基于邊界元法求解二維Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋斷裂參數

任 歡，王 偉

?

基于邊界元法求解二維Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋斷裂參數

任 歡，王 偉

（遼寧石油化工大學機械學院，遼寧 撫順 113001）

對于平面復合型裂紋，由于不同的斷裂模式，積分與應力強度因子有關。因此，必須另外分析如何分離應力強度因子。積分結合積分或應變能釋放率(SERR)，可以用于有效的離散和計算應力強度因子。本文介紹復合型裂紋的，的計算，展示了兩個各向同性和均質材料屬性的示例，在不同裂紋形狀和荷載條件情況下，得到了應力強度因子和，的相應積分值。

邊界元法；積分；應力強度因子；合型裂紋

目前，在工業和學術界領域中，求解斷裂力學問題最常見的方法就是1積分[1]結合邊界元法(BEM)[2]或有限元方法(FEM)。在很多情況下，邊界元法比有限元法更加經濟和準確，特別適用于求解裂紋擴展問題。Rice[3]開創性地提出了與路徑無關性積分概念，主要研究裂紋與不同介質構成的界面垂直時，裂紋尖端的應力奇異性和材料屬性的關系[4]，以及裂紋的擴展與路徑問題[5]。

對于平面復合型的裂紋斷裂問題，由于不同斷裂模式，J積分的值和應力強度因子[6]有關。王偉[7,8]推導出了復合型裂紋的與的關系式及積分的計算。

影響裂紋計算的因素有很多，文獻[9]出網格劃分對計算精度影響很大的結論，距離裂紋前緣越近，計算精度越高。針對各向異性結構的裂紋形狀靈敏度，文獻[10]應用邊界元方法進行估算。

對于一個各向同性和均勻的線彈性復合型裂紋,應力強度因子和積分有如下關系：

積分表示自相似裂紋增長的能量釋放率，對于均勻和各向同性材料的線性裂紋。可以應用計算積分來解耦應力強度因子。積分不僅涉及裂紋周圍的內點的應力和應變的計算，還涉及裂紋表面奇異積分的計算。目前還有許多其他方法用于解耦應力強度因子，但此分解方法是最受歡迎的[11]。

1 估算JK積分

本文研究的重點是各向同性和均質材，對于每個裂縫形狀和荷載不同條件，計算應力之前因子，得到相應的1,2的值及應變能密度不連續項。

圖1顯示了任意形狀的一個連續裂紋。

圖1 復雜荷載作用下的裂紋

Fig.1 Crack under complicated loads

1是環繞裂紋尖端的一個路徑，P而是裂紋前沿法平面上自裂紋下表面任意一點按逆時針方向圍繞裂紋尖端到上表面任意一點的積分路徑。J積分被定義為

對于任意路徑的直裂紋，沿著裂紋表面1積分為

2積分可寫成

積分與應力強度因子有關，這意味著對于應力強度因子的解耦，必需計算出1和2

對于一個構件，裂紋的總勢能為

其中，

將構件分為兩個子區域1和2，總勢能等于區域1和2的勢能的總和

對于區域1的勢能

根據求導、格林公式[12]及裂紋表面應力分布得到

同樣區域2的勢能可以寫成

考慮到應力在區域1和2的界面區域SP的值相等

對于直裂紋，如果導數是關于裂紋的橫向(1)，那么上述積分為1積分。

如果導數是關于裂紋(2)方向，那么方程(22)不僅是2積分，而是添加積分在其中，可以很容易地得到

其中

應該注意的是，使用方程(12)，當考慮直裂紋表面積分時，，其中，。如果考慮彎曲裂紋表面，，，針對1積分的估算，必須考慮沿裂紋表面的應變能密度的改變，同樣的方法2為提供路徑無關的特性[16]。

2 案例分析

2.1 中心斜裂紋與弧形裂紋分析

中心斜裂紋長2成角和圓心角中心弧形裂紋薄平板。其中，，,是雙軸向載荷比（圖2）。

圖2 中心斜與弧形裂紋矩形板分析圖

應用ANSYS對含不同形式裂紋的薄板進行應力分析，如圖3所示。

圖3 應力等值線圖

2.1.1 應力強度因子I的計算

在不同的傾斜角度和加載條件的情況下計算應力強度因子I值如圖4所示。

(a) 中心斜裂紋

(b) 弧形裂紋

(b) Arc crac圖4與不同I的的變化趨勢

Fig.4 The change trend of KIintegral under differentand

2.1.2 應力強度因子II的計算

在不同的傾斜角度和加載條件的情況下計算應力強度因子KII值如圖5所示。

(a) 中心斜裂紋

(b) 弧形裂紋

圖5 不同與的II變化趨勢

Fig.5 The change trend of KIIintegral under differentand

2.2積分計算

(a) 中心斜裂紋

(b)弧形裂紋

圖6 不同與的k積分的變化趨勢

Fig.6 The change trend of Jkintegral under differentand

圖6可以觀察到理論數值和有限元分析結果幾乎一致。

3 結 論

（1）本文討論了邊界元法對不同形狀的復合型裂紋的積分進行計算。在裂紋形狀和加載條件下，由于應變能密度不連續，提出了積分值以及應變能密度不連續項。

（4）示例問題對各向同性和均質材料屬性進行分析，并得到相應結果。研究結果顯示，該方法的簡單、準確性和靈活性適用于彎曲和直裂紋。由于方法的通用特性，該算法可以擴展并應用到各向同性或各向異性雙材料屬性的斷裂分析中。

參考文獻：

［1］ J.R. Rice. Mathematical Analysis in the Mechanics of Fracture, in: H. Liebowitz (Ed.)[M]. Treatise on Fracture, seconded.,Academic Press, NY, 1968: 191-311.

［2］ T.A. Cruse. Boundary Element Analysis in Computational Fracture Mechanics[M]. Dordrecht Academic Publishers, Kluwer, 1988.

［3］ Rice.A path-independence integral and approximate analysis of strain concentration by notches and cracks[J]. J Appl Mech, 1968, 35(1): 376-386.

［4］ 黃克智，余壽文. 彈塑性斷裂力學[M]. 北京：清華大學出版社，1985.

［5］ 王利民，陳浩然. 裂紋垂直于雙相介質界面時的應力強度因子[J].計算力學學報，2001，1(2)：33-36.

［6］ 楊慶生，楊衛. 界面裂紋的路徑選擇與數值模擬[J]. 力學學報，1997，29(3)：355-358.

［7］ 王偉，謝禹鈞. 復合型裂紋與關系推導[J]. 石油化工設備，2011，40(5)：39-44.

［8］ 王偉. 復合型裂紋積分計算[J]. 石油化工設備，2011，40(2)：39-55.

［9］ 高文，王生楠，閆曉中. 三維斜置表面裂紋應力強度因子邊界元計算及分析[J]. 機械強度，2013，35(4)：503-508.

［10］ A. Tafreshi. Fracture mechanics analysis of composite structures using the boundary element shape sensitivities[J]. AIAA J., 2009,47 (8): 1926-1938.

［11］ I. Milne, R.O. Ritchie, B. Karihaloo (Eds.). Comprehensive Structural Integrity[J]. , Elsevier, 2003, 1-10: 2003.

［12］ R. Simpson, Trevelyan. Evaluation of J1 and J2 integrals for curved cracks using an enriched boundary element method[J]. Eng. Fract. Mech. ,2011,78 (4) :623-712.

Estimating Two-dimensional Complex Crack Fracture Parameters Based on the Boundary Element Method

1,2

（Mechanical college in Liaoning Shihua University, Liaoning，Liaoning Fushun 113001, China）

For the fracture of in-plane mixed mode crack, because of the different fracture modes, the-integral is related to stress intensity factors(SIFs) . Therefore, additional analysis must be carried out to separate SIFs. The-integral combined with the-integral or strain energy release rate (SERR), can be employed for efficient decoupling and evaluation of SIFs. In this paper,,estimation of complex cracks was introduced. Two example problems with isotropic and homogeneous material properties were presented. Under each crack shape and loading condition, stress intensity factors K and the corresponding values of,were obtained.

boundary element method;-Integral; stress intensity factors; complex cracks

TQ 018

A

1671-0460（2016）09-2167-04

2016-03-15

任歡（1989-），女，黑龍江省佳木斯市人，碩士研究生，遼寧石油化工大學研究生學院，研究方向：結構安全評定及可靠性分析。E-mail：renhuan427@163.com。