擾動因素下含相依索賠的復合二項風險模型*

覃利華 方世祖

（廣西大學數學與信息科學學院，南寧，530004）

擾動因素下含相依索賠的復合二項風險模型*

覃利華 方世祖

（廣西大學數學與信息科學學院，南寧，530004）

本文研究一類帶有擾動且含相依索賠的復合二項風險模型，考慮兩種類型的索賠：主索賠和副索賠，主索賠以一定的概率引起副索賠且副索賠可能以一定的概率延遲到下一個時間段發生.通過引入輔助模型，利用遞歸等方法，得到了該模型下的Gerber-Shiu折現罰金函數和破產概率的明確表達式.最后給出了索賠額服從幾何分布的數值模擬.

復合二項模型 擾動 相依索賠 Gerber-Shiu折現罰金函數 破產概率

1　引言

近年來，關于復合二項風險模型的研究在破產理論領域中受到諸多研究者的關注，Li［1］等對此模型的研究有一個比較完整的綜述.具有相依索賠的風險模型已成為破產理論界研究的熱點.Yuen和Guo［2］討論了具有延遲索賠的復合二項模型，獲得了有限時間破產概率的遞推公式，并且得到了最終破產概率的顯性表達式，Xiao和Guo［3］則得到了破產前盈余和破產后赤字聯合分布的遞推公式.劉和彭［4］等研究了索賠相依的二項模型，當主索賠額大于給定的閥值時就隨機產生副索賠，得到了有限時間內生存概率的遞推解，并在特殊情形下獲得了有限時間生存概率和最終破產概率的明確表達式，劉和劉［5］等則得到了 Gerber-Shiu貼現罰金數.孫［6］討論了索賠具有時間相關性的復合二項模型，得到了Gerber-Shiu折現罰金函數的漸進解和解析解.在實際生活中，保險業勢必會受到一些不確定的隨機因素（如投資，收益，付款等）的干擾，它對盈余過程勢必會產生一定的影響.隨著破產論的不斷深入，這方面的研究也得到了一些研究者的關注，如Si［7］討論了帶有擾動的經典風險模型的破產問題.易和胡［8］研究了帶擾動且含副索賠的破產問題，得到了破產前盈余和破產后赤字聯合分布的遞推公式.綜合以上的因素，本文進一步討論了帶擾動相依索賠的復合二項模型的破產問題，給出了相應模型Gerber-Shiu折現罰金函數，并且得到了破產概率的明確表達式.

2　數學模型

考慮一類相依索賠的復合二項風險模型，它主要包括主索賠和由它引起的副索賠兩種索賠.假設在任一時間區間（n-1，n］內發生一次主索賠的概率為p ，不發生主索賠的概率為q =1-p（0≤p≤1），并且不同時間區間內主索賠的發生是相互獨立的.假設主索賠可能引起一次副索賠的發生，副索賠都可能以概率θ與它相關的主索賠同時發生，也可能以概率1-θ延遲到下一個時間區間發生.

假設保險公司在每一單位時間區間的始端收取一個單位的保費，則盈余過程為

為了保證公司的正常運行，進一步假設pμX+pμY＜1，即保證有正的安全負荷系數.

定義破產時刻為

最終破產概率為

折現罰金期望函數為

3　主要結論

依據主索賠和副索賠是否同時發生，模型（1）可以分為兩種情形：第一種是，主副索賠同時發生，則盈余過程在每個時間段發生更新，只是初始盈余發生變化；第二種是，副索賠延遲到下一個時間段發生.對于第二種情形，需要引入一個輔助模型

其中U*（0）=0，Y表示被延遲的副索賠額.

相應地，定義破產時刻為

最終破產概率為

折現罰金期望函數為

注意到只有在有主索賠發生的情況下才受到干擾項的產生，根據是否有主索賠發生和副索賠是否延遲發生.對于第一種情形（模型（1）），由全概率公式得：

當u≥0且u≠x時，

當u=x時，如果總索賠額大于u+1時，雖然破產發生了，但因為初始盈余是x，故此時破產前盈余仍是x.因此

其中

類似地，對于模型（2），有

當u≥0且u≠x時，

當u=x時，

其中

由（3）和（4）式，對u從0到∞求和得

同理由（6）和（7）式，可以得到

由（10）和（11）式得到以下定理：

定理1 當u=0時，模型（1）的Gerber-Shiu折現罰金函數為

其中W和W1分別由（5）和（8）式得到.

證明 由（10）和（11）式可以得到

由（14）式可以得到

將（15）式代入（13）式，得到

由（16）式即可得到（12）式.

推論1 當u=0，a=0時，這對應于不帶擾動項的風險模型，其破產概率為

證明 由（5）式有

記

則有

因此

類似地，可以證明

故

定理2 對?u≥0，模型（1）的Gerber-Shiu折現罰金函數有如下的遞推公式：

其中x=0，1，2，…，y=1，2，…，W，W1，m（0）分別由式（5），（8），（17）得到.

證明 當0≤z＜1，考慮m（u）和m*（u）的母函數，并對（3）和（4）式，（6）和（7）式兩端同時乘以zu+1，并對u 從0到∞求和，得到

聯立（19）和（20）式可以得到

然后比較（21）式兩端zu的系數可以得到（18）式，定理得證.

推論2 當u=0，a=0時，模型（1）的Gerber-Shiu折現罰金函數滿足

其中

該推論由定理2和（5），（8）式容易證明.

4　應用

例 設主索賠額X和副索賠額Y服從下列的幾何分布

其中0＜α＜1，0＜β＜1，k≥1，求u=0，a=0的破產概率和Gerber-Shiu折現罰金函數.

解 由（5）和（8）式有

從這個例子可以看出，要計算折現罰金數和破產概率的初始值，只需給定p的具體值以及X和Y的分布.若令p=0.1，α=0.5，β=0.6及θ=0.4，則由（12），（17）及上兩式，可以得到

在（18）式中令ω（x，y）=1，則（18）式就變成了模型（1）的破產概率，故根據以上的遞推公式以及m（0），ψ（0）即可得到任意初始值的期望折現罰金函數和破產概率，在此不做一一計算.

5　結論

本文研究的模型為一類帶有擾動且含相依索賠的二項模型，相依索賠的研究會有一定的難度，但筆者通過引入輔助模型，分別得到初始值為0的破產概率和期望折現罰金函數，利用遞推法進一步得到初始值為u的Gerber-Shiu折現罰金函數，最后進行了數值算例.在本次研究的基礎上，筆者認為還可以進一步研究破產前盈余的概率函數，破產赤字的概率分布函數以及破產前盈余和破產后赤字的聯合分布函數等重要的破產量.

［1］Li S，Lu Y，Garrido J.A review of discrete-time risk models［J］.Rev R Acad Cien Serie A Mat.2009，103（2）：321-337.

［2］Yueu K C，Guo J Y.Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound binominal model［J］. Insurance：Mathematics and Economics，2001，29：47-57.

［3］Xiao Y T，Guo J Y.The compound binomial risk model with time-correlated claims［J］.Insurance Mathematics and Economics，2007，41（1）：124-133.

［4］劉東海，彭丹，劉再明.相依索賠的二項風險模型的破產問題［J］.高校應用數學學報.2009，24（3）：259 -265.

［5］劉東海，劉再明，龔日朝.相依索賠的二項風險模型的Gerber-Shiu貼現罰函數［J］.經濟數學.2012，29（2）：35-39.

［6］孫歆.索賠具有時間相關性的復合二項風險模型［J］.畢節學院學報（自然科學版）.2012，30（8）：51-58.

［7］Si J D，Wang Z Y，Wang G J.Ruin problem for a class of risk processes perturbed by di ffusion［J］.Appl. Math.，2002，17（4）：435-441.

［8］易亞利，胡源艷，歐詩德.一類帶擾動含副索賠離散模型的幾個破產問題［J］.數學雜志.2013，33（4）：709 -716.

The Compound Binomial Model with Perturbation and Correlated Claims

Qin Lihua Fang Shizu
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China）

This paper researches the compound binomial model with perturbation and correlated claims.Two types of individual claims，the main claims and by-claims，are considered，where by-claims are caused by main claims with a certain probability and may remain some time with a certain probability.By introducing a supplementary risk model and using recursive methods，the Gerber-Shiu discounted penalty function and the explicit expression of the ruin probability are obtained.A numerical example is given for geometrical claims.

Compound binomial risk model Perturbation Correlated claim Gerber-Shiu discounted penalty function Ruin probability

2016年01月13日