讓火熱的思考化解冰冷的美麗

吳莉娜

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本的要求，但不能只限于形式化的表述，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒(méi)在數(shù)學(xué)形式化的海洋里”“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，”因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)就是，如何恰到好處地處理、駕馭和運(yùn)用形式化，使學(xué)生既能熟練、準(zhǔn)確地運(yùn)用形式化語(yǔ)言來(lái)表述數(shù)學(xué)內(nèi)容，并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，又能做到對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程和本質(zhì)的理解，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)在于返璞歸真，創(chuàng)設(shè)情境激起學(xué)生火熱的思考，只有經(jīng)過(guò)思考，才能最終理解這份冰冷的美麗，

1.關(guān)注數(shù)學(xué)與生活，讓學(xué)生尋“味”

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)知識(shí)包括數(shù)學(xué)理論與方法，數(shù)學(xué)的思維方式，學(xué)生往往不知道生活中哪里藏著數(shù)學(xué)知識(shí)，哪個(gè)問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決，哪個(gè)道理可以用數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)證明，因此幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的原型，讓學(xué)生聯(lián)系生活學(xué)數(shù)學(xué)，尋找到數(shù)學(xué)知識(shí)背后那些有趣的“故事”，品嘗到用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的精妙，學(xué)生才能樂(lè)此不疲，

例如，在進(jìn)行“平面與平面垂直的判定”這一課時(shí)，這堂課的教學(xué)性質(zhì)屬于定理教學(xué)，純粹的定理教學(xué)很難引起學(xué)生的興趣，同時(shí)學(xué)生也很難深層次地理解定理，筆者是這樣進(jìn)行情境引入的：，

師：小時(shí)候，家里造房子時(shí)看到建筑工人在砌墻的時(shí)候總是每隔一會(huì)兒就用一根系有重物的線靠緊所砌的墻，然后看了又看，當(dāng)時(shí)覺(jué)得挺奇怪的，不知道有何作用？你們能幫我解釋一下嗎？

生：檢測(cè)所砌的墻面是否與水平地面垂直，

師：那怎樣才算是垂直了呢？

生：只要系有重物的線緊貼墻面，那么墻就和水平地面就相互垂直了，

師：那么工人師傅只用了一條線檢測(cè)兩個(gè)平面是否垂直可靠嗎？墻面真的與地面互相垂直嗎？今天，我們主要就來(lái)研究?jī)善矫娲怪钡年P(guān)系，

探究性實(shí)驗(yàn)下面請(qǐng)大家一起來(lái)做一個(gè)探究性實(shí)驗(yàn)：

現(xiàn)把桌面當(dāng)作地面，橡皮當(dāng)作墻面，鉛筆當(dāng)作鉛垂線，模擬一下工人師傅的動(dòng)作，于是大家看到什么了？實(shí)驗(yàn)中要注意什么？

學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)論

——當(dāng)鉛筆和橡皮緊貼著（即墻面和鉛垂線緊貼著），此時(shí)墻面和地面互相垂直，墻體穩(wěn)固；

——當(dāng)鉛筆和橡皮相交時(shí)（即墻面和鉛垂線相交時(shí)），此時(shí)墻面和地面不互相垂直，此時(shí)墻體不穩(wěn)固，容易倒塌（即橡皮倒了），

師：實(shí)驗(yàn)中要注意什么？

（1）由于重力的作用鉛垂線始終是垂直于地面的，所以我們要保證鉛筆始終垂直于桌面，

（2）另外，由于用筆模擬鉛垂線，當(dāng)鉛筆不垂直于桌面時(shí)（即鉛垂線不垂直于地面時(shí)），即使它與橡皮緊貼，也不能保證墻面與地面垂直，墻體還是會(huì)倒塌，

思考我們可以知道，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出的事實(shí)要想保證墻面垂直于水平地面，需要滿足哪些條件呢？

生：（1）線垂直于水平地面；（2）線緊貼墻面，

師：總結(jié)得太棒了！

筆者在課堂上將學(xué)生帶回到生活中，讓學(xué)生真真切切地體會(huì)定理的形成過(guò)程，摸索定理成立的必要條件，學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)證明了一切，他們積極地進(jìn)行思考，跟隨教師尋找到了定理的“生活味”，

2注重問(wèn)題解決，讓學(xué)生品“味”

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)生命的源泉和數(shù)學(xué)前進(jìn)的杠桿，數(shù)學(xué)教學(xué)只有在不斷的“生：疑一識(shí)疑一釋疑”過(guò)程中，才可能使抽象的數(shù)學(xué)定義、定理、公理變得具體而有價(jià)值，并且隨著“生：疑—識(shí)：疑一釋疑”的不斷深入，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和欲望越發(fā)強(qiáng)烈，進(jìn)而逐漸形成提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，因此我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要倡導(dǎo)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)策略，使一切的學(xué)習(xí)活動(dòng)都以問(wèn)題解決為樞紐，

設(shè)置問(wèn)題教學(xué)情境，一定要解決兩個(gè)重要的問(wèn)題：（1）為學(xué)生設(shè)計(jì)“好的”問(wèn)題，所謂“好的”問(wèn)題是指適合學(xué)生的思維實(shí)際有著一定的現(xiàn)實(shí)性，又能激發(fā)學(xué)生積極探究有著一定的趣味性，更有較大的思維空間有著一定的思考性和開(kāi)放性的問(wèn)題，這樣圍繞著問(wèn)題解決進(jìn)行教學(xué)，使好的問(wèn)題引發(fā)深入的思考，深入的思考產(chǎn)生好的結(jié)論，使我們的教學(xué)既有好的投入更有好的收獲，（2）引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題，學(xué)生能夠自己提出問(wèn)題，自主解決問(wèn)題，自覺(jué)反思問(wèn)題解決的過(guò)程是學(xué)習(xí)的最高境界，也是問(wèn)題解決教學(xué)的終極目標(biāo)，如教學(xué)“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，當(dāng)教師提出“大家覺(jué)得如何建系呢”，這時(shí)學(xué)生會(huì)有很多想法并且有理有據(jù)，頓時(shí)，課堂氣氛十分活躍，然后學(xué)生將各自建系所得的拋物線方程作對(duì)比，最后探討出標(biāo)準(zhǔn)方程，帶著強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解決的探究活動(dòng)一定是充滿活力的，

下面以“函數(shù)的概念”為例，來(lái)展示應(yīng)如何進(jìn)行創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，

（1）設(shè)置情境，引入課題

人類生活在一個(gè)永恒運(yùn)動(dòng)的世界中，火山的噴發(fā)，地層的斷裂，冰川的推移，泥石的奔流，生命的老化，甚至連我們腳下的大地也在漂移著…，，

為了描述這個(gè)復(fù)雜多變的世界，我們?cè)噲D對(duì)它進(jìn)行歸納和分析，世界上一切量，都是隨著時(shí)問(wèn)的變化而變化的，時(shí)間是最原始的自行變化的量（自變量），其他量則是因變量（因時(shí)間變而隨著改變），

問(wèn)題1說(shuō)說(shuō)生活中、數(shù)學(xué)中，你看到的變化著的一些現(xiàn)象，

問(wèn)題2請(qǐng)解釋上述幾個(gè)現(xiàn)象中的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明有何異同？

問(wèn)題3從數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的角度看，它們共同的特征會(huì)讓我們想起初中時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)的什么知識(shí)？

問(wèn)題4我們已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)過(guò)怎樣一些函數(shù)？什么是函數(shù)？

設(shè)計(jì)目的從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，在學(xué)生舉例中分離出兩個(gè)數(shù)之問(wèn)的變化依賴關(guān)系，也可以在PPT中準(zhǔn)備一些，如：上網(wǎng)費(fèi)用和上網(wǎng)時(shí)問(wèn)有關(guān)；友誼隨溝通而加深；買蘋果時(shí)所付的錢與蘋果的重量成正比；正數(shù)的平方根與該數(shù)的大小有關(guān)，接著對(duì)學(xué)生舉例的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)一步琢磨，細(xì)化關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生探索，為我們比較深化函數(shù)概念的理解創(chuàng)造條件，如：一定的上網(wǎng)一定的上網(wǎng)費(fèi)用；一定重量的蘋果一一定的錢數(shù)；一個(gè)正數(shù)一兩個(gè)平方根，除“一個(gè)正數(shù)一兩個(gè)平方根”是一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)之外，其他都是一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，

接下來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生回憶起初中函數(shù)的定義，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中定義的函數(shù)實(shí)質(zhì)上表達(dá)的就是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，即自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，由這種依賴關(guān)系就確定出一個(gè)與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，

（2）合作交流，建構(gòu)概念

投影教材中的3個(gè)實(shí)例情境，

問(wèn)題5它們是函數(shù)嗎？如果是，你能從函數(shù)的角度解釋以上三個(gè)情境嗎？

設(shè)計(jì)目的從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，從表格、解析式、圖像總結(jié)出上述的每個(gè)問(wèn)題中兩個(gè)變量之間都是一種“對(duì)應(yīng)”，根據(jù)初中的知識(shí)，每一個(gè)問(wèn)題都涉及一個(gè)確定的函數(shù)，

問(wèn)題6如何用集合語(yǔ)言來(lái)闡述上述3個(gè)實(shí)例的共同特征？

問(wèn)題7你能否從集合與對(duì)應(yīng)的角度給函數(shù)下個(gè)定義呢？

設(shè)計(jì)目的在進(jìn)一步體會(huì)兩個(gè)變量之問(wèn)的依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫單值對(duì)應(yīng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)函數(shù)關(guān)系必須涉及到兩個(gè)數(shù)集和一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，引進(jìn)“箭頭圖”，更清楚地表示這種單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)“一個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)到唯一的輸出值”的特征，師生共同完善總結(jié)出函數(shù)的定義，及定義域、值域的概念，并讓學(xué)生體會(huì)定義里的關(guān)鍵詞，如“非空數(shù)集”，“每一個(gè)”，“唯一”，

問(wèn)題8如何從新的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念？舉例說(shuō)明，

設(shè)計(jì)目的通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)上是表達(dá)兩個(gè)數(shù)集的元素之間按照某種法則確定的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”反映了函數(shù)的本質(zhì)，

對(duì)應(yīng)法則f（x）是一個(gè)抽象的符號(hào)，是對(duì)函數(shù)概念的深化，學(xué)生往往不能深刻地理解它的內(nèi)涵，為了化解這個(gè)難點(diǎn)，使“對(duì)應(yīng)法則”的意義有具體的乃至直觀的背景，筆者充分利用學(xué)生已有的知識(shí)——個(gè)變量的值確定時(shí)，另一個(gè)變量的值也惟一確定”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較的基礎(chǔ)上，逐步實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的飛躍；最后通過(guò)學(xué)生自己舉例、辨析，使學(xué)生真正理解，f（x）的意義，

隨著教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，函數(shù)的概念在這些問(wèn)題的探索、思考后變得清晰，師生這一共同探討的過(guò)程，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又提升了他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，真正經(jīng)歷了品味的過(guò)程，

3.注重思想方法，讓學(xué)生回“味”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值不在模仿而在創(chuàng)新，數(shù)學(xué)的本質(zhì)不是技能而是思想，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要掌握一定的知識(shí)，更重要的是要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，通過(guò)深刻的體驗(yàn)、內(nèi)化、領(lǐng)悟形成自己內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維，從而能有認(rèn)識(shí)事物不同的途徑和獨(dú)特的視角，解決問(wèn)題獨(dú)特的思維方式和獨(dú)特的策略，

數(shù)學(xué)思想是一類數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)特征，抽象程度高，所以數(shù)學(xué)思想的掌握非一日之功，需要通過(guò)長(zhǎng)期、反復(fù)教學(xué)，達(dá)到從具體到抽象，從感性到理性的過(guò)程，

在教學(xué)中要注重在知識(shí)的形成過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)教學(xué)如果只注重知識(shí)而不揭示知識(shí)里所蘊(yùn)含的思想方法，那么，所學(xué)的知識(shí)是孤立的、靜止的，不能在新的問(wèn)題解決中做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)，而思想方法就不同了，一旦被學(xué)生領(lǐng)悟、內(nèi)化，將在任何新的問(wèn)題情境中發(fā)揮它的導(dǎo)向作用，

我們可以來(lái)梳理一下“分類討論思想”是如何在高中數(shù)學(xué)教材中通過(guò)每一章節(jié)逐步滲透加深的，

在學(xué)習(xí)集合時(shí)，已經(jīng)讓學(xué)生初步感受了分類討論思想方法，如對(duì)集合是否為空集的討論，在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，如在二次函數(shù)最值的求解時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到“動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題”和“定軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題”，這時(shí)候分類討論思想就運(yùn)用得比較頻繁了，但是學(xué)生卻在處理這些問(wèn)題時(shí)一直存在問(wèn)題，直到高三復(fù)習(xí)時(shí)這些問(wèn)題還是沒(méi)能得到解決，在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，再次滲透分類討論，如等比數(shù)列求和公式中g(shù)與l的分類，在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，分類討論幾乎出現(xiàn)在了每一個(gè)綜合題中，如含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題、最值問(wèn)題等，教材的編排使得分類討論不斷地滲透，學(xué)生也在每一次的認(rèn)識(shí)中加深對(duì)分類討論的理解，并逐步學(xué)會(huì)應(yīng)用，

斯卡特金說(shuō)：“孩子沒(méi)有學(xué)習(xí)的愿望的話，我們的一切設(shè)想和方案都會(huì)化為灰燼，”總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)際，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì)，也只有這樣，學(xué)生才能帶著積極的情感，投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用他們火熱的思考撥開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)神秘的面紗，最終化解數(shù)學(xué)冰冷的美麗，