微積分思想及其在實際問題中的應用

潘蓉

【摘要】微積分思想的產生、發展都是與實際問題緊密相連的。微積分學不僅是近代數學的基礎，它的創立也極大地推動了天文學、物理學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學的發展。本文對微積分思想產生的背景以及微積分在解決實際問題中主要的思想：極限思想、化歸思想、數形結合思想和建模思想做了簡要介紹，并結合幾何、物理、經濟問題中的部分實例進行了討論。

【關鍵詞】微積分思想 幾何問題 物理問題 經濟問題

1微積分思想產生的背景

微積分是微分和積分的統稱，它的產生、發展都是與實際問題緊密相連的。早在古代微積分思想就已萌芽。公元前七世紀我國莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

在西方公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，也隱含著近代積分學的思想。

到了十七世紀，隨著社會生產力的空前發展，航海、工商業、工程建筑設計都發達起來，研究物體的運動和變化成了日益迫切的課題，力學在各門學科中首先興盛，但它的進步必須依靠數學，各種實際問題（包括古老的天文學問題以及歷史悠久的面積、體積測算）都要求數學引入新的概念，提出更有效的算法。微積分正是在這樣的背景下產生和發展起來的。許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為此作了大量的研究工作。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國科學家牛頓從物理學角度研究微積分，創立了“流數術”理論，這實際上就是微積分理論。而德國數學家萊布尼茨在研究曲線的切線和曲線包圍的面積中提出微積分概念，得出微積分具體運算法則，揭示出微積分的實質。

微積分學的創立，開創了科學發展的新紀元，它極大地推動了天文學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學的發展，并在這些學科中有著越來越廣泛的應用。

2微積分在解決問題中的主要思想

2.1 極限思想

極限思想是微積分的核心思想，它是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想主要解決兩類問題，即變化率問題（微分問題）和積累問題（積分問題）。解決變化率問題時，采用先考察在某個點附近的小范圍內，近似的以“不變代變”、“以靜代動”，求得平均變化率。該平均變化率近似等于該點處的瞬時變化率。再將小范圍無限縮小而趨向于零，促使“近似”轉化為“精確”，從而求得函數在指定點處的變化率。

解決積分問題時，先將整體化為有限個微小的局部，在每個局部“以直代曲”、“以不變代變”，再積零為整求和式，得到整體的近似值，最后，再使每一局部無限變小，通過求和式極限，促使“近似”轉化為“精確”，從而得到積累問題的準確值。

2.2 化歸思想

化歸思想是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，把它歸結到某個（或某些）己經解決或簡單的，比較容易解決的問題上去，最終求得原問題的解答的思想，其核心就是簡化與轉化。

化歸思想有三要素：化歸對象（要化什么），化歸目標（化成什么形式），化歸途徑（怎么化）。一般常用的轉化方式是：陌生問題熟悉化；復雜問題簡單化；抽象問題形象化。

2.3數形結合思想

數形結合思想就是把“數”與“形"建立聯系，把“數”的問題轉化為“形"特性去觀察分析，而“形"的問題轉化為“數"來研究思考，以尋求解決方案。數形結合是溝通數與形內在聯系的有效途徑，或是由數構形、以形促數；或是由形思數，以數論形。華羅庚先生曾說“數缺形時少直觀，形少數時難入微"。數形結合是數學學習研究中的一種重要的思想方法。

2.4數學模型思想

數學模型就是用數學語言和方法對各種實際對象做出抽象或模仿而形成的一種數學結構。數學建模是指對現實世界中原型進行具體構造數學模型，是問題解決的一個重要方面和類型，將考察的實際問題轉化為數學問題，構造出相應的數學模型，通過對數學模型的研究和解答，使原來的實際問題得以解答的過程。

在高職的微積分教學中有不少涉及到數學建模的實際問題如運用導數理論求最值類模型，特別是經濟學里的最大利潤模型，倉儲模型；運用微分方程來求解的“人口模型”等等。通過這些數學模型的介紹和學習，可以提高學生分析、解決問題和應用數學的能力。

3微積分思想在實際問題中的運用

3.1幾何問題

幾何學中如曲線切線的斜率問題、曲率問題、不規則圖形面積和旋轉體體積問題等等都要運用到極限、化歸的思想來解決。

實例1 （曲邊梯形面積）設函數 在 上非負，連續，求由直線x = a， x = b， y = 0 及曲線 所圍成的圖形的面積。

求解過程可分為四步：

步驟1分割（整體化為局部） 在區間 [a，b] 中任意插入若干個分點

，把[a，b]分成n個小區間

[ ]，[ ]， … [ ]，

區間長度為： ，同時經過每一個分點作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯。

步驟2 取近似（以“直”代“曲”） 在每個小區間[ ]上任取一點 ，以[ ]為底， 為高作小矩形，用小矩形面積近似替代第 個小曲邊梯形的 即

步驟3 求和（積“零”為“整”）把n個小矩形面積之和作為曲邊梯形面積A的近似值，即

步驟4 取極限 當小區間長度的最大值 時，上述小矩形面積和式的極限就是曲邊梯形面積A的精確值，即

實例2 熱力發電廠的蒸汽冷卻塔的形狀實際就是由雙曲線的一支的部分繞虛軸旋轉一周所得。建立直角坐標系（如下圖），設已知雙曲線的方程為 ，且塔頂到 軸的高度為 ，塔到 軸的高度 ，試求該冷卻塔內部的體積。（保留一位小數）

分析 ：求旋轉體的體積可運用微元法。即為求出某一時刻的量，在局部“以勻代非勻”求得這個量的近似值，然后計算微元在積分區間的積分從而得到整體量。

求解過程： 觀察圖像可知，該旋轉體是由雙曲線的右半支 與直線 、 和y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周所得。

選y為積分變量，積分區間為 ，在 上任取小區間 ，可得體積微元為

則所求旋轉體的體積為

3.2物理問題

物理學中涉及變化率的問題和積累的問題都能運用化歸思想把這些問題轉化為數學問題，從而用導數或定積分來解決。

實例3 已知某物體做自由落體運動時，在時刻 時下落的高度為 ，求 s時，物體下落的速度和加速度（其中 ）。

求解過程：因為函數 的一階導數和二階導數分別為

， ，

所以，當t=10s時，物體下落的速度為

加速度為

實例4 已知對某種彈簧施加 的，彈簧就伸長 ，如果要把彈簧從原長位置拉長 ，請問需要作多少功？

求解過程：由虎克定律可知，彈力F與伸長量x之間的函數關系為 ，（k為彈性系數）。已知 時， ，代入 ，得彈性系數K=980，所以 。

取伸長量x為積分變量，則積分區間為 ，在 上任取小區間 ，可得功的微元為

則把彈簧從原長位置拉長0.1m時變力需作的功為

3.3 經濟問題

微積分思想方法在經濟學中有著非常重要的應用。如導數的概念產生后，就有了經濟學中的邊際分析和彈性分析。而反之在已知邊際函數或彈性函數，要求成本函數、需求函數、利潤或收益函數等經濟量時，又可利用定積分或不定積分來解決。

實例5 設某加工廠生產某種產品的每日總成本函數和每日總收入函數分別為 ， 其中 為日產量（千克），求（1）邊際利潤函數及當日產量分別是200千克、250千克和300千克時的邊際利潤，并說明其經濟意義；（2）求最大利潤時的日產量。

求解過程：（1）總利潤函數 ，

邊際利潤函數為

日產量為200千克、250千克和300千克時的邊際利潤分別是

， ，

其經濟意義是：在日產量為200千克的基礎上，再增加1千克產量，利潤可增加1元；在日產量為250千克的基礎上，再增加1千克產量，利潤無增加；在日產量為300千克的基礎上，再增加1千克產量，將虧損1元。

（2）令邊際利潤函數 ，得 。

又 ，所以當產量為250千克時，利潤最大。

實例6 已知生產某中產品x單位（百件）的固定成本為1萬元，邊際成本和邊際收入分別為

（1）求產量由2百件增加到4百件時，總成本增加了多少？

（2）求總成本函數；

（3）在利潤最大時產量的基礎上，再生產2百件，利潤變化了多少？

求解過程：（1）產量由2百件增加到4百件時，總成本的增加量為

（2）因為固定成本為1萬元，即 ，

即總成本函數為

（3）設利潤函數為 ，當邊際收益=邊際成本時，利潤最大.即 ，于是有

當 時，利潤最大.

在利潤最大時產量的基礎上，再生產2百件，這時利潤的改變量為

即產量由3百件增加到5百件時，利潤將減少 萬元。

微積分思想方法在實際問題的解決中有著廣泛的運用。教師在日常的教學中要注重這些思想方法的滲透，這對于培養應用型人才的高職數學教育來說有著重要的意義。

參考文獻：

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