原來如此糾“圓”錯

吳曉剛

原來如此糾“圓”錯

吳曉剛

圓中的概念性質、定理公式眾多，且綜合性較強，有別于一般直線形的思維方法，所以同學們在學習這一章時會感覺到困難一些，犯錯的情況也會多一些.本文將幫助同學們對圓有關的知識進行“糾錯”，亦能“究錯”.

一、概念不清難甄別

例1下列說法中，正確的有_______個.

①長度相等的弧叫做等弧；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的弧；③相等的圓心角所對的弧相等；④三角形的內心在三角形內，三角形的外心在三角形外.

【錯解】4.

【剖析】本題考查的是圓的有關概念、性質，需要同學們對其理解透徹，稍有差池即錯，一知半解的同學還認為4個說法都對，實則都似是而非.說法①中的等弧指的是“在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧”，而只是長度相等的弧不一定能夠重合；說法②中，由于直徑也是弦，而任意兩條直徑都互相平分，但不一定互相垂直，也就不一定平分弦所對的弧；說法③必須在同圓或等圓中才成立；說法④中“三角形的內心在三角形內”是正確的，而三角形的外心的位置不一定，銳角三角形的外心在三角形內，直角三角形的外心在三角形的邊上，鈍角三角形的外心才在三角形外，故四個說法全錯.

【正解】0.

二、忽視分類致漏解

【錯解】45.

【剖析】本題沒有圖，很多同學在根據題意畫圖求解時想當然地畫出如圖1的情形，由OB=可得∠BOC=90°，則這種情況的求解是對的，但只考慮了點A在優弧BC上的情況，點A也可能在劣弧BC上，錯解中由于沒有分類討論造成漏解.如圖2，點A在劣弧BC上，優弧BC的度數為270°，則∠A=135°.

圖1

圖2

【正解】45或135.

例3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC= 4.以C為圓心，r為半徑畫圓，當r滿足_________時，⊙C與斜邊AB有一個公共點.

【錯解】r=2.4.

【剖析】由⊙C與斜邊AB有一個公共點，很多同學第一反應就是直線與圓相切，如圖3， CH⊥AB，S△ABC=AB·CH，得CH= 2.4，當r=CH=2.4時，⊙C與AB相切，有一個公共點H.這種情況符合題意，但由于試題要求的“斜邊AB”指的是線段，則還應考慮⊙C與直線AB相交但與線段AB只有一個公共點的情況.如圖4，當r=3時，⊙C與斜邊AB有兩個公共點；當r＞4時，⊙C與斜邊AB沒有公共點；當3＜r≤4時，⊙C與斜邊AB只有一個公共點.

圖3

圖4

【正解】r=2.4或3＜r≤4.

三、思維不暢惱轉化

A.AB＞2CDB.AB=2CD

C.AB＜2CDD.AB、CD的大小無法確定

【錯解】B.

圖5

【剖析】不少同學直接由弧的數量關系猜想出弦的數量關系導致錯解.“等弧”可以得到“等弦”，但“兩倍弧”卻不能得到“兩倍弦”，而是應轉化到“等弧”來解決.如圖5，取的中點E，連接AE、 BE，可得所以AE=BE=CD.在△ABE中，AE+BE＞AB，所以AB＜2CD.

【正解】C.

四、道是無圓苦構造

例5在△ABC中，∠B=45°，AC=2，則△ABC面積的最大值為（）.

【錯解】C.

【剖析】本題沒有圓，好似“無頭無腦”，相當一部分同學就把題目中的三角形“意會”成一個等腰直角三角形，兩條直角邊長為2，得到面積為2的錯解.而當我們構造出以AC為弦，以∠B為弦AC所對的圓周角的圓時，此題就“柳暗花明”了.如何構造這個圓呢？可以取AC的中點H，過H作AC的垂線，在垂線上取一點O，使OH=AH=CH=1，則∠AOC=90°，以O為圓心，OA為半徑作圓，則點B是優弧AC上一動點（與A、 C不重合），此時∠ABC=當B、O、 H三點共線時，△ABC的面積最大，為

【正解】B.

圖6

（作者單位：江蘇省江陰市要塞中學）