基于帶諧重力場的測高衛星軌道設計

高　凡　彭碧波　鐘　敏　許厚澤

1　中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢市徐東大街340號，430077 2　中國科學院大學，北京市玉泉路甲19號，100049

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基于帶諧重力場的測高衛星軌道設計

高凡1,2彭碧波1鐘敏1許厚澤1

1中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢市徐東大街340號，430077 2中國科學院大學，北京市玉泉路甲19號，100049

推導了一組測高衛星軌道設計的理論公式，介紹了相關方法，并編寫了一套軟件。分別以激光測高衛星ICESat和雷達測高衛星HY-2A為例，基于31階地球帶諧重力場，給出了其平均軌道參數與密切軌道參數。軌道模擬顯示，衛星經過各自的回歸周期之后，其星下點均能精確回到初始位置，并且長半軸、軌道傾角、偏心率和近地點幅角均沒有發生長期和長周期的變化，符合參考軌道要求。

測高衛星；重復地面軌跡；凍結軌道；HY-2A

衛星測高是一種先進的衛星大地測量手段，主要分為雷達測高和激光測高2種模式。在雷達模式下，其觀測直徑為1.2～6 km[1]，而對于激光模式，其地表光斑的直徑僅為大約70 m[2]。它們的星下點需要按所設計的軌跡周期性運動，因此，嚴格重復地面軌跡軌道在測高衛星軌道設計中顯得尤為重要。另外，為了維持該模式，衛星在軌運行中長半軸、偏心率、軌道傾角和近地點幅角這4個軌道根數不能發生長期與長周期的變化。

針對不同的衛星任務，國際上一些學者對此問題作了深入研究。1990年，美國宇航局(NASA)的Carl[3]針對GeoSat衛星的嚴格重復地面軌跡模式，基于地球重力場J2項，提出計算衛星軌道平均長半軸的方法。1995年，德克薩斯大學空間研究中心(CSR)的Samsung[4]基于31階地球重力場，系統地對NASA地球科學部的激光測高衛星系統(GLAS)的軌道進行了設計、模擬與分析。1997年，西班牙薩拉戈薩大學的Antonio等[5]提出直接在地固系下求出周期運行軌道的方法。1999年，西班牙皇家天文臺的Martin[6]在Antonio基礎上，基于較高階的帶諧重力場給出了計算重復地面軌跡軌道模式下的方法。2008年，Martin[7]給出基于高階重力場的一種快速設計重復地面軌跡軌道的方法，并對Topex/Poseidon衛星127圈/10 d模式下的軌道進行分析。 2008年，CSR的Nadege[8]對NASA的ICESat衛星在3種嚴密重復地面軌跡模式下的地面軌跡子周期、軌道機動以及交叉點進行了非常詳細的描述與分析。以上工作主要是來自美國的NASA與法國的CNES[9]，其目的是在滿足工程需求的同時，減少軌道機動次數，節省燃料，延長衛星壽命。我國第一顆測高衛星——HY-2A作為一顆試驗衛星已經成功在軌運行[10,11]，鑒于我國未來還有更多的測高衛星任務[12-14]，積極開展此類衛星的軌道設計研究具有較大的工程價值。

本文首先依據重復地面軌跡軌道與凍結軌道的特征，利用拉格朗日行星方程分析平均帶諧重力場對各軌道根數的攝動，優化平均軌道元素確定的公式，使之便于程序計算。然后，分別對短周期項中的一階項與余項進行修正，并以ICESat與HY-2A為例給出31階帶諧重力場下符合條件的平均軌道元素和密切軌道元素。

1　重復地面軌跡軌道與凍結軌道的特征

所謂重復地面軌跡軌道是指：在慣性系下，衛星圍繞地球運動了N圈，在地固系下，衛星的升交點軸(不連續的)旋轉了D圈之后，兩者正好重復通過地球上固定的同一子午面，其中N和D是兩個互質的正整數。

為了使軌道維持上述重復地面軌跡軌道模式，要求衛星在軌運行中，其長半軸、偏心率、軌道傾角和近地點幅角均不產生長期和長周期的變化。

2　平均軌道根數的確定

衛星在軌運行時，重力場是最主要的攝動源，其對軌道根數的攝動分為長期項、長周期項和短周期項[12-13]。只考慮長期項和長周期項影響而得到的軌道根數，稱為平均軌道根數。本節首先介紹分離長期項和長周期項的方法，并推導出經正則化的平均帶諧重力場表達式，以便于程序計算。其次，利用拉格朗日行星方程，給出平均帶諧重力場對各個軌道根數攝動的表達式。最后，提出一種較為簡潔的確定平均長半軸的方法，并介紹確定平均偏心率的方法。

2.1平均帶諧重力場對各軌道根數的攝動分析

平均帶諧重力場的表達式如下：

(1)

將式(1)代入拉格朗日行星方程[15]可得：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2.2平均軌道根數的確定

圖1　凍結偏心率的確定(a=6 971 519.180,i=94)Fig.1　The determination of frozen eccentricity (a=6 971 519.180,i=94)

根據重復地面軌跡軌道的特性有：

(8)

(9)

(10)

式(10)兩邊都包含有a，其初值取：

(11)

表1　ICESat和HY-2A的平均軌道根數

表中的D、N和i等相關信息來自文獻[2]和文獻[17]。

3　密切軌道根數的確定

§2.2中得到的平均軌道根數，需要經過短周期項修正轉化成密切軌道元素，才能產生實際應用價值。本節將介紹修正短周期項的方法。

3.1修正短周期攝動項中一階項的影響

密切軌道根數與平均軌道根數的關系如下：

(12)

(13)

利用拉格朗日行星方程，可以求出q*中的各個分量[4]。

表2給出了ICESat經一階短周期項改正的初始軌道和由該初始軌道在31×0的GGM03帶諧重力場下經8階Guass-Jackson積分器積分[18]得到的最終軌道。

表2　ICESat的平均軌道根數+短周期項一階項

表2中的B和L分別表示衛星的大地緯度與大地經度。從這兩項可以看出，加上一階短周期攝動項之后，地面軌跡并不能閉合，在地面上緯度方向和經度方向分別會產生大約-122 332 m 和-14 297 m的距離之差。

3.2修正其他短周期項的影響

從表2可以看出，始末軌道根數之間的差別主要是在近地點幅角ω與真近點角f 上。為了消除這一差別，需要繼續調整初始軌道元素，使之滿足下列方程：

(14)

(15)

式中,ω(q0,tf)、f(q0,tf)是在31×0 GGM03帶諧重力場下由8階Gauss-Jackson 積分器得出，ω0為初始的近地點幅角，f0為初始的真近點角。對于式(14)和式(15)，只有兩個方程但是有7個未知數，在此只選擇調整a和e，那么有：

f(a0,e0,tf)-f0=0

式中，a 的單位取地球赤道平均半徑為1。

(16)

式中，δa0、δe0可分別取值為1 m與1×10-6，ff為f(a0,e0,tf)，ωf為ω(a0,e0,tf)，式(16)中偏導數的計算方法參見文獻[4]。

表3顯示，兩顆衛星經過特定時間都能精確地回到初始位置，并且初始軌道根數與最終軌道根數之差很小。

圖2～5分別給出了HY-2A在193圈/14 d模式下，采樣率為60 s時密切軌道根數中的長半軸、軌道傾角、偏心率和近地點幅角隨時間變化的情況，白線為其平均軌道元素值。圖2、圖3顯示長半軸和軌道傾角都在其平均軌道根數附近小范圍均勻變化，圖4、圖5顯示偏心率和近地點幅角都集中在其平均軌道元素附近變化。以上結果表明，圖中各個軌道根數均沒有產生長期和長周期的變化，符合凍結軌道要求。

表3　ICESat與HY-2A的密切軌道元素

圖2　長半軸隨時間變化情況Fig.2　Semi-major history of HY-2A

圖3　軌道傾角隨時間變化情況Fig.3　Inclination history of HY-2A

圖4　偏心率隨時間變化情況Fig.4　Eccentricity history of HY-2A

圖5　近地點幅角隨時間變化情況Fig.5　Argument of perigee history of HY-2A

4　結　語

測高衛星的軌道設計需要滿足兩個條件：嚴密重復地面軌跡軌道和凍結軌道。圍繞這個問題，本文系統介紹了基于帶諧重力場的測高衛星軌道設計的方法與步驟，并以激光測高衛星ICESat和雷達測高衛星HY-2A為例對各個步驟作詳細說明。

本文主要完成了以下工作：1)推導出經正則化的平均帶諧重力場表達式，并利用拉格朗日行星方程，給出平均帶諧重力場對各個軌道根數攝動的表達式；2)介紹了確定平均偏心率的方法，并提出一種能滿足重復地面軌跡軌道的條件和確定平均長半軸的簡潔方法；3)介紹了修正短周期項攝動的方法，并確定了密切軌道參數；4)在GGM03中的帶諧重力場下，利用Gauss-Jackson積分器，通過軌道模擬驗證了所求得密切軌道符合嚴密重復地面軌跡軌道和凍結軌道的要求。結果表明，本文的算法以及自主編寫的軟件精確可靠，具有一定的理論價值和較大的工程應用價值。

下一步的工作是將更多的攝動因素納入到軌道設計的范圍，如田諧重力場、日月引力、大氣阻力和太陽光壓等，以及針對未來的衛星任務，積極開展更為細致的工作，如對更長回歸周期的軌道進行設計，對其地面軌跡的子周期進行分析等。

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About the first author:GAO Fan, PhD candidate,majors in orbit design and precise orbit determination, E-mail: gaofan02006@126.com.

Altimetry Satellite Orbit Design Based on Zonal Geopotential

GAOFan1,2PENGBibo1ZHONGMin1XUHouze1

1State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics, Institute of Geodesy and Geophysics, CAS,340 Xudong Street, Wuhan 430077,China 2University of Chinese Academy of Sciences, A19 Yuquan Road, Beijing 100049,China

The orbits of altimetry satellites should be repeat groundtrack and frozen. We derive an algorithm of the orbit design based on zonal geopotential field and develop the software by ourselves. This paper takes ICESat and HY-2A as examples, computing their mean orbit elements and osculation orbit elements. The orbit generation results show that the satellites can get a nice closure after a full cycle and there is no secular and long period change for the semi-major, eccentricity, inclination and the argument of perigee. The orbit can meet the requirement of altimetry satellites and can be taken as a reference orbit.

altimetry satellite; repeat groundtrack; frozen orbit; HY-2A

National Natural Science Foundation of China, No. 41131067.

2015-09-30

高凡，博士生，主要從事衛星軌道設計與精密定軌研究，E-mail: gaofan02006@126.com。

10.14075/j.jgg.2016.10.004

1671-5942(2016)010-0859-05

P228

A

項目來源：國家自然科學基金(41131067)。