數學助破兇案的奧秘之一—如何尋找犯罪熱區

陸繼宗?雋武

偵破刑事案件，特別是殺人兇案，是電視劇的主要題材之一。因為其中不僅有扣人心弦、曲折復雜的情節，還有現代化的刑案偵破手段的介紹。然而，在十多年前，美國曾拍了一部別出心裁的偵破系列劇，名為《Numbers》，直譯意思為“一些數字”，中文意譯為《數字追兇》。劇中有兩個主要人物，一為聯邦調查局特工丹·埃普斯，一為他的弟弟數學家查利。每一集都圍繞查利如何用他掌握的數學知識和數學工具來幫助哥哥破獲刑事兇案，使數學成為協助破案的利器。那么，使用數學技巧來破案究竟靠不靠譜呢？數學果真是破案的利器，抑或只是為了提高收視率的一種炒作呢？為了回答這個問題，美國全國公共電臺數學普及節目主持人基思·德夫林和加州理工學院數學系教授、《數字追兇》電視劇首席數學顧問合著了一本同名的書籍，解釋了為什么數學知識確可用來作為破案的利器。我們將通過一系列文章，具體介紹數學在刑事偵破工作中的作用，以及圍繞這一工作饒有趣味的有關知識。

如何抓住強奸殺人犯？

聯邦調查局特工丹·埃普斯看了一眼平攤在他父親家餐廳桌子上的一張大洛杉磯地區的街區圖。地圖上用叉號標記了犯罪地點，一個殘忍的系列殺手在幾個月內襲擊、強奸，然后殺害了十多位年輕的女性。丹的任務，是在罪犯再次對女性發動襲擊前抓住這名殺手。但是調查毫無進展——丹沒有線索，也不知道下一步該做什么，真可以說是一籌莫展。

“要幫忙嗎？”這是丹的弟弟查利的聲音，他是附近某大學數學系的一名杰出年輕教授。丹一直對他弟弟不可思議的數學才能佩服得五體投地，希望能從他那里得到任何幫助。但是調查能從一個數學家那里得到幫助嗎？

“此案與數字無關，查利。”丹語氣嚴厲并不是由于生氣，更多地是由于遇到了挫折而造成的，但查利似乎并未注意到這一點，他的回答完全是就事論事，但似乎有點答非所問：“任何事情都與數字分不開。”

丹并不信服。當然，他常常聽查利說數學就是研究各種模式：辨認模式、分析模式以及預言模式，等等。但即使讓一個數學天才去看雜亂無章散布在地圖上的叉號，他又會看出什么奧秘來呢。沒有規律性，任何人根本沒有辦法預言下一個叉號將打在哪個精確位置上，也就是說，下一個年輕的姑娘會在哪里被襲擊，我們應當在哪里設防——這可能會出現在每個夜晚。如果叉號的排列具有某種規律性，那么倒可以用一個數學公式來描繪一個圖形，就像丹在中學時代學習解析幾何時所學到的知識：方程x2+y2=9 可以用來描繪一個圓周圖形。

自動噴水龍頭的啟發

看著地圖上的記號，即使查利也不得不同意，好像無法用數學來預言殺手下一次將在哪里作案。然而他們家里花園中灌澆草坪的自動噴水龍頭不斷噴出水珠，落在草坪上，這一現象啟發了查利。因為查利知道，事實上，現代生活中幾乎沒有哪一個領域可以不依賴數學，但是必須建立一種模式，不然數學無法走出第一步。

他把丹拖曳到了窗前，可以看到噴水龍頭正在不知疲倦地工作。“我們一直在提一個錯誤的問題。”他說，“從那些你已經知道的發案地點，你根本無法預言兇手下一次將在哪里作案。”他指著噴水龍頭說。“這就好像，不管你對濺落在草坪上的水珠的位置研究得再多，也無法預言下一水滴將濺落在何處。”他看了丹一眼，確信他的哥哥正在聽。“但是我們假定，你不能看見這個噴水龍頭安裝在哪里，你所能得到的是濺落到地上的所有水滴的分布模式。然后利用數學工具，你就能精確推算出噴水龍頭在什么地方。你不能利用水滴的模式去預言下一顆水滴將落在哪里，但你能夠用已經確定的水滴落點反推出水龍頭在哪里。這只水龍頭所在的地方就相當于兇手所在之處。”

丹一下子很難接受他弟弟提出的建議。“查利，你是否是在告訴我，你可以推出兇手的落腳之處？”

查利的回答很簡單：“對。”

丹仍然懷疑查利的想法是否真的管用，不過他弟弟的信心和熱情給他留下了深刻印象，所以他同意讓查利幫助調查。

查利第一步是學一些犯罪學的基本科學知識：首先，系列殺手的行為是怎么樣的。在這一點上，他作為一個數學家，多年經驗教會了他如何辨認哪些是關鍵因素，而忽略所有其他的因素，以使一個看似非常復雜的問題能夠化成一個僅包含少數幾個變量的問題。例如，在與丹以及他哥哥所工作的聯邦調查局辦公室里的其他特工交談后，他知道了暴力系列犯罪在地點的挑選上會呈現出某種傾向性。罪犯們傾向于靠近他們的住所實施犯罪，但不會挨得太緊；他們會環繞他們的居住所在地設立一個“緩沖區”，在此區域內他們不實施犯罪，這個區域太靠近其住處、太危險，所以他們不想在這個他們所謂的舒適區作案；而在這舒適區外，犯罪地點出現的頻率是隨著離住所距離的增加而減少的，這也容易解釋，因為越遠則意味著越不方便，而且他們越不熟悉那些地方。

然后，回到他在加州科學大學數學系的辦公室，查利興奮地認真工作了起來，黑板上布滿了數學的等式和公式。他的目標：找到數學的鑰匙，從而確定一個“熱區”——地圖上的一個區域，由作案地點反推出來，是犯罪分子最可能居住的地區。

查利得出的公式

就像他在著手解一個艱難的數學問題那樣，查利嘗試種種方法而沒有成功時，時間在飛快地流逝。最后，他有了一個他認為可以管用的想法。他擦掉了以前寫在黑板上的潦草字跡，寫下了這個看起來很復雜的

公式：

下一步是對此公式進行微調，就是用由丹提供的以前系列犯罪案件來驗證這個公式。當他輸入聯邦調查局以前破獲的案件中的犯罪地點，從而證實這個公式是不是能正確地預言罪犯的住處。因為有些時候，這個公式并不能反映真實情況，比如哪些是要考慮的因素、哪些是可忽略的因素，一定要與辦案人員交流后才能得知，不過，當查利根據大家的意見作了某些小的調整后，這個公式似乎就管用了。

第二天，查利在聯邦調查局辦公室顯示了一份打印的標明“熱區”的犯罪地點圖。這是查利把他新的公式輸到他的計算機中去時，計算機產生的一個圖形：一張在丹的洛杉磯犯罪地點圖上畫出的一系列有顏色的區域的地圖，顏色逐步向中心變化，這些區域就是殺手可能居住的熱區，而中間的黃色區域是殺手最有可能居住的區域。

雖然有了這張圖，也仍然還有許多工作留給丹和他的同事們去做，但是他們不需要像在大海里找一根針那樣去找殺手了。感謝查利的數學公式，他們只需要在浴缸里找那根針了。

查利向丹和調查此案的其他聯邦調查局特工解釋，這個系列殺手，雖然在隨機挑選的犯罪地點上來尋找被害人，從而試圖不暴露他的住處，但是數學公式揭露了真相：以很高的概率確定了罪犯居住地點的熱區。丹和他的小組決定偵查居住在這個熱區中的某一年齡段的符合作案條件（比如曾有前科等等）的若干男人，并使用監視以及隱蔽的手法，從嫌疑人拋棄的煙頭、吸管中獲得DNA證據，看看誰的DNA與從犯罪現場偵查獲得的DNA相符。

過了不多幾天，經歷了幾次緊張的時刻，他們抓到那個罪犯，案件告破。

丹告訴他的弟弟說：“查利，這是你的公式立下的功勞。”

事實還是虛構？

除少數戲劇性情節外，上面所敘述的就是電視觀眾看到的系列電視劇《數學追兇》第一集。許多觀眾不相信數學能以這種方式幫助捉拿罪犯。事實上，整個第一集是基于一個真實案例，在此案中用了一個數學公式來確定罪犯居住地的熱區。它就是觀眾看到的，查利寫在黑板上的那個公式。

現實中，得到這個公式的那個數學家名叫金·羅斯莫。羅斯莫用來預言系列犯罪案兇犯居住在哪里的數學技巧叫做地理分析技術。

羅斯莫已在重新分析老案件上取得了一些初步的成功，在取得了他的博士學位并被提升為偵探后，他把他的興趣傾注到了開發更好的數學方法，來進行他稱的“犯罪地理靶定”，其他人則稱此方法為“地理分析技術”，因為它是與那種被調查人員基于犯罪分子的行為和心理特征來尋找罪犯的、大家熟知的“心理分析技術”相輔相成的。地理分析技術由分析犯罪分子的犯罪地點來確定一個罪犯的基本行動規律。

羅斯莫早期在加拿大從事系列犯罪案件調查，但真正使他成為整個北美地區執法機構大家庭中著名一員的是發生在美國路易斯安那州拉斐特的那樁市南強奸案，這就是電視劇《數字追兇》中情節的真實來源。

十多年來，一名用頭巾圍著臉的不明身份襲擊者一直在躡手躡足地跟蹤小鎮上的婦女，并且襲擊她們。1998年，被數以千計的舉報信息以及相應數目嫌疑人困擾著的警察邀請羅斯莫來幫忙。羅斯莫分析犯罪地點數據，并制成了一幅類似于《數字追兇》中查利所顯示的地圖，上面用有顏色的地帶來標明熱區以及它的更熱也就是更可能的內圈。這幅地圖使得警察能夠把搜索范圍縮小到半平方英里（約合1.3平方千米）、約十多名嫌疑犯中間，最后抓到了罪犯，而羅斯莫則迅速成為犯罪偵查圈內的著名人物。

羅斯莫公式的解釋

最后，讓我們來更仔細地看一下那個由羅斯莫發明，在《數字追兇》中被查利寫下的公式：

為了理解此公式的意義，我們先要重溫中學數學中解析幾何的基礎知識。解析幾何的最基本設計就是設置一個由x軸和y軸構成的直角坐標系，每個xi和yj值構成了坐標系中的一個點，表達為（xi，yj）。比如方程 x2+y2=9在坐標系中就是一個由一系列點構成的圓，圓心在坐標系的原點，圓的直徑為3。

現在我們用一張坐標方格紙來畫剛才所說的坐標系，此時每個點就相當于一個坐標小方格。我們把一張透明的坐標方格紙疊放在地圖上，用兩個數字“i”和“j”來確定每一個小方格的位置：一個表明它在第幾行，另一個表明它在第幾列；等式的左邊是殺手的住所在此小方格里的概率pij，右邊表示如何計算這個概率。

我們把已經知道的犯罪地點由地圖上的坐標來表示，（xi，yi）表示第一次犯罪的地點，（x2，y2）表示第二次犯罪的地點，依此類推。這個公式是說：

要計算在第“i”行、第“j”列的坐標方格中的概率pij，首先要計算從此坐標方格的中心（xi，yj）到每一犯罪地點（xn，yn）你必須要走多遠。這里的下標n代表任一犯罪地點——n=1是指第一個犯罪地點，n=2指第二個犯罪地點，依此類推。必須要走多遠這個問題的答案是：

| xi — xn | + | yj — yn |，

公式中有兩個地方要用到此答案。

從左至右來看這個公式，它由兩個分式組成。左邊的分式，是把距離放在分母上，分子是。距離的冪次為f，冪次f的數值的選取如下：用過去犯罪模式的數據去檢驗此公式時，符合得最好的那個f值。這個公式的這一部分表達了如下思想：當處在緩沖區外時，犯罪地點的概率隨距離的增大而減小。

右邊的分式是概率公式中用到的緩沖區里每次犯罪“行走距離”的概念。在右邊的分式中，用2B減去距離，B是選來描述緩沖區大小的一個數，并在此式中使用減得的結果。當距離增加時，公式第二項的分母上由減法給出的結果愈小，用另一冪次g加大了這個結果后，第二項的值就愈大。

這個公式的兩個分式結合起來就起了一種“平衡作用”，表達了下面這一分析：當離開罪犯據點向外移動時，犯罪的概率先是增大（當通過緩沖區移動時），然后是減小。用優美的數學符號“+”把此公式的這兩部分結合起來，希臘字母表示“對每一次犯罪的貢獻求和，就給出了第‘ij個坐標方格中的概率的值。”兩項中都出現，它是被用來增加這項或那項的“權重”的。的值選得愈大，“概率隨距離的增大而減小”的現象的權重也就愈大，反之較小的值則是強調緩沖區的效應。當用這個公式來計算（當然用計算機來進行）所有坐標小方格的概率pij，制作一張熱區地圖就很容易了：你只要把小方格涂上顏色就行了，概率最大的涂黃色、稍小一些的涂橙色、然后是紅色，如此，概率最小的留下不

涂色。

（本文材料主要取自《數學緝兇》一書，上海科技教育出版社2011年第1版）