功率分流式齒輪系統均載特性影響因素分析

姚　瀾，趙　兵，徐景文，劉　瀟，周國濤

（1.西北工業大學，西安 710072；2.北京宇航系統工程研究所，北京 100076）

功率分流式齒輪系統均載特性影響因素分析

姚瀾1，趙兵2，徐景文2，劉瀟2，周國濤2

（1.西北工業大學，西安 710072；2.北京宇航系統工程研究所，北京 100076）

為了提出功率分流式齒輪系統有效的均載方法，對其進行了均載特性影響因素分析。采用動力學分析方法，建立了功率分流式齒輪系統動力學模型，通過對齒輪副特征矩陣進行裝配快速的形成了系統動力學方程，并對動力學模型中激勵參數的計算進行了分析。通過定義均載系數衡量均載性能，嚙合誤差、耦合剛度、支撐剛度和轉速被認為是影響均載的主要因素，分析了其對均載系數的影響規律。研究得出：減小嚙合誤差和耦合剛度、增大支撐剛度，以及選取合適的工作轉速有利于提高功率分流式齒輪系統的均載性能。提出的有效均載方法包括：提高加工精度，設計合理結構使系統具有軟耦合、硬支撐，選取合適工作轉速。

功率分流；均載特性；動力學；均載影響因素；均載方法

0　引言

功率分流式齒輪系統因其具有大功重比、高安全性和可靠性、大減速比和低振動噪聲等優點，在航空傳動中已替代行星傳動，應用于先進的直升機主減速器中。雖然功率分流式齒輪系統具有眾多優點，但是Kish［1］研究發現其載荷分配不均的問題更加突出。

針對多支路齒輪系統的均載問題，相關學者進行了大量研究，主要采用動力學分析方法，通過定義基于齒輪嚙合力的均載系數衡量均載性能。Krantz［2］研究發現，功率分流式齒輪系統雖然布局形式對稱但是其受力形式非對稱，不均載是系統的固有特性，同時分析了不同摩擦狀態下系統的均載特性。Kahraman［3］和Guo［4］等研究了不同誤差大小和不同工況條件時行星傳動系統均載特性的變化規律。Ligata和Kahraman等［5］分析了不同類型加工誤差變化時行星傳動系統均載系數的變化規律。付晨曦［6］等研究得出系統參數對分扭傳動的均載性能影響較大。

Kahraman［3］指出，針對多支路齒輪系統均載問題的研究，旨在對均載建立全面的認識，從而進一步提出有效的均載方法。本文在前人研究的基礎上，針對一些影響均載的關鍵因素，進行均載特性影響因素分析，在此基礎上提出有效的均載方法。

以功率分流式齒輪系統為研究對象，采用動力學分析方法，建立了系統動力學模型，通過定義均載系數衡量系統均載性能。分析了嚙合誤差、扭轉剛度、支撐剛度和轉速對功率分流式齒輪系統均載特性的影響規律。根據分析結果提出了提高功率分流式齒輪系統均載性能的有效方法。

1　系統動力學模型

某功率分流式齒輪系統［2］如圖1所示，該系統屬于兩支路功率分流式齒輪系統。傳動系統分為兩級傳動，第一級采用斜齒輪，第二級采用直齒輪，傳動系統中大斜齒輪和小直齒輪安裝在一根雙聯齒輪軸上。

圖1　某功率分流式齒輪系統示意圖

圖2為功率分流式齒輪系統坐標系示意圖。系統中小斜齒輪、左側大斜齒輪、右側大斜齒輪、左側小直齒輪、右側小直齒輪和大直齒輪依次標記為齒輪1～6，系統兩支路分別標記左、右（L、R）。

如圖2所示，傳動系統中x軸方向由O2指向O3，y軸方向由O1指向O4，x×y為z軸方向，由此建立了傳動系統廣義坐標系。傳動系統廣義位移如式（1）所示，每個齒輪具有沿x、y、z軸方向的平動廣義位移和繞z軸方向的轉動廣義位移。

圖2　功率分流式齒輪系統坐標系示意圖

建立的系統動力學方程，如式（2）所示。

式中：M為質量矩陣，如式（3）所示；C為阻尼矩陣，采用瑞利阻尼進行模擬，如式（4）所示；總剛度矩陣K=Km+Kc+Kxy，為齒輪嚙合剛度矩陣Km、齒輪間的耦合剛度矩陣Kc、齒輪支撐剛度矩陣Kxy之和，嚙合剛度矩陣Km和耦合剛度矩陣Kc見式（5），支撐剛度矩陣Kxy見式（10）；F為外載荷矩陣，見式（11）；F（e）為由誤差引起的彈性力矩陣，見式（12）。

式中：m和I分別為齒輪的質量和轉動慣量。

式中：α、β為瑞利阻尼系數。

式中：Km，ij為齒輪i和齒輪j嚙合時形成的嚙合剛度矩陣，見式（6）；Kc，ij為齒輪i和齒輪j間形成的耦合剛度矩陣，見式（7）；Rij為2×6的分塊稀疏矩陣，各子矩陣維數相同，見式（8）。

式中：k（M）為嚙合平面內接觸線上任意接觸點M處的嚙合剛度，ijφ為從y軸正向到嚙合線正向（從動輪指向主動輪）逆時針的夾角，ijβ為基圓螺旋角。

式中：ks，ij、kb，ij、ka，ij分別為齒輪i和齒輪j之間形成的扭轉、彎曲和拉壓剛度，Rb，i、Rb，j為齒輪i、齒輪j的基圓半徑。

式中：子矩陣R1i和R2i的表達式為：

式中：kx、ky為齒輪徑向支撐剛度，kz為齒輪軸向撐剛度。

式中：Tin和Tout分別為系統輸入、輸出扭矩。

式中：e為齒輪i和齒輪j嚙合時形成的嚙合誤差。

2　激勵參數分析

本文在計算齒輪副嚙合剛度時假設嚙合平面內接觸線上任意接觸點處的嚙合剛度為定值，任意時刻的接觸線長度時變［7］，由此任意時刻的齒輪副嚙合剛度可按照式（13）進行計算。

式中：k0為任意接觸點處的嚙合剛度，可根據ISO6336進行計算；L為接觸線長度，可根據接觸狀態判斷得出。

加工誤差形成齒輪副嚙合誤差，嚙合誤差在動力學模型中通常通過一種周期性的位移激勵進行模擬，此處采用正弦函。

式中：e0為嚙合誤差幅值，f為嚙合頻率。

3　均載系數定義

定義系統均載系數如式（15）所示，均載系數越小表明系統的均載性能越好。

式中：FL、FR分別為小斜齒輪兩支路動態嚙合力的平均值，F0為小斜齒輪單側支路的靜態嚙合力。

小斜齒輪動態嚙合力和靜態嚙合力的計算公式如式（16）、式（17）所示。

式中：qL，R、xL，R、eL，R分別為左、右兩側斜齒輪副的方向矢量、廣義位移和嚙合誤差。

式中：Rb1為小斜齒輪基圓半徑。

4　均載影響因素分析

某功率分流式齒輪系統參數［2］如表1所示。系統的標準輸入功率372.85kW、轉速8780r/min，材料9310鋼，安裝角Ф1、Ф2分別為48.4°、116.28°。

表1　某功率分流式齒輪系統參數［2］

根據相關研究［2，3，6］可知，影響多支路齒輪系統均載性能的因素主要包括嚙合誤差、耦合剛度、支撐剛度和轉速，本文對功率分流式齒輪系統均載特性影響因素的分析主要從這幾個方面展開。系統動力學方程在MATLAB軟件中編程求解，采用四階五級Runge-Kutta算法，調用ode45函數進行計算。

在分析嚙合誤差對系統均載特性的影響時，主要研究加工精度等級變化引起各齒輪副嚙合誤差幅值改變對系統均載性能的影響。如圖3所示，計算得到了各齒輪副不同誤差幅值變化時的均載系數曲線。

圖3　不同誤差幅值變化時的均載系數曲線

可以看出，隨著系統中各齒輪副嚙合誤差幅值的增加，均載系數逐漸增大，均載性能變差，同時均載系數的增加呈近似線性遞增的關系。值得注意的是，當各齒輪副嚙合誤差幅值為0時，即系統不存在誤差，均載系數仍沿大于1，傳動系統不均載，這一結果印證了Krantz指出該傳動系統不均載是系統固有特性的觀點。

功率分流式齒輪系統的耦合剛度主要指雙聯齒輪軸提供的大斜齒輪和小直齒輪間的扭轉、彎曲和拉壓剛度，某功率分流式齒輪系統的耦合剛度如表2所示。

計算得到耦合剛度大小變化時系統均載系數曲線如圖4所示，圖中橫坐標為表2所示耦合剛度的倍數，為了更加有效的對結果進行分析，采用指數坐標。可以看出隨著耦合剛度的增加系統均載系數逐漸增加，均載性能變差。當耦合剛度在現有耦合剛度附件變化時，系統均載系數變化率較大，隨著耦合剛度變化增大，均載系數變化率逐漸減小，當耦合剛度接近現有耦合剛度0.1倍和10倍時，耦合剛度變化率接近于0。

由此說明，調節耦合剛度在一定范圍時系統均載系數會發生較大變化，當耦合剛度過大或過小時，調節耦合剛度對均載系數的改變影響有限。

某功率分流式齒輪系統的支撐剛度如表3所示。計算得到支撐剛度大小變化時系統均載系數曲線如圖5所示，橫坐標為表3所示支撐剛度的倍數，同樣采用指數坐標。可以看出隨著支撐剛度的增加，系統均載系數逐漸減小，均載性能變好，隨著支撐剛度的增加均載系數變化率逐漸減小。說明減小支撐剛度會引起均載系數較大變化，增加支撐剛度當達到一定程度時均載系數變化較小。

圖4　不同耦合剛度變化時的均載系數曲線

表3　某功率分流式齒輪系統支撐剛度

圖5　不同支撐剛度變化時的均載系數曲線

計算得出系統不同工作轉速時均載系數曲線如圖6所示，圖中橫坐標為標準工作轉速的倍數。可以看出系統均載系數對應于不同工作轉速時無明顯變化規律，當轉速接近標準轉速1.1倍時均載系數出現極大值，均載性能局部最優；當轉速接近標準轉速0.7倍時均載系數出現了極小值，均載性能局部最差。

圖6　不同轉速變化時的均載系數曲線

5　結論

本文建立了功率分流式齒輪系統動力學模型，給出了系統動力學方程，分析了動力學模型中主要激勵參數的計算方法。通過定義系統均載系數衡量均載性能，研究了誤差、耦合剛度、支撐剛度和轉速對系統均載的影響，得到以下結論。

1）減小嚙合誤差和耦合剛度、增大支撐剛度，以及選取合適的工作轉速有利于提高功率分流式齒輪系統的均載性能。同時在一定范圍內減小耦合剛度、增加支撐剛度均載性能能夠得到快速提升。

2）對于功率分流式齒輪系統有效的均載方法包括：提高加工精度，設計合理結構使系統具有軟耦合、硬支撐，選取合適工作轉速。

［1］ J. G. Kish， Sikorsky Aircraft Advanced Rotorcraft Transmission（ART） Program-Final Report［Z］.NASA CR-191079，Cleveland: NASA Lewis Research Center，1993.

［2］ T. L. Krantz，Dynamics of a split torque helicopter transmission［Z］. NASA TM-106410， Cleveland: NASA Lewis Research Center，1994.

［3］ A. Kahraman， Load sharing characteristics of planetary transmissions［J］. Mechanism and Machine Theory，1994，29（8）:1151-1165.

［4］ Guo Y， Keller J， Lacava W.Combined effects of gravity， bending moment， bearing clearance， and input torque on wind turbine planetary gear load sharing［A］.American Gear Manufacturers Association［C］.2012.

［5］ H. Ligata， A. Kahraman，A.Singh， A closed-form planet load sharing formulation for planetary gear sets using a translational analogy［J］.Journal of Mechanical Design，2009，131（2）:021007-1-021007-7.

［6］ 付晨曦，趙寧，趙永志，等.基于FA-NSGA分扭傳動系統的均載和輕量化優化設計［J］.航空動力學報，2014，29（9）:2247-2255.

［7］ Velex P，Ajmi M.Dynamic Tooth Loads and Quasi-Static Transmission Errors in Helical Gears-Approximate Dynamic Factor Formulae［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42（11）: 1512-1526.

Influence factor analysis of load sharing characteristic of power split gear system

YAO Lan1，ZHAO Bing2，XU Jing-wen2，LIU Xiao2，ZHOU Guo-tao2

TH132.41

A

1009-0134（2016）09-0050-04

2016-06-30

姚瀾（1986 -），女，山東人，博士研究生，研究方向為傳動系統設計與優化。