非線性三階三點邊值問題的擬上下解方法*

韓如霞

（河北工業大學理學院，天津，300401）

非線性三階三點邊值問題的擬上下解方法*

韓如霞

（河北工業大學理學院，天津，300401）

通過構造擬上下解的單調迭代過程，在擬解對之間利用Sadvoskii不動點定理獲得了Banach空間非線性三階三點邊值問題解的存在性.

擬上下解對 非緊性測度 凝聚映射 Sadvoskii不動點定理

1　引言

考慮非線性三階三點邊值問題

上下解方法和單調迭代技巧是研究微分方程初邊值問題的有力工具，其優點是不但能得到解的存在性，而且能得到求解的迭代過程.擬上下解方法則是上下解方法的推廣，自從V. Lakshmikantham等提出擬上下解的概念，并通過擬上下解對的混合單調迭代序列獲得了一階常微分方程u′=f（t，u）的初值問題的擬解對的存在性［1-2］，隨后人們開始了用擬上下解方法對微分方程解的存在性的研究，2001年，李永祥對Banach空間內一階常微分方程的初邊值問題運用一種擬上下解方法證明其解的存在性［3］；2005年，劉旭對Banach空間內的二階邊值問題運用擬上下解方法證明了其解的存在性［4］；2013年，李強對Banach空間中一類二階三點邊值問題運用擬上下解方法證明了其解的存在性［5］.受此上的啟發，本文在緊型條件下，通過非緊性測度的精巧計算，利用擬上下解單調迭代方法及Sadvoskii不動點定理討論了非線性三階三點邊值問題（1）擬解對的存在性及其擬解對之間解的存在性.

2　預備知識

定義2.1［7］設E是實Banach空間，S是E中的有界集.

稱為集合S 的Kuratowski非緊性測度，其中diam（Bi）表示集合Bi的直徑.

顯然，0≤α（S）≤+∞.

引理2.1［6］若βη≠1，則對y∈C［0，1］，邊值問題

證明 由T的定義得.

顯然，Tn：C［I，E］→C［I，E］是正有界線性算子.

由范數的定義和格林函數的性質有

又因為

引理2.4［7］設E是實Banach空間，S 是E中的有界集，則α（S）=0的充要條件是S 是相對緊集.

引理2.5［7］若B?C［I，E］等度連續且有界，則

引理2.6［8］若B=un｛｝?C［I，E］有界，則有

引理2.7［9］若有界，則存在可列子集，使得.

引理2.8［4］若等度連續，則等度連續.

引理2.9（Sadvoskii）［10］設D是E中有界凸閉集（D不一定有內點），A：D→D是凝聚映象，則A在D中必有不動點.

定義2.2［10］設E1，E2是Banach空間，D ?E1.設A：D →E2連續且有界.如果存在常數k≥0，使對任何有界集S?D，都滿足α（A（S））≤kα（S），則稱A是D上的k-集壓縮映象.特別地，k＜1時的k-集壓縮映象稱為嚴格集壓縮映象.如果對任何非相對緊的有界集S?D，都滿足α（A（S））≤α（S），則稱A是D上的凝聚映象.

顯然，嚴格集壓縮映象必為凝聚映象.

定義2.3 若v0，w0∈C3［I，E］滿足條件

則稱v0，w0為邊值問題（1）的一對擬上下解；若上述式子均取等號，則稱v0，w0為邊值問題（1）的擬解對.

3　主要結果及證明

定理3.1 設E 為有序Banach空間，P為E中正規錐.若邊值問題（1）存在擬上下解對v0，w0∈C3［I，E］，使得v0≤w0，且f（t，x，y）：I×E×E→E連續，在［v0，w0］上滿足：

證明 （I）證明擬解對的存在性

對?h1，h2∈［v0，w0］，考慮E中三階邊值問題

由引理2.1可知，存在唯一解

①顯然，算子A：［v0，w0］×［v0，w0］→C［I，E］連續，且方程（1）的解等價于算子A的不動點u=A（u，u）.

②由條件（H1）以及格林函數G（t，s）≥0可知，算子A：［v0，w0］×［v0，w0］→C［I，E］為混合單調算子.

③下證：v0≤A（v0，w0），A（v0，w0）≤w0.

④作迭代序列vn=A（vn-1，wn-1），wn=（wn-1，vn-1），n=1，2，….

由A是混合單調算子，有

下證vn｛｝，wn｛｝收斂.

令B1=vn｛｝，B2=wn｛｝，D=B1∪B2，則B1，B2等度連續且有界.由引理2.5，引理2.6，條件（H2）及非緊性測度的性質，可得令α（D t（））=φ（t），則φ（t）≤4LTφ（t）.累次使用上述不等式，可得φ（t）≤（4L）nTnφ（t）.兩邊取范數即得‖φ（t）‖≤（4L）n‖Tn‖‖φ（t）‖.

下證：Q是凝聚映象.

對任意有界集B?Ω0，B，QB（）等度連續且有界.根據引理2.5，引理2.6，引理2.7，條件（H2）及非緊測度性質，可知存在可列子集B0?B使得

［1］Lakshmikantham V，Leela S，Vatsala A S.Method of quasi-upper and lower solutions in abstract cones［J］.Nonlinear Anal，1982，6：833-838.

［2］Guo Dajun，LakshmikanthamV.Coupled fixed points of nonlinear operator with applications［J］. Nonlinear Anal，1987，11：623-632.

［3］李永祥.Banach空間常微分方程的一種擬上下解［J］.西北師范大學學報，2001，37（3）：6-11.

［4］劉旭.Banach空間二階邊值問題的擬上下解方法［J］.西北師范大學學報，2005，41（2）：4-7.

［5］李強.Banach空間中一類二階三點邊值問題的一種擬上下解［J］.河南師范大學學報，2013，41（1），15-18.

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［7］郭大鈞.孫經先.抽象空間常微分方程［M］.濟南：山東科學技術出版社，1989.

［8］Hein H R.On the behavior of noncompactness with respect to differentiation and integration of vectorvalued function［J］.Nonlinear analysis（TMA），1983，7：1351-1373.

［9］李永祥.抽象半線性發展方程初值問題解的存在性［J］.數學學報，2005，48（6）：1089-1094.

［10］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟南：山東科學技術出版社，1985.

Quasi-Upper and Lower Solutions of Nonlinear Third-order Three-point Boundary Value Problem

Han Ruxia
（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

By employing the Sadvoskii fixed point theorem and constructing the monotone iterative process of the quasi-upper and lower solutions，the existence of solutions between quasi-solutions is obtained for nonlinear third order three point boundary value problems in Banach spaces.

Quasi-upper and lower solutions Measure of noncompactness Condensing map Sadvoskii fixed point theorem

2016年02月17日