上述問題。

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國家自然基金(數學)；G0501100111301057

孫東慧(1991-)，女，漢族，河南新鄉人，碩士研究生，電子科技大學數學科學學院，研究方向：有限元。

TB115

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1671-1602(2016)18-0024-04