一類非線性振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)

余曉娟

（漢江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系, 湖北 十堰 442000）

一類非線性振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)

余曉娟

（漢江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系, 湖北 十堰 442000）

在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，周期運(yùn)動(dòng)至關(guān)重要。該文研究了一類兩自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)，這個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)相互耦合的二階非線性微分方程表示，運(yùn)用Liapunov函數(shù)方法和特殊技巧，得到了該類系統(tǒng)的周期解。

振動(dòng)系統(tǒng)；周期運(yùn)動(dòng)；周期解

1　預(yù)備知識(shí)

在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，周期運(yùn)動(dòng)具有非常重要的作用，但周期解的存在性問(wèn)題一直都是研究的重點(diǎn)。

對(duì)于多自由度系統(tǒng)的周期解，在理論與應(yīng)用上都有著十分重要的作用,文獻(xiàn)[1]研究了如下一類兩自由度系統(tǒng)的周期解：

其中a1，a2，b1，b2是大于0的常數(shù)，f1，f2是關(guān)于x，y，sint，cost的連續(xù)函數(shù)。

本文在此基礎(chǔ)上，研究比較復(fù)雜的一類兩自由度非線性系統(tǒng)，它由兩個(gè)相互耦合的二階非線性微分方程組成：

系統(tǒng)（1）能夠描述許多的物理現(xiàn)象，廣泛存在于動(dòng)力機(jī)械、彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力屈曲、航空航天設(shè)備（火箭或繩系衛(wèi)星）、船舶在海洋中的航行、流固耦合系統(tǒng)等工程實(shí)際問(wèn)題中，在理論與應(yīng)用方面都有很重要的地位和作用[1-5]。

2　周期解

將二階方程組（1）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一階微分方程組：

對(duì)其中一些項(xiàng)作處理，設(shè)

為方便，我們?cè)O(shè)

定理設(shè)系統(tǒng)（2）滿足下列條件：

（i）系數(shù)矩陣（3）的特征方程的特征根λi均有負(fù)實(shí)部，即

其中 δ是一個(gè)正常數(shù)；

證明為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)捷方便，我們將a(t), b(t), c(t), d(t) 分別用a, b, c, d表示，則系數(shù)矩陣（3）的廣義特征方程為：

特征矩陣（3）的所有特征根λi(t)具有負(fù)實(shí)部，即Re λi≤- δ < 0（i=1, 2, 3,4）。δ是一個(gè)正常數(shù)，于是有

我們構(gòu)造Liapunov 函數(shù)為：

其中B=min(6δ2,1),故V是正定的。a(t), b(t), c(t), a(t)是正有界的，界為M>1。

類似地，我們有

于是，V有一個(gè)無(wú)窮小上界。

沿系統(tǒng)（2）對(duì)V求全導(dǎo)數(shù)，得到

則系統(tǒng)（2）的解是一致最終有界的，其有界域?yàn)椋?/p>

因此，系統(tǒng)（2）至少存在一個(gè)周期為ω的周期解。本結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1,6]的相關(guān)結(jié)果。

[1] 劉俊. 一類周期系統(tǒng)的周期解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999（3）：289-294.

[2] Liang Zai-Zhong . A study of the construction of Liapunov function for a class of fourth order nonlinear systems[J].Appl. Math.and Mech.(English Ed), 1995(2):195-202.

[3] Hara T. Onthe uniform ultimateboundedness of the solutions of certain third order differential equations[J]. J. Math.Anal.Appl., 1981(5): 533-544.

[4] Liu Jun, Luo Hongying, Liu Xi. Oscillation Criteria for Half-Linear Functional Differential Equation with Damping[J]. Thermal Science, 2014(5):1537-1542.

[5] Luo Hongying, Liu Jun, Liu Xi, Zhu Chunyan. Oscillation Behavior of a Class of New Generallzed Emden-Fowler Equations[J]. Thermal Science, 2014(5): 1559-1564.

[6] Ji Jinchen，Chen Yushu. Bifurcation in a Parametrically Excited Two-Degree-of Freedom Nonlinear Oscillating System with 1:2 Internal Resonance[J]. Applied mathematics and mechanics, 1999(4)：350-359.

Periodic Motion of a Class of Nonlinear Oscillating Systems

YU Xiaojuan
(School of Mathematics and Finance, Hanjiang Normal University, Shiyan Hubei 442000, China)

In the system of nonlinear oscillating, periodic motion is of prime importance. The paper studies the periodic motion for a class of two-degree-of-freedom nonlinear oscillating systems. This model can be expressed by two mutual coupling second-order nonlinear differential equations. By using the method of Liapunov function and special techniques, periodic solution to the system are obtained.

oscillation system; periodic motion; periodic solution

O175.14

A

1674 - 9200（2016）03 - 0039 - 03

（責(zé)任編輯劉常福）

2016 - 03 - 16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“非線性波的時(shí)空復(fù)雜性研究”（11361048）。

余曉娟，女，湖北十堰人，漢江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系講師，碩士，主要從事函數(shù)論、微分方程、數(shù)學(xué)教育研究。