陀螺進(jìn)動(dòng)機(jī)理研究及穩(wěn)定性分析

2016-10-21 09:15:46鄧景元

中國設(shè)備工程 2016年10期

鄧景元

（中國人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

鄧景元

（中國人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

陀螺力學(xué)在現(xiàn)代工程技術(shù)與天文物理研究中應(yīng)用廣泛。陀螺儀由于具有良好的高速自旋穩(wěn)定性，在飛機(jī)和船舶的慣性導(dǎo)航與控制、隧道和石油勘探的精密定位儀器等諸多領(lǐng)域被廣泛采用。本文通過角動(dòng)量定理簡明直觀的推導(dǎo)論述了陀螺的進(jìn)動(dòng)過程，并探討了其在外界微小擾動(dòng)下的穩(wěn)定性，指出了高速自旋的陀螺具有良好的抵御外界擾動(dòng)的能力及其物理力學(xué)背景。

陀螺力學(xué)；進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)機(jī)理；進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定性；角動(dòng)量定理

0　引言

高速旋轉(zhuǎn)的陀螺在受到外界微小擾動(dòng)時(shí)，并不會(huì)倒下而是陀螺自身的對(duì)稱軸將繞空間中的固定軸做微小的擺動(dòng)。陀螺這種良好的抵御外力而保持穩(wěn)定的能力，使得其廣泛的應(yīng)用于現(xiàn)代工程技術(shù)中，如飛機(jī)和船舶的慣性導(dǎo)航與控制、隧道和石油勘探的精密定位儀器，以及微機(jī)電系統(tǒng)中的各種慣性傳感器［1］等。陀螺的運(yùn)動(dòng)可以用傳統(tǒng)的剛體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行描述。陀螺的運(yùn)動(dòng)具有良好的定軸性，在受到外力矩的作用下會(huì)發(fā)生進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)模式在天體物理中也頻繁出現(xiàn)，行星或衛(wèi)星在只受到中心引力的作用下，其軌道法向在慣性空間保持不變，而在受到微小外力后，軌道面會(huì)發(fā)生進(jìn)動(dòng)。以地球?yàn)槔?］，地球自轉(zhuǎn)的瞬時(shí)軸為地軸，地軸在旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)時(shí)與黃道面法線的夾角也會(huì)微小變化，這成為地球的章動(dòng)，而天文學(xué)中觀察到的歲差與章動(dòng)來自同樣的原因：（1）地球形狀本身的扁平型和地軸的傾斜性；（2）月球或太陽對(duì)地球引力的不均勻性。因此，對(duì)陀螺進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析，無論是對(duì)于現(xiàn)代工程技術(shù)，還是天文物理科學(xué)的發(fā)展都具有重要的意義。陀螺儀基于嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理的動(dòng)力學(xué)分析較為復(fù)雜，對(duì)工程實(shí)際的應(yīng)用具有一定的難度。本文從剛體動(dòng)力學(xué)出發(fā)，簡明扼要的推導(dǎo)了陀螺的進(jìn)動(dòng)機(jī) 理；從微小擾動(dòng)的角度出發(fā)進(jìn)一步給出了進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定性和章動(dòng)的簡化解析式，詳細(xì)的探討了陀螺儀在受到微小擾動(dòng)后的動(dòng)力學(xué)過程和穩(wěn)定性條件。

1　陀螺進(jìn)動(dòng)過程分析

如圖1（a）所示，陀螺底端與地面接觸點(diǎn)為O點(diǎn)，在固定坐標(biāo)系OXYZ中的陀螺繞其自身的旋轉(zhuǎn)軸OZ'處于高速自旋狀態(tài)，旋轉(zhuǎn)角速度為ω，自身旋轉(zhuǎn)軸OZ'和固定坐標(biāo)系OZ軸的夾角為θ，質(zhì)量為m的陀螺重心為圖中C點(diǎn)。為簡化問題描述，設(shè)此時(shí)陀螺剛好運(yùn)動(dòng)至YOZ平面（即OZ'軸運(yùn)動(dòng) 至在YOZ平面內(nèi)），陀螺繞OZ'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。

經(jīng)過初步分析，可以得到當(dāng)陀螺自旋角速度極低或者不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，陀螺將無法保持穩(wěn)定而倒下。當(dāng)陀螺以一定角速度ω自轉(zhuǎn)時(shí)，在重力繞OZ軸的力矩作用下，陀螺自轉(zhuǎn)軸OZ'還將會(huì)繞著OZ軸“公轉(zhuǎn)”，這種“公轉(zhuǎn)”運(yùn)動(dòng)就是陀螺的進(jìn)動(dòng)。陀螺運(yùn)動(dòng)過程受到的諸多力之中只有重力存在繞著OZ軸的力矩，該力矩的方向在所研究時(shí)刻（即OZ'軸運(yùn)動(dòng)至在YOZ平面內(nèi)時(shí)）垂直于YOZ平面，重心C到O點(diǎn)的距離為l，在Δt時(shí)間內(nèi)，自轉(zhuǎn)軸OZ'繞OZ軸轉(zhuǎn)過的角度為Δα，如圖 1（b）所示。由角動(dòng)量定理可得：

圖1　（a）陀螺自旋模型圖　　（b）陀螺進(jìn)動(dòng)力學(xué)分析圖

由上式可得，陀螺進(jìn)動(dòng)角速度為：

由上式即可得到進(jìn)動(dòng)角速度Ω與重力矩和角動(dòng)量相關(guān)。隨著陀螺自轉(zhuǎn)角速度增大，進(jìn)動(dòng)角度會(huì)減小。需要說明的是，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與陀螺自身質(zhì)量存在較大的關(guān)聯(lián)，因此上式主要說明了陀螺進(jìn)動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系。特別地，當(dāng)自轉(zhuǎn)角速度特別小，即ω→0時(shí)，可以得到Ω→+∞，這與實(shí)際情況相違背，因此此時(shí)陀螺已經(jīng)無法穩(wěn)定；實(shí)際上，當(dāng)ω特別小的時(shí)候，陀螺由于自身的慣性效應(yīng)，無法提供一個(gè)大的進(jìn)動(dòng)角速度而維持穩(wěn)定狀態(tài)，因此，一般來講，所研究的陀螺運(yùn)動(dòng)都是考慮自轉(zhuǎn)角速度遠(yuǎn)大于進(jìn)動(dòng)角速度。同時(shí)，考慮到自轉(zhuǎn)角速度的矢量性，在同等大小的自轉(zhuǎn)角速度下，方向相反后，也會(huì)導(dǎo)致進(jìn)動(dòng)角速度反向。

因此，在各式各樣的微精密儀器中，可以通過調(diào)整陀螺儀自身的自轉(zhuǎn)角速度方向從而實(shí)現(xiàn)對(duì)進(jìn)動(dòng)角速度方向的調(diào)節(jié)與控制。

2　陀螺進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

如第節(jié)所述，在陀螺進(jìn)動(dòng)過程中存在微小擾動(dòng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)自轉(zhuǎn)軸上下的小擺動(dòng)，這種小的擺動(dòng)就是章動(dòng)。對(duì)章動(dòng)的研究一方面可以更加深入的認(rèn)識(shí)陀螺進(jìn)動(dòng)的穩(wěn)定性；另一方面可以對(duì)各種天文現(xiàn)象進(jìn)行更加合理的解釋。在不考慮外界微小擾動(dòng)時(shí)，陀螺的自轉(zhuǎn)軸OZ'端部能繞OZ軸作圓周運(yùn)動(dòng)。在獲得了一些初始的擾動(dòng)后，端部就會(huì)在ZOZ'平面上繞先前的圓周運(yùn)動(dòng)軌跡有上下的擺動(dòng)，如圖2所示。英國天文物理學(xué)家布拉德雷（J.Braley）觀測得到地球地軸的章動(dòng)周期大約為18.6年，而在我國古代歷法中就把19年成為一“章”，這就是最初對(duì)陀螺力學(xué)中“章動(dòng)”的認(rèn)識(shí)和論述。

圖2　（a）陀螺章動(dòng)示意圖　（b）陀螺章動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析

如圖 2所示，在一個(gè)很短的Δt1時(shí)間內(nèi)，陀螺受到一個(gè)力矩M1的作用，使得其自轉(zhuǎn)軸OZ' 在ZOZ'面內(nèi)由圖示中的OZ1'的位置偏移至OZ2'的位置，在此過程中，角動(dòng)量的變化為LΔθ。由角動(dòng)量定理可以得到有：

可得有由于外力矩M1的作用，偏轉(zhuǎn)角Δθ為：

由上式可知，一方面對(duì)于高速自旋的陀螺，小擾動(dòng)導(dǎo)致的偏轉(zhuǎn)角度Δθ會(huì)非常小，其對(duì)稱軸方向幾乎不變。因此，高速自旋的陀螺具有短時(shí)間抗干擾的能力，而且自轉(zhuǎn)角速度越大，這種抗干擾的能力越強(qiáng)。利用陀螺這種自旋穩(wěn)定性，可以將高速自旋的陀螺儀安裝在飛行器、艦船等載體上，并讓其自轉(zhuǎn)軸指向固定的方位，則當(dāng)載體姿態(tài)發(fā)生變化時(shí)，能用陀螺裝置系統(tǒng)進(jìn)行測量和控制。

另一方面，當(dāng)陀螺受到較長時(shí)間的干擾，即公式（4）中的外力矩沖量M1Δt1較大時(shí)，陀螺會(huì)發(fā)生顯著的偏移，這種偏移導(dǎo)致的結(jié)果是使得在垂直于ZOZ'平面存在一個(gè)新的角動(dòng)量分量，使得第2節(jié)中的公式（1）對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量定理右側(cè)有新的角動(dòng)量項(xiàng)，最終使得陀螺在ZOZ'平面內(nèi)存在周期性擺動(dòng)的章動(dòng)模式。進(jìn)一步地，章動(dòng)過程中，綜合考慮外力矩M的作用，取Δt時(shí)間進(jìn)行研究，根據(jù)角動(dòng)量定理，陀螺下傾的角動(dòng)量為［3］：

其中，上式等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)為穩(wěn)定旋進(jìn)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量增量。最初ΔL'＞0，即外力矩相對(duì)較大、破壞穩(wěn)定進(jìn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，可得，此時(shí)陀螺將繼續(xù)偏離初始穩(wěn)定進(jìn)動(dòng)的位置，使得圖2（b）中的θ角繼續(xù)增大。隨著θ的繼續(xù)增大使得ΔL'=0即時(shí)，陀螺角動(dòng)量不再增加，但是θ角會(huì)由于慣性繼續(xù)增長，從而導(dǎo)致ΔL'＜0即Ω，陀螺由此得到了回復(fù)到初始位置的角動(dòng)量，自旋軸對(duì)應(yīng)的θ角由增大變?yōu)闇p小，從而使得發(fā)生θ角的周期性擺動(dòng)，即章動(dòng)。