生成非Cross簇的最小幺半群

李永康,張文婷

(1.諾瓦東南大學數學、科學與科技系,美國 佛羅里達 33314;2.蘭州大學數學與統計學院,甘肅 蘭州 730000)

一個有限生成的,有限基的且包含有限多個子簇的代數簇稱作Cross簇.由有限群[1]、 有限環[2-3]、有限李代數[4]生成的簇都是Cross簇.但是這一結果對一般代數并不成立,比如3階的交換半群S={1,2,3},其乘法表如下:

S123111121123123

由S生成的半群簇包含無限多個子簇[5],故它是非Cross簇.此外不同構于半群S的所有階數小于等于3的半群都生成Cross半群簇[6].因此,在同構意義下,S是生成非Cross半群簇的最小階數的半群.

半群S同時也是幺半群,而當焦點由半群簇轉移到幺半群簇時情形卻完全不同,因S生成一個僅有3個子簇的Cross幺半群簇,由此可知所有階數小于等于3的幺半群生成的幺半群簇都是Cross簇.在此基礎上,本文將對生成非Cross幺半群簇的幺半群的最小階數是多少進行研究.

定理在同構和反同構的意義下,生成非Cross幺半群簇的最小幺半群僅有一個:5 階幺半群M5={1,2,3,4,5},其乘法表如下:

M512345111111 211123 333333 412345 555555

本文在第3節將證明幺半群M5生成一個非Cross幺半群簇,在第4節證明其他所有小于等于5階的幺半群都生成Cross幺半群簇.從而定理得證.

1 預備知識

對任意的變元集X,記X*為X上的自由幺半群,X*上的元素稱作字.用u≈v表示等式,其中u和v都是字.稱幺半群M滿足等式u≈v,如果對于映射到M的任意替代φ都有φ(u)和φ(v)相等.稱幺半群M滿足等式集Σ,如果M滿足Σ中所有等式.

設U是所有滿足等式集Σ的幺半群組成的類,則稱U為Σ定義的幺半群簇,Σ為U的一個等式基.稱幺半群類U為幺半群簇,如果U是某個等式集定義的幺半群簇.等價地,一個幺半群類U是幺半群簇當且僅當U在同態像、子幺半群和任意直積運算下封閉[7].由一類幺半群生成的簇是包含這個幺半群類的最小簇.

稱一個簇是有限基的,如果它有一個有限的等式基.稱一個簇是有限生成的,如果它可以由一個有限代數生成.一個有限生成的,有限基的且包含有限多個子簇的簇稱作Cross簇.

引理1任意一個Cross簇的所有子簇都是Cross簇.

證明參閱文獻[8]中定理2.1.

關于簇和泛代數的更多信息可以參閱文獻[9].

2 由M5生成的幺半群簇

由M5生成的幺半群簇記作5,由等式集

xhxtx≈xhxt,

(1)

xhytxy≈xhytyx,

(2)

xy2z2x2≈x2y2z2x2

(3)

引理2對任意的n≥0,幺半群簇不滿足等式

pn≈qn,

其中

x0h(x1x0x2x1…xn+1xn)txn+1

和

x0hx1(x1x0x2x1…xn+1xn)txn+1.

證明將等式集(1)～(3)應用到字pn,則得到的字的形式必然為

x0hx1w0x2w1…xn+1wntwn+1,

其中wi∈{x0,…,xi}*xi{x0,…,xi}*.故等式集(1)～(3)不能將字pn轉化為qn,于是簇不滿足等式pn≈qn.

引理3設M是幺半群簇中任意一個有限幺半群且|M|

其中

1≤j

令

則

即M滿足等式pn≈qn.

命題1幺半群簇是非有限生成的.

證明如果幺半群簇是有限生成的,那么由引理3可知對于某個n,它滿足等式pn≈qn,這與引理2矛盾.

3 其他幺半群生成的簇

本節將證明除了同構或反同構于M5的幺半群之外,所有小于等于5階的幺半群都生成Cross幺半群簇.

引理4設M是滿足等式

xyx≈x2y

(4)

或者

xyx≈yx2

(5)

的任意一個有限幺半群，則M生成一個Cross幺半群簇.

證明設M是滿足等式(4)的任意一個有限幺半群,且是由M生成的幺半群簇.由于幺半群M是有限的,故必然存在某個n≥1,使得幺半群簇滿足等式x2n≈xn.于是包含有限多個交換子簇[11].另外由文獻[12]中命題4.1可知,簇包含的非交換子簇也是有限多個.從而包含有限多個子簇,由文獻[13]中引理7可知是Cross幺半群簇.

由對稱性可知,滿足等式(5)的任意有限幺半群也生成一個Cross幺半群簇.

引理5設M是滿足等式集

(6)

或者

(7)

的任意一個幺半群，則M生成一個Cross幺半群簇.

證明設幺半群A={1,2,3,4,5},其乘法表如下:

由文獻[14]中命題3.2(c)可知,等式集(6)是由A生成的幺半群簇的一個等式基.因為A是一個完全正則幺半群且它的冪等元構成一個正則帶,所以幺半群簇包含有限多個子簇[15],從而是一個Cross幺半群簇.顯然滿足等式集(6)的任意幺半群生成的簇都是的子簇,故由引理1可知它是Cross幺半群簇.

由對稱性可知,滿足等式集(7)的任意幺半群也生成一個Cross幺半群簇.

引理6[16]滿足等式

xyxzx≈xyzx

(8)

的任意幺半群生成一個Cross幺半群簇.

引理7滿足等式集

(9)

的任意幺半群生成一個Cross幺半群簇.

證明設幺半群B={1,2,3,4,5},其乘法表如下:

B12345111111211122311133412345513254

由文獻[14]的命題3.2(d)和文獻[17]的引理7.1可知,等式集(9)是由B生成的幺半群簇的一個等式基.由文獻[17]中定理7.2的證明可知,的任意真子簇都滿足等式(4).因此由等式集(4)和(9)定義的簇是幺半群簇的唯一極大真子簇,由引理4可知是Cross簇.從而是一個Cross幺半群簇.顯然滿足等式集(9)的任意幺半群生成的簇都是的子簇,故由引理1可知它是Cross幺半群簇.

命題2所有小于等于 4階的幺半群都生成Cross幺半群簇.

證明在同構和反同構的意義下,存在27個4階幺半群[18].例行地可以驗證這些幺半群每一個都滿足式(4)～(7)中的某個等式集,故由引理4和5可知結論成立.

命題3在同構和反同構的意義下,除了M5之外,所有 5階幺半群都生成Cross幺半群簇.

證明設M是既不同構也不反同構于M5的任意一個5階幺半群.由文獻[17]中第5節可知幺半群M滿足式(4)～(9)中的某個等式集,故由引理4～7可知結論成立.

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