三角形解題中的數(shù)學(xué)思想方法

□方震軍

三角形解題中的數(shù)學(xué)思想方法

□方震軍

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的金鑰匙，在解決三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常用到如下數(shù)學(xué)思想方法：

一、列舉法

例1已知等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是7和3，則下列四個(gè)數(shù)中，能成為第三條邊長(zhǎng)的是（）.

A.8 B.7 C.4 D.3

解析：方法1：先列舉出所有可能情況：將選擇支中的數(shù)據(jù)分別與已知條件組成三條線段，在7、3、8，7、3、7，7、3、4，7、3、3四個(gè)組合中，7、3、8和7、3、4中沒(méi)有相等的邊，不是等腰三角形；而在7、3、3中，由于3+3＜7，不能構(gòu)成三角形；只有7、3、7能構(gòu)成等腰三角形，選B.

方法2：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x cm，則由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，有7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，對(duì)照選擇支，可知A、B在這個(gè)范圍中，但7、3、8不能構(gòu)成等腰三角形，所以選B.

二、方程思想

例2如圖1，一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為（）.

A.13 B.14

C.15 D.16

圖1

解析：按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，多出了一條邊，據(jù)此利用多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解.設(shè)原多邊形的邊數(shù)為x，則新多邊形的邊數(shù)為（x+1），根據(jù)題意列出方程（x+1-2）·180=2340，解得x= 14.故選B.

三、轉(zhuǎn)化思想

例3如圖2，一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90°，∠B= 45°，∠E=30°，則∠BFD的度數(shù)是（）.

A.15°B.25°

C.30°D.10°

圖2

分析：通過(guò)三角形內(nèi)角和或外角的性質(zhì)把要求的角轉(zhuǎn)化為已知角的和或差.

解：由題意知∠EDC=60°，又知∠B=45°，所以∠BFD=∠EDC-∠B=60°-45°=15°，故選A.

四、夾逼思想

例4一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于它的外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）.

A.3 B.4 C.5 D.6

分析：直接套用內(nèi)角和公式列出不等式，利用夾逼思想求出其正整數(shù)解即可.

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，

則有（n-2）·180°＜360°，

解得n＜4.

又∵n為正整數(shù)，且n≥3，

∴n=3.故選A.

五、分類(lèi)思想

例5等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)______.

分析：需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù).

解：在三角形ABC中，設(shè)AB= AC，BD⊥AC于D.

①如圖3，若三角形是銳角三角形，∠A=90°-36°=54°，底角=（180°-54°）÷2=63°；

圖3

②如圖4，若三角形是鈍角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此時(shí)底角=（180°-126°）÷2=27°.

圖4

所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°.