在多項式空間中full spark框架的構造

王莉莉，楊守志

（汕頭大學數學系，廣東汕頭515063）

在多項式空間中full spark框架的構造

王莉莉，楊守志

（汕頭大學數學系，廣東汕頭515063）

Hilbert空間中的full spark框架在框架理論中具有很好的性質—最大魯棒性.本文所做的一個重要工作是將序列空間中的full spark框架推廣到了函數空間中，先后構造出了一元n次多項式空間Hn（x）及m元n次多項式空間Hn（x1，x2，…，xm）空間中的full spark框架，并舉出了一些實例.

框架；full spark框架；多項式空間

0　引言

1952年，Duffin R J和Schaeffer A C[1]在抽象Gaber D[2]有關信號分解的方法后，定義了Hilbert空間中的框架的概念.直至1986年，框架理論才被Daubechies I和Grossmann A[3]等人重視起來.現如今，對框架理論的研究已非常廣泛，涉及數學[4-6]、物理[7-8]、生物[9]、通信[10]、結構工程[11]等眾多領域.

Hilbert空間中的full spark框架是由Alexeev B和Cahill J等[12]人在研究有限框架理論的應用時引入的，它具有很好的性質——最大魯棒性.近年來，越來越多的學者投入到了對full spark框架的研究中.目前，full spark框架中仍有許多問題未被研究，尤其是還未發現有人將full spark框架理論推廣到連續的函數空間上.本文的工作重點是將離散點列空間中的full spark框架理論推廣到連續函數空間，構造一元連續函數空間中的full spark框架，并將這種構造方法推廣到多元連續函數空間.

1　預備知識

令Hn（x）為一元n次實多項式空間f=a0+a1x+…+anxn（其中ai∈R），則Hn（x）空間中的內積定義為：

在此內積定義下，Hn（x）空間中的正交基是存在的.例如｛在上述內積定義下為H1（x）空間中的一組標準正交基.｛1，x，x2，…，xn｝在上述內積定義下為Hn（x）空間中的一組正交基.

定義1.1令Hn為n次多項式空間，｛fi｝i∈N為Hn空間中的一個函數序列，如果存在0＜A≤B＜∞，使得

則稱｛fi｝i∈N為Hn中的一個框架，其中A、B分別稱為｛fi｝i∈N的框架下界與框架上界.

定義1.2令｛Pi｝i∈N為多項式空間Hn中的一個具有界A與B的框架，如果｛Pi｝i∈N滿足以下任意一條：

（1）從｛Pi｝i∈N中任取n+1個元素所組成的集合構成Hn的一個框架.

（2）從｛Pi｝i∈N中任取n+1個元素都能張成Hn空間.

（3）從｛Pi｝i∈N中任取n+1個元素都是線性無關的.

那么，稱｛Pi｝i∈N是多項式空間Hn中的一個具有界A與界B的full spark框架.

問題：定義1.2中所描述的多項式空間Hn中的full spark框架是否存在？

答案是肯定的.在第2小節中，定理2.1.1給出了一類一元多項式空間中full spark框架的構造方法，推論2.1.3給出了一系列一元多項式空間中full spark框架的構造方法，定理2.2.1與推論2.2.2是一元多項式空間的推廣形式.

注：本文所考慮的常數均為實數R，若常數為復數C時也有同樣的結論.

2　多項式空間中的full spark框架

2.1一元多項式空間中的full spark框架

在連續的一元多項式空間中構造full spark框架.

定理2.1.1設Hn（x）為一元n次多項式空間，若對?i≠j有xi≠xj，那么：｛Pi（x）｝i∈N=｛（x-xi）n｝i∈N（xi∈R）構成Hn（x）空間中的一個full spark框架.

證明：要證明｛P0（x），P1（x），…，Pn（x），…｝=｛（x-x0）n，（x-x1）n，…，（x-xn）n，…｝為Hn（x）空間中的一個full spark框架，只需證明，在一元n次多項式集合｛（x-x0）n，（x-x1）n，…，（x-xn）n，…｝中任取n+1個元素（x-xi0）n，（x-xi1）n，…，（x-xin）n是線性無關的即可.

設k0（x-xi0）n+k1（x-xi1）n+…+kn（x-xin）n=0

則有

上述方程組未知量的個數與方程個數相同，且由范德蒙德行列式知，其系數行列式為

故有k0=k1=…=kn=0，從而（x-xi0）n，（x-xi1）n，…，（x-xin）n（對?ik∈N，xik∈R且對?ik≠im，xik≠xim）是線性無關的.

即得證.

例2.1.2｛（x-1），（x-2），…，（x-n），…｝構成H1空間中的一個full spark框架.

｛（x-1）2，（x-2）2，…，（x-n）2，…｝構成H2空間中的一個full spark框架.

證明：span｛（x-i），（x-j）｝=H1（對?i≠j）顯然成立.

在集合｛（x-1）2，（x-2）2，…，（x-n）2，…｝中任取三個元素，不妨設為（x-p）2，（x-q）2，（x-r）2.

令k1（x-p）2+k2（x-q）2+k3（x-r）2=0，分別取x=p，q，r，得到：

解得k1=k2=k3=0，從而（x-p）2，（x-q）2，（x-r）2線性無關，這也就證明了｛（x-1）2，（x-2）2，…，（x-n）2，…｝是H2空間中的一個full spark框架.

接下來，構造一元多項式空間Hn中具有類似形式的一系列full spark框架.

推論2.1.3設Hn（x）為一元n次多項式空間，若對?i，j∈N，i≠i時xi＜xj，則有

中的任意一組，即?i∈｛0，1，…n｝，都有

xi∈R）為Hn（x）空間中的一個full spark框架.

例2.1.4｛（x-1）（x-2），（x-2）（x-3），…，（x-n）（x-n-1），…｝構成H2（x）空間中的一個full spark框架.

證明：設（x-i）（x-j），（x-m）（x-n），（x-u）（x-v）（其中i＜j＜m＜n＜u＜v）為集合｛（x-1）（x-2），（x-2）（x-3），…，（x-n）（x-n-1），…｝中任取的三個元素.

令

分別取x=i，m，u，得k1，k2，k3的系數行列式為：

于是k1=k2=k3=0，從而（x-i）（x-j），（x-m）（x-n），（x-u）（x-v）線性無關.

這也就證明了｛（x-1）（x-2），（x-2）（x-3），…，（x-n）（x-n-1），…｝構成H2（x）空間中的一個full spark框架.

2.2多元多項式空間中的full spark框架

作為一元多項式空間中full spark框架的推廣，接下來將構造多元多項式空間中的full spark框架.

令Hn（x1，x2，…，xm）為m元n次實多項式空（其中ai∈R，對每一個i∈｛1，2，…，s｝，j∈｛1，2，…，n｝，kij為非負整數，且有ki1+ki2+…+kin≤n），給出Hn（x1，x2，…，xm）空間中的內積：

如果，

那么，

定理2.2.1設Hn（x1，x2，…，xm）為m元n次多項式空間，若對?i≠j，ai≠aj則：

證明：在m元n次多項式集合｛P0（x1，x2，…，xm），…，Pn（x1，x2，…，xm），…｝=（對?i∈N，ai∈R，且對?p≠q，ap≠aq）中任取n+1個元素，不妨設為：（對?ik∈N，aik∈R，且對?ip≠iq，aip≠aiq）.

令：

通過推導，可得到未知量k0，k1，…，kn的系數行列式是一個范德蒙德行列式，即有：

于是得到k0=k1=…=kn=0，從而證得

是線性無關的，定理成立.

多元多項式空間中的full spark框架構造方法并不唯一，下面將給出多元多項式空間中full spark框架的其他構造方法.

推論2.2.2設Hn（x1，x2，…，xm）為m元n次多項式空間，若對?i，j∈R，i＜j時，有ai＜aj，則：

中的任意一組，即?i∈｛0，1，…n｝，都有

[1]DUFFINR J，SCHAEFFER AC.Aclass ofnonharmonic Fourier series[J].Trans Amer Math Soc，1952，72（2）：341-366.

[2]GABOR G.Theory ofcommunications[J].Jour Inst Elec Eng，1946，93：429-457.

[3]DAUBECHIES I，GROSSMANN A，MEYER Y.Painless nonorthogonal expansions[J].J Math Phys，1986，27（5）：1271-1283.

[4]CHRISTENSEN O.Frames and pseudo-inverses[J].J Math Anal Appl，1995，195（2）：401-414.

[5]CASAZZA P G，MIXON D G.Auto-tuning unit norm frames[J].Appl Comput Harmon Anal，2012，32（1）：1-15.

[6]CHRISTENSEN O.From dual pairs of Gabor frames to dual pairs of wavelet frames and vice versa[J].Appl Comput Harmon Anal，2014，36（2）：198-214.

[7]RAMZAN M.Divergence of fermionic correlations under non-Markovian noise in a non-intertial frame[J]. Physica A，2013，392（20）：5248-5254.

[8]DING D X.Generalized continuous frames constructed by using an iterated function system[J].Journal of Geometry and Physics，2011，61（6）：1045-1050.

[9]SETHURAMAN J，RUDSKI S M.Evolutionary dynamics of introns and their open reading frames in the U7 region of the mitochondrial rn1 gene in species of Ceratocystis[J].Fungal Biology，2013，117（11/12）：791-806.

[10]STROHMER T，HEATH JR R.Grassmainn frames with applications to coding and communications[J]. Appl Comput Harmon Anal，2003，14（3）：257-275.

[11]ZHANGDY，JOHNSONE A.Substructure identification for plane frame buildingstructures[J].Engineering Structures，2014，60：276-286.

[12]ALEXEEV B，CAHILL J，MIXON D J.Full spark frames[J].J Fourier Anal Appl，2012，18（6）：1167-1194.

Construct of Full Spark Frame in Polynomial Space

WANG Lili,YANG Shouzhi
（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,GuangdongChina）

Full spark frame in Hilbert space has a greater property than other frames--the maximum robustness.In this paper,the most important work is to extent the full spark frame in the sequence space to the function space.The full spark frame is constructed in Hn（x）and Hn（x1，x2，…，xm）and some examples are qiven.

frame;full spark frame;polynomial space

O 151.2

A

1001-4217（2016）01-0007-06

2015-03-24

王莉莉（1991—），女，山東平度人，在讀碩士研究生.研究方向：小波分析及其應用. E-mail：675139090@qq.com