強(qiáng)化分類思想，提高數(shù)學(xué)解題水平

朱海波

【摘 要】 分類思想是初中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)思想，初中生只有學(xué)會(huì)這種思想，才能高效地解答某些數(shù)學(xué)習(xí)題。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)公式分類，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合隱含條件分類，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合復(fù)合條件分類。

【關(guān)鍵詞】 分類思想；數(shù)學(xué)；解題；水平

分類思想，是指在宏觀地看待一個(gè)數(shù)學(xué)問題以后，將解決數(shù)學(xué)問題的方法分類，依次解決數(shù)學(xué)問題的方法。分類思想是初中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)思想，初中生只有學(xué)會(huì)這種思想，才能高效地解答某些數(shù)學(xué)習(xí)題。

一、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)公式分類

在應(yīng)用分類思想解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，有些初中生會(huì)問，哪些數(shù)學(xué)習(xí)題需要應(yīng)用分類思想來解決，哪些習(xí)題不需要應(yīng)用分類思想來解決呢？數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)的角度理解眼前要解決的數(shù)學(xué)問題需要不需要分類。

以初中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生做習(xí)題1為例：如果|m-n|=n-m，并且|m|=4，|n|=3，那么求出（m+n）=（m+n）2的數(shù)值。這一道數(shù)學(xué)習(xí)題是解絕對(duì)值的習(xí)題，絕對(duì)值問題的性質(zhì)本身就存在分類的概念。絕對(duì)值存在正值、負(fù)值、零的問題。學(xué)生在解決絕對(duì)值問題時(shí)，尤其不能忽略絕對(duì)值可能為零的問題，否則可能出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。現(xiàn)解答習(xí)題1：由于|m|=4，并且|n|=3，因此m=±4，n=±3，結(jié)合條件|m-n|=n-m，于是可得n-m ≥0，n≥m。將條件代入不等式中，即n=3時(shí)，m 的取值為-4，（m+n）2的數(shù)值為1；而當(dāng)n=-3時(shí)，m的取值為-4，（m+n）2的數(shù)值為49。于是可得（m+n）2的數(shù)值為1或49。在數(shù)學(xué)問題中，平面幾何問題也存在分類的概念，比如平面幾何問題可以分為四邊形問題、三角形問題、圓形問題等，每一類問題中又包含有數(shù)個(gè)問題。幾何問題可以用分類問題來討論，概念問題也存在分類討論的問題……。數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生了解分類思想是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的思想，學(xué)生要學(xué)會(huì)給數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式應(yīng)用分類思想解決各種數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中，可能會(huì)遇到一些需要應(yīng)用到數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式的問題，此時(shí)學(xué)生可應(yīng)用分類思想解決這些數(shù)學(xué)問題，在這一環(huán)節(jié)里，學(xué)生需要關(guān)注的是是否漏掉了某些數(shù)學(xué)分類。如果學(xué)生深入了理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式，便能應(yīng)用分類思想解決該類數(shù)學(xué)問題。

二、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合隱含條件分類

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，有些問題的分類條件是隱含的，需要學(xué)生自己去尋找出來的。教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思路來看待這些數(shù)學(xué)問題，正確的對(duì)數(shù)學(xué)問題分類。

以初中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)題2為例：⊙O是等邊△ABC的外接圓，其中D是BC上異于B和C的一點(diǎn)。問題1：在CD的延長線上的延長線上取點(diǎn)E，令DE=BD，求證△BDE是等邊三角形；問題2：BD的度數(shù)比為1∶3，⊙O的半徑為1，取點(diǎn)F，使△DCF為等腰鈍角三角形，求DF的取值范圍。參看這一題的問題2，如果學(xué)生能夠發(fā)揮空間想象力，便能了解F有三種取值方法，這三種取值方法的描述如圖1、圖2、圖3，只要學(xué)生的空間想象力不足，就會(huì)漏掉解題的條件。習(xí)題2的取值條件與數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式有關(guān)，然而卻并非包含在數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式里，學(xué)生必須依靠自己的想象力挖掘隱藏的取值范圍，找到完整的解題思路。數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類思想解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生了解到有些數(shù)學(xué)問題的分類方法不是顯而易見的，如果學(xué)生發(fā)散能力不足，可能就會(huì)忽略掉隱藏的解題條件。為了避免解題時(shí)出現(xiàn)這種問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生在遇到較難的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)會(huì)用數(shù)形的方法輔助思想，圖形的直觀性比較強(qiáng)，學(xué)生可借助幾何圖形、座標(biāo)圖形發(fā)揮想象力，挖掘習(xí)題中隱藏的數(shù)學(xué)條件。

學(xué)生如果僅僅應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式，可能還不能解決部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的分類問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生用另一種角度思考數(shù)學(xué)問題：嘗試應(yīng)用豐富的想象力找到數(shù)學(xué)問題的分類，再應(yīng)用分類思想解決數(shù)學(xué)問題。

三、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合復(fù)合條件分類

部分?jǐn)?shù)學(xué)問題不能應(yīng)用一種分類思想分類，它可能存在多種分類的思路，這時(shí)數(shù)學(xué)問題的分類就顯得比較繁鎖。為了幫助學(xué)生找到分類的要點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生用抽象的復(fù)合條件看待數(shù)學(xué)分類的問題。找到分類的切入點(diǎn)。

以數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生做習(xí)題2為例：已知拋物線y=x2+x+m與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y相交于C點(diǎn)，求△ABC 可能出現(xiàn)的分類。這一題的分類問題由三個(gè)因素決定，第一個(gè)因素為拋物線的因素，第二個(gè)因素為直線的因素，第三個(gè)因素為座標(biāo)軸的因素。學(xué)生只有全面的考慮這三個(gè)問題，才能準(zhǔn)確地抓住這個(gè)數(shù)學(xué)問題的分類要點(diǎn)。數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生解決這類數(shù)學(xué)問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生用集合的思路來思考數(shù)學(xué)問題的分類。即將第一個(gè)因素和第二個(gè)因素視為兩個(gè)集合，從中找到分類問題的交集。然后該交集形成一個(gè)新的集合，結(jié)合該集合與第三個(gè)因素集合進(jìn)行判斷，再次得到集合。該集合就是數(shù)學(xué)分類問題的分類條件。應(yīng)用該思路，可找到習(xí)題3的解題思路，描述如圖4與圖5。初中生在遇到數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)涉及到數(shù)學(xué)問題的分類因素比較多。教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合與排除的思路找到數(shù)學(xué)問題分類的條件。

學(xué)生在遇到復(fù)合數(shù)學(xué)問題分類因素時(shí)，要應(yīng)用抽象的思路來考慮數(shù)學(xué)分類的問題，此時(shí)學(xué)生首先要用抽象的思路找到影響數(shù)學(xué)問題分類的因素，然后結(jié)合多種因素繪制出幾何圖形及排出流程圖來找到數(shù)學(xué)問題分類的關(guān)鍵。當(dāng)學(xué)生找到數(shù)學(xué)分類的關(guān)鍵時(shí)，可通過畫圖來驗(yàn)證自己的分類思路是否具有可行性。

分類思想是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要思想，初中學(xué)生如果學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)分類思想，就能把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變?yōu)閹最惡唵蔚臄?shù)學(xué)問題，化簡解題的過程。然而學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何應(yīng)用分類思想呢？本次研究說明了分類思想應(yīng)用的方法，數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握本次研究所述的數(shù)學(xué)分類技巧，這些數(shù)學(xué)分類技巧會(huì)成為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的有力武器。

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