排列組合問題的解題技巧與策略

周玉梅

解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列（有序）還是組合（無序），還是排列與組合混合問題.其次，抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原則進行分類與分步.加法原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足類與類必須互斥（不相容），總類必須完備（不遺漏）；乘法原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續性.分類與分步是解決排列組合問題的最基本思想策略.本文就排列組合問題的常用解題技巧與策略，做一例釋.

一、特殊元素的優先安排法

對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排.操作時，針對實際問題，有時“元素優先”，有時“位置優先”.

例1.用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（ ）

二、相鄰問題的捆綁法

對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看做一個元素再與其他元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排.

例2.2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（ ）

A.60 B.48 C.42 D.36

解：從3名女生中任取2人“捆”在一起記做A，（A共有6種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記做甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端.則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求），此時共有6×2=12種排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以共有12×4=48種不同排法.

三、不相鄰問題的插空法

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可.

例3：馬路上有編號為1、2、3…9的9盞路燈，現要關掉其中的三盞，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有幾種？

解：由于問題中有6盞亮3盞暗，又兩端不可暗，故可在6盞亮的5個間隙中插入3個暗的即可，有種.

四、順序固定問題的選位不排法

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起排列，然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數.或先在總位置中選出順序一定元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列.也可先放好順序一定元素，再一一插入其他元素.

例4：5人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？

六、分排問題的直排法

把n個元素排成若干排的問題，若沒其他的特殊要求，可用統一排成一排的方法處理.

例6：7個人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，則有種排法.

解：7個人，可以在前后兩排隨意就座，沒有其他的限制條件，故兩排可以看成一排處理，所以不同的坐法有.

七、允許重復排列的住店法

解決允許重復排列的問題要注意區分兩類元素：一類元素可重復，另一類元素不能重復.把不能重復的元素看著“客”，能重復的元素看著“店”，再利用分步計數原理直接求解的方法稱為“住店法”.

例7：7名學生爭奪五項冠軍，獲得冠軍的可能種數是多少種.

解：因同一學生可同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將7名學生看成7家“店”，五項冠軍看成5名“客”，每個客有7種住宿方法，由分步計數原理得N=八、分配問題的先分堆再排列法

對于不同的元素放入幾個不同的盒內，當有的盒內有不小于2個元素時，不可分批進入，必須先分堆再排入.

例8.將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有？搖？搖 ？搖？搖種（用數字作答）.