具有非線性阻尼項和源項的波動方程整體解的存在性*

嚴永仙 葉耀軍

（浙江科技學院數學與信息科學系，杭州，310023）

具有非線性阻尼項和源項的波動方程整體解的存在性*

嚴永仙 葉耀軍

（浙江科技學院數學與信息科學系，杭州，310023）

在初始能量為負的條件下，基于Young不等式，本文證明了一類帶耗散項的非線性雙曲型方程初邊值問題解的blow-up.

非線性雙曲型方程 初邊值問題 耗散項 Blow-up

1　引言

考慮下面的初值問題其中p≥2，α＞0，β＞0是常數，Ω是Rn中具有光滑邊界?Ω的有界區域，R+≡［0，+∞）.

2　主要結果及其證明

本文的主要結果如下

定理1 設α＞0，P≥2，β＞max（2，α，p-2），初值（u0，u1）∈W01，P（Ω）×L2（Ω），初始能量

則初邊值問題（1）-（3）的解在有限時間內發生Blow-up.

證明 令

在（1）的兩邊同乘以ut（x，t），并在Ω上積分得

于是，由（6）和（4）知

定義函數

則

由（1）得

由（5）和（7）知

其中

注意到

由（5）得

因此

對于?ε＞0，由引理1有

選取

由（8）和（13）則有

其中

定義函數

對（15）求導，并由（6）和（14）得

因為H（t）≥p（-E（t））＞0，E（t）＜E（0），所以

因此，存在t0＞0，使得

如果

則可取t0=0.

其次，進行如下估計

由（13）和引理1知

其中

于是，由（16）和（19）得

對（20）兩邊在［t0，t］上積分得

注：在定理1的假設下，如果

定理證畢.

［1］J.M.Ball，Remarks on blow up and nonexistence theorems for nonlinear evolution equations［J］.Quart.J. Math.Oxford，1977，28：473-483.

［2］H.A.Levine，Instability and nonexistence of global solutions of nonlinear wave equations of the form Putt-Au+F（u）［J］.Trans，Amer.Math.Soc.，1974，192：1-21.

［3］V.Georgiev and G.Tdorova，Existence of solutions of the wave equation with nonlinear damping and source terms［J］.Journal of Differential Equations，1994，109：295-308.

［4］Y.j.Ye，Existence of global solutions for some nonlinear hyperbolic equation with a nonlinear disspative term［J］.Journal of Zhengzhou University（Natural Science Edition），1997，29：18-23.

［5］Y.j.Ye，On the decay of solutions for some nonlinear dissipative hyperbolic equations［J］.Acta.Math.Appli Snica，2004，20：93-100.

Blow-up of Solutions for a Class of Nonlinear Dissipative Hyperbolic Equation

Yan Yongxian Ye Yaojun
（Mathematics and Information Science Department，Zhejiang University of Science and Technology，Hangzhou 310023，China）

In this paper，we prove the blow-up of solutions to the initial-boundary value problem for some nonlinear hyperbolic equation with a nonlinear dissipative term under the condition of negative initial energy.

Nonlinear hyperbolic equation Initial-boundary value problem Dissipative term Blow-up.

國家自然科學基金資助項目（61273016），浙江省科技廳公益性技術應用研究課題資助項目（2015C33088）.

2016年03月06日