青藏鐵路軌道不平順譜研究

陳憲麥，徐磊，王衛東，賀天龍，張向民，向尚，陳文韜

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙 410075；3. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

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青藏鐵路軌道不平順譜研究

陳憲麥1,2，徐磊3，王衛東1，賀天龍1，張向民1,2，向尚1，陳文韜1

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙 410075；3. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

利用較為完備的青藏鐵路軌道不平順實測數據，將概率論方法較為系統的用于青藏鐵路軌道不平順譜研究，對不同波長的功率譜密度樣本進行廣義極值分布函數擬合、參數估計及假設檢驗分析。在此基礎上，對青藏鐵路的線路幾何狀態及軌道不平順譜線特征進行分析；采用Levenberg-Marquardt法及鐵科院7參數公式對青藏鐵路軌道不平順統計平均值譜進行公式擬合及參數提??；結合廣義極值分布函數的參數估計值，提出由軌道不平順統計平均值譜向任意百分位譜轉換的方法。研究結果表明：青藏鐵路軌道不平順不同波長下的譜密度值均服從廣義極值Ⅱ型分布(Frechet分布)；軌道高低和軌向不平順譜線呈現復雜的窄帶和周期波譜特征，其軌距不平順狀態基本處于德國高干擾譜和美國六級譜之間，應該作為重點關注的不平順類型；結合不同波長譜密度的概率分布規律，建議在統計平均值譜的基礎上，融合尖峰譜線特征，以便提供更為合理的動力仿真激勵輸入譜。

青藏鐵路；軌道不平順譜；廣義極值分布；參數估計；假設檢驗；擬合

青藏鐵路為世界上海拔最高、線路最長的高原鐵路，受多年凍土影響，其對輪-軌動力相互作用更為敏感，線路基礎結構的穩定與維護問題極具研究價值?，F階段，對于青藏鐵路不同關鍵科學問題的研究已取得較為豐碩的成果，特別是凍土路基溫度場、動力學等問題的研究受到普遍關注[1-7]。目前，對于青藏鐵路軌道不平順譜的系統研究還較少，軌道不平順譜(track irregularity power spectrum density, PSD)既是輪軌系統之激勵輸入，也是線路基礎結構幾何狀態的重要表征，在車輛-軌道耦合動力學分析與評估、機車車輛懸掛參數及線橋隧設計中十分重要。目前，美、德、英、法、日等國均已提出了相應速度范圍的軌道不平順標準譜[8-9]。國內學者也對軌道不平順譜進行了長期的研究，陳憲麥等[10-11]對我國干線鐵路軌道譜進行了研究，并提出了相應的軌道平順性評判方法；練松良等[12-13]對多條線路的軌道不平順譜進行了特征分析，提出了特征不利波長提取方法；李再幃等[14]利用上海軌道交通3號線軌道不平順譜，與國內外標準譜進行了比較研究；徐磊等[15]對朔黃重載鐵路的軌道不平順譜進行了分析；康熊等[16]系統提出了我國高速鐵路無砟軌道譜的計算方法、擬合公式及計算譜圖，為高速鐵路設計、評估和養護維修等提供了依據；黃連成[17-18]研究了青藏鐵路軌道不平順變化特征，并分析了無縫線路試驗段軌道不平順功率譜特征。

軌道不平順作為一個隨機過程，其不同波長下的功率譜密度也應該是隨機分布的。對于隨機問題，宜采用概率方法，特別是對于軌道不平順標準譜的制定，不同波長標準譜密度的統計規律、概率水平及對應的動力特性等問題都需深入研究?；诖?，本文利用較為完備的青藏鐵路軌道不平順實測數據，以概率論為基礎，對青藏鐵路的軌道不平順譜特征，譜密度分布概型、估計參數及假設檢驗，軌道不平順譜擬合，以及不同概率水平下的譜密度反演方法等問題做了較為系統的研究。

1　廣義極值分布

20世紀初，Fisher與Tippett證明當取樣足夠長時，任何一個分布函數F(x)，上極限分布H(x)必收斂為與原始分布有關的三種形式[19]：

Ⅰ型分布：H1(x)=exp(-e-x)，-∞

Ⅱ型分布：

Ⅲ型分布：

極值Ⅰ型又稱Gumbel分布、極值Ⅱ型又稱Frechet分布、極值Ⅲ型又稱Weibull分布。引入位置參數和尺度參數，則統一為廣義極值分布[20-21]，其分布函數為：

(1)

式中：μ和σ分別為位置參數和尺度參數；ξ為形狀參數；I(x)為示性函數，即

(2)

當ξ=0時，為Gumbel分布，即極值Ⅰ型；當ξ>0時，為Frechet分布，即極值Ⅱ型；當ξ<0時，為Weibull分布，即極值Ⅲ型。在計算得到分布函數參數后，可根據給定的概率水平H′求解對應的逆函數：

(3)

2　參數估計及假設檢驗方法

2.1極大似然參數估計方法

極大似然估計的基本思想是選擇待定參數使樣本出現在觀測值的領域內的概率最大，并以這個作為未知參數的點估計值[22]。設ζ的分布是連續型的，密度函數f(x,θ1,θ2,...,θk)的形狀已知，但含k個未知參數θ1,θ2,...,θk，以ζ1，ζ2，...,ζn分別帶入其中的x，所得n個函數相乘而得函數[21]

(4)

(5)

解方程組式(6)，即可獲得參數估計值

(6)

由于廣義極值分布將3種極值分布統一在一起，不必考慮原始分布類型，參數估計可以采用同樣的方法計算。若軌道不平順的不同頻率點譜值{s1,s2,...,sn}相互獨立且具有相同概率分布，其參數的極大似然估計可通過下列對數似然函數求得

L(θ)=L(μ,σ,ξ)=

(7)

2.2非參數假設檢驗

本文采用χ2擬合優度檢驗法，用以樣本數據是否服從指定的理論分布。對于假設H：“ξ的分布函數F(x)為F0(x)”，F0(x)為某已知分布函數。若H正確，令pi=F0(xi)-F0(xi-1)，根據皮爾遜(Pearson)定理[23]:

(8)

(y>0)，為χ2(m-1)分布的密度函數；N為樣本總數；m為子區間數；vi為不同區間的樣本數。

3　青藏鐵路軌道不平順譜特征分析

3.1數據來源

本文數據來源于青藏鐵路2009-10～2014-7約27次軌檢車實測數據，采樣間隔為0.25 m。首先按文獻[16]方法進行數據預處理，然后采用周期圖法，每4 096點(1 024 m)計算一個軌道不平順譜，不同不平順類型的計算樣本數見表1。

表1不同軌道不平順類型的譜計算樣本數

Table 1 Number of calculation samples for different types of track irregularities

不平順類型左高低右高低左軌向右軌向扭曲水平軌距計算樣本總數27280273082698826968276652998029980

3.2青藏鐵路軌道不平順譜的概率分布特征

3.2.1概率分析方法

本文對有效波長(段)下每個波長點的譜密度計算值進行了概率分布擬合、參數估計及擬合優度檢驗計算，其主要流程如下：

1)對軌道不平順檢測數據進行數據預處理及軌道不平順譜計算；

2)提取不同波長下的譜密度樣本，進行概率分布計算，剔除累積概率1%以下和99%以上的譜密度樣本，以消除檢測設備、線路結構異常的影響；

3)利用廣義極值分布模型對青藏鐵路不同波長譜密度值的分布概型進行擬合，采用極大似然估計法獲取估計參數；

4)采用χ2擬合優度檢驗法對不同波長下的概率擬合函數進行假設檢驗，以驗證譜密度樣本服從廣義極值分布。

3.2.2譜密度的概率分布擬合及其假設檢驗結果

經筆者統計分析，青藏鐵路軌道不平順不同波長的譜密度樣本均可用廣義極值分布函數表示，只是μ，σ和ξ等參數的估計值不同。限于篇幅，這里僅給出高低不平順1.5，10和30 m波長的譜密度概率分布及其廣義極值分布擬合函數。

(a)1.5 m波長譜密度的概率分布；(b)10 m波長譜密度的概率分布；(c)30 m波長譜密度的概率分布圖1　不同波長的譜密度概率分布及其分布函數擬合Fig.1 Fitting of probability density function corresponding to spectrum densities of different wavelengths

從圖1可知，采用廣義極值函數能較好的擬合不同波長譜密度的概率分布。軌道高低和軌向不平順不同波長譜密度的極值分布參數估計值見圖2。

(a)形狀參數；(b)尺度參數；(c)位置參數圖2　軌道高低和軌向不平順譜密度的廣義極值分布參數估計值 Fig.2 Estimation values of GEV distribution of track profile vertical and alignment irregularities

從圖2可知，不同波長譜密度廣義極值分布的形狀參數ξ>0，表明服從廣義極值Ⅱ型分布(Frechet分布)。由此三參數(形狀、尺度和位置參數)的估計值，可以根據式(3)反算不同波長在任意概率水平下的譜密度值。

采用χ2擬合優度檢驗法，根據式(8)計算的軌道高低、軌向、水平及軌距不平順的X值見圖3。

3.3軌道不平順譜特征分析

百分位數譜實際上也是統計譜(與國內常用的平均值譜)等類同，從譜線可以發現其同樣能表達周期性波長等特征，其在工程上意義較大，通過百分位能算出不同譜線的出現概率，此概率代表激振源的輸入概率，以此算出的響應當然具有同樣的概率，這對于系統可靠性的研究是重要的。

(a)軌道高低不平順；(b)軌道軌向不平順；(c)軌道水平不平順；(d)軌道軌距不平順圖3　不同不平順類型的X值Fig.3 Xvalues of different types of track irregularities

因此，為全面描述青藏鐵路的線路幾何狀態及軌道不平順譜線特征，圖4～7給出了高低、方向、水平及軌距不平順的10，30，50，70和90百分位譜及平均值譜，德國高、低干擾譜及美國五、六級譜的對比圖。

由圖4～7可知：

1)百分位譜同樣能表達軌道不平順的譜線特征。在軌檢車有效檢測波長范圍內，不同類型的軌道不平順平均譜基本處在70～80百分位譜之間。

2)軌道高低和軌向不平順譜的倍頻尖峰譜線較為明顯，出現了3.14，3.59，4.18，4.97，6.21，8.32，12.49和24.98 m等周期性不平順；而高低不平順除這些特征波長外，在1～3 m波段也出現了較多周期性不平順特征；軌道水平不平順在2.88 m波長附近出現駝峰譜線，并且在24.98，12.34，8.32，6.20，4.97及4.14 m處也存在較微弱的凸型譜線。

圖4　高低不平順譜Fig.4 Track profile vertical irregularity spectrum

圖6　軌向不平順譜Fig.6 Track cross level irregularity spectrum

3)軌道高低和軌向不平順譜曲線呈現復雜的窄帶和周期波特征，尖峰譜線連續變化，含有與25 m軌長相關的周期性尖峰譜線；1～3.5 m周期性不平順來源于鋼軌軋制過程，與軋輥和校直輥直徑誤差、不圓度軋壓力變化和軋制校直工藝水平等因素有關[24]，此波段不平順會使簧下質量產生極大的沖擊加速度。

圖7　軌向不平順譜Fig.7 Track gauge irregularity spectrum

4)軌道高低不平順90百分位譜在2.55～7.01 m波段的不平順狀態處于德國高干擾譜與美國5級譜之間，狀態較差；在11.13～37.93 m波段，不平順狀態與德國低干擾譜接近；在其他波段，軌道不平順狀態基本處于德國低干擾譜與美國六級譜之間。

5)軌道軌向不平順在18.96 m波長以上的狀態較好，基本與德國低干擾譜相當；除特征駝峰及尖峰譜線外，在18.96 m波長以下，軌道不平順譜值基本處于德國低干擾譜與美國六級譜之間。

6)按照軌道不平順譜值隨波長的變化規律，根據圖6的譜密度分布特征，水平不平順有效波段取1～32 m是較為正確的。對于其90百分位譜，不平順譜值在13.84～32 m波段與德國低干擾譜相當；而在13.84 m波長以下，不平順狀態處在德國高、低干擾譜之間。

7)軌距不平順狀態基本處于德國高干擾譜與美國六級譜之間，其90百分位譜也較微弱的反映了上述出現的連續尖峰譜線。軌距不平順對于輪軌橫向接觸作用較為重要，而青藏鐵路此項不平順類型之狀態有待進一步提高，應該作為重點關注的不平順類型。

4　軌道不平順譜擬合與百分位譜轉換

4.1擬合公式及方法

為了全面表征青藏鐵路的軌道不平順譜線分布特征，筆者對國內外常見的軌道譜擬合公式進行了試算，認為中國干線鐵路7參數公式的非線性擬合性能較優，其公式為

S=A(f2+Bf+C)/(f4+Df3+Ef2+Ff+G)

(9)

式中： f為空間頻率，1/m；S為軌道不平順功率譜值; A，B，C，D，E，F和G為擬合譜參數。

由于青藏鐵路的軌道不平順譜沿波長橫軸方向分布極不規則，無顯著的線性或分段線性特征，若對全波長譜線進行非線性擬合，將無法獲得全局最優的擬合結果。

文獻[16]采用分段擬合的方法實現了高速鐵路軌道不平順的冪函數擬合，本文借鑒這一方法。一般而言，對于軌道不平順標準譜的制定，應該精細地考慮到不同波長譜密度的合理概率水平，故而本文對于軌道不平順譜的擬合及概率處理方法如下：

1)計算獲得青藏鐵路軌道高低、方向、水平及軌距不平順譜樣本，以其統計平均值譜為擬合目標，并采用中值濾波方法進行消峰處理；

2)將有效截止波長分成三段(短波長段：1～2.5 m；中波長段：2.5～10 m；長波長段：10～70 m)，采用Levenberg-Marquardt非線性優化算進行7參數譜擬合；

3)根據公式(1)及其極大似然參數估計值，計算軌道不平順統計平均值擬合譜密度值在其對應波長下的百分位(即累積概率水平)；

4)以軌道不平順統計平均值擬合譜及其譜密度百分位分布為基礎，計算平均值擬合譜密度與其它百分位譜密度之間的轉換系數，通過公式(10)進行任意頻率百分位譜的轉換。

(10)

式中:CPL為累積概率水平；f為空間頻率；SCPL(f)為百分位譜密度值；SM(f)為擬合譜密度值； KCPL.f、KM.f為對應百分位廣義極值分布反函數值，可通過公式(3)進行計算。

4.2軌道不平順譜順擬合

圖8～圖11為采用鐵科院7參數擬合公式以及分段擬合后的結果，有效波長范圍1～70 m。

圖中C.P.L(cumulative probability level)值為擬合譜密度對應的累積概率值(也即此譜密度值對應的百分位值)，由于篇幅所限，僅顯示了部分譜密度對應的百分位值。從圖8～11可知，采用7參數公式進行分段擬合的效果是較為可行的；在不同分段擬合譜的銜接處，存在較微小的譜值不平滑問題，但這對軌道不平順的狀態表達及隨機反演影響極小，基本可以忽略。表2列出了青藏鐵路軌道不平順平均值譜在不同波段的參數擬合值。

圖8　軌道高低不平順譜擬合Fig.8 Fitting of track profile vertical irregularity

圖10　軌道水平不平順譜擬合Fig.10 Fitting of track cross-level irregularity

圖11　軌道軌距不平順譜擬合Fig.11 Fitting of track gauge irregularity

4.3平均值譜向百分位譜轉換

根據廣義極值分布理論，結合式(3)和式(10)，將不同不平順類型的平均值擬合譜轉換為10、70及90百分位數譜，并與實測譜進行比較；同時，文獻[16]指出高速鐵路軌道不平順譜密度

表2　青藏鐵路軌道不平順平均值譜擬合參數

注：短波長段：1～2.5 m；中波長段：2.5～10 m；長波長段：10～70 m

基本服從自由度為2的χ2分布，故進一步與文獻[16]的研究結果進行對比分析，見圖12。

(a)高低不平順百分位數譜;(b)方向不平順90百分位譜;(c)水平不平順90百分位譜;(d)軌距不平順90百分位譜 圖12　不同類型軌道不平順10,70和90百分位轉換譜與實測譜的比較Fig.12 Comparison of 90th transformed and measured spectrums of different types of track irregularities

實際上，在2.2.2節中筆者已經計算獲得了不同軌道不平順類型在不同波長下的譜密度廣義極值分布參數估計值，可以根據式(3)反算不同波長在任意百分位下的譜密度估計值，限于篇幅，這里僅簡單給出10，70及90百分位轉換譜與實測譜的對比圖。

由于國內外軌道不平順標準譜均無法表達棍狀尖峰或駝峰譜線特征，本文的統計平均值擬合譜線亦無法包含這些特征，這對于線路幾何狀態評價和動力學評估是不合理的。但是，本文在對不同波長譜密度樣本進行廣義極值分布參數估計時，已包含的周期性波長的尖峰譜線特征，從而可以根據需要在軌道不平順平均值譜的基礎上融合任意周期性波長在不同概率水平下的譜密度值，以實現更為合理的動力學激勵輸入要求。

5　結論

1)青藏鐵路軌道高低和軌向不平順譜曲線呈現復雜的窄帶和周期波譜特征，在3.14,3.59,4.18,4.97,6.21,8.32,12.49和24.98 m等處連續出現倍頻尖峰譜線，在1～3波段亦存在較多周期性成分，應該根據其原因改進施工及制造工藝，最大限度的消除周期性波長成分。

2)本文對中值濾波后的軌道不平順平均值譜進行7參數擬合，獲得了相應的特征參數，可以作為青藏鐵路軌道不平順的統計平均值譜，提供一個初步的線路狀態評價標準譜。然而對于青藏鐵路軌道不平順標準譜的制定還需結合耦合動力學模型，進行軌道譜激勵輸入下的車輛、軌道系統動力響應評估，以獲取最為經濟、合理的統一標準譜。

3)可以采用廣義極值分布進行青藏鐵路軌道不平順不同波長譜密度值的概率分布規律研究，本文通過極大似然估計法，獲得了不同不平順類型譜密度值的廣義極值分布估計參數，可以反演有效波長下的任意百分位譜密度值，通過與標準譜線相融合，為線路幾何狀態評估、機車車輛設計及參數優化提供更為合理的激勵輸入。

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Research on track irregularity power spectrum density of Qinghai-Tibet railway

CHEN Xianmai1,2，XU Lei3，WANG Weidong1，HE Tianlong1，ZHANG Xiangmin1,2，XIANG Shang1，CHEN Wentao1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Changsha 410075, China;3. Track Power State Key Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Combining with relatively complete measured track irregularities on Qinghai-Tibet Railway, this paper systematically introduced probability theory into the study of track irregularity spectrum, and made an detail research on generalized extreme value distribution function fitting, parameter estimation and hypothesis testing for power spectrum density samples of different wavelengths. On this basis, the railway's track geometry status and characteristics of track irregularity spectrum were analyzed, and then formula fitting and parameter extraction were conducted for track irregularity statistical average spectrum using Levenberg-Marquardt algorithm and 7 parameters formula of Chinese trunk railways, last we proposed a method that any percentile spectrum could be transformed by track irregularity statistical average spectrum through which. The research results show that: the spectrum density values of different wavelengths obey the generalized extremum Ⅱ type distribution; the track profile vertical and alignment irregularity spectrum present complicated narrow-bands and periodic spectral lines, and its track gauge irregularity is mostly located in German high speed high disturbance line and American sixth grade track line; combined with the probability distribution laws of different wavelength spectrum densities, this paper suggests that we should consider and blend the peak spectrum line features on the basis of the statistical average spectrum for providing more reasonable dynamic simulation spectrum.

Qinghai-Tibet Railway; track irregularity power spectrum density; general extreme value distribution; parameter estimation; hypothesis testing; fitting

2015-11-25

國家自然科學基金資助項目(51478482)；中國鐵路總公司科技研究開發計劃課題資助項目(Z2013-G006)；鐵道部科技研究開發計劃課題資助項目(Z2012-066)

陳憲麥(1975-)，男，甘肅會寧人，副教授，博士，從事軌道動力學、線路狀態評估及養護維修領域的研究； E-mail：xianmaichen@aliyun.com

U213.21

A

1672-7029(2016)09-1686-10