基于改進傳遞矩陣法的環肋圓柱殼固有振動分析

許瑞陽，王獻忠，吳衛國

基于改進傳遞矩陣法的環肋圓柱殼固有振動分析

許瑞陽，王獻忠，吳衛國

（武漢理工大學 交通學院，武漢 430063）

為了簡化傳統傳遞矩陣法中狀態向量一階微分方程復雜推導和得到不同邊界條件下環肋圓柱殼的振動特性，基于Flügge殼體理論，通過采用改進傳遞矩陣法改進狀態向量的選取，直接快速地從振動方程推導出圓柱殼結構場傳遞矩陣，并對場傳遞矩陣使用精細積分求解。根據環肋和殼體連接處變形連續條件導出環肋處點傳遞矩。最后通過自由、簡支、固支三種不同邊界條件下環肋圓柱殼固有頻率計算結果與有限元計算結果進行對比，驗證了改進傳遞矩陣法進行環肋圓柱殼振動分析有效性和適用性。

振動與波；改進傳遞矩陣；環肋圓柱殼；精細積分；振動分析

圓柱殼被廣泛應用于船舶、航空航天、建筑、機械等實際工程領域，通常通過加筋和環肋來增加其穩定性和強度從而減輕結構重量，與一般圓柱殼相比，加筋圓柱殼的自由振動要復雜得多。目前，國內外學者對環肋圓柱殼的振動進行了相關的研究，如能量法［1-2］、平攤法［3］等，這些方法多用于肋骨尺寸較小的密加筋，且多為簡支邊界。陳美霞基于波動法用圓環板模型來處理任意尺寸的環肋，但文中未考慮周向波數為0的情況［4］。

傳遞矩陣法適用于分析鏈式結構的振動特性，其突出特點是無需假設振動函數和便于處理復雜邊界條件。Irie等用殼模型的傳遞矩陣法研究了變厚度圓錐殼［5］、錐柱結合殼［6］的自由振動特性。彭旭將傳遞矩陣法應用到短粗環肋圓柱殼中，但只考慮了環肋面內作用和簡支一種邊界［7］。王獻忠在計算環肋圓錐殼的時候考慮了環肋的面內面外作用［8］。由于殼體的傳遞矩陣推導十分麻煩，且易出錯，萬浩川提出了一種改進的傳遞矩陣法，直接從殼體振動方程出發快速推導出傳遞矩陣，十分方便［9］。本文在文獻［9］的基礎上，采用改進傳遞矩陣法快速推出環肋圓柱殼的場傳遞矩陣，并根據殼體面板和環肋連接處的力和位移連續條件，考慮了環肋的面內剪切和拉伸、面外彎曲和扭轉四種形式的振動，且推導出了環肋處的點傳遞矩陣。又改進傳遞矩陣法得到的齊次方程的解，通過采用精細積分法［10］求解計算來提高計算精度。最后通過對簡支、自由、固支三種邊界下圓柱殼和環肋圓柱殼的數值計算和有限元計算結果進行對比，表明了本文方法推導簡單快速，可適用于不同的邊界條件，并能獲得環肋圓柱殼高精度的固有頻率和振型。

1　基本理論和推導

1.1圓柱殼段的改進場傳遞矩陣

圓柱殼采用柱坐標系，殼體參數、位移如圖1所示，圖中：x和θ分別為柱坐標系軸向和周向坐標；R為殼體半徑；u、v、w、θ分別為圓柱殼的軸向位移、周向位移、徑向位移及轉角，h為殼體厚度，L為殼體長度。

圖1　圓柱殼坐標系

基于Flügge殼體理論，圓柱殼的振動方程為

其中E為彈性模量，μ為泊松比，ρ為密度。

對于軸向半波數為m，周向波數為n的簡諧響應。可以假設方程式（1）的解為

式中ωmn為圓頻率；t為時間；U（x）、V（x）、W（x）為軸向x的函數。

將式（2）代入式（1）中可以得到

式中C為8×8的系數矩陣，8階矩陣C中的非零元素可以由式（3）容易得到。

方程（4）的解為

殼體的8個邊界量為η=｛u v w φ MxVxSxNx｝

把式（2）代入邊界量表達式中可得

由式（6）可得

根據式（6）很容易推導出8階矩陣A中的非零元素。

矩陣A為狀態向量與邊界量之間的關聯矩陣，所以

令Tc=AeCxA-1，則Tc為改進的場傳遞矩陣，通過引入關聯矩陣A，使得求解更加簡單。

1.2圓柱殼改進場傳遞矩陣的精細積分求解

為了得到高精度的改進場傳遞矩陣計算結果，對eCx采用精細積分進行計算，具體步驟如下

式中I8為8階單位矩陣，由于Ta為非零元素為小量，I8和Ta相加時，數值計算會因為舍入誤差導致精度散失，所以在實際計算時候，先考慮對Ta使用加法定理計算。

所以可以執行下面的編程語句

經過S次循環可以直接求解得到

1.3環肋處的改進點傳遞矩陣

由于環肋的存在將改變環肋處圓柱殼的位移和力，為了推導環肋的力-位移關系，根據殼體面板和環肋處的位移連續條件，首先得到環肋截面質心的位移分量和殼體中面位移分量之間的關系可以表示為式（14）

式中u*、v*、w*、φ*為環肋截面質心的位移分量，u、v、w、φ為殼體中面位移分量，e為偏心距，內肋取負號，外取正號；Rr=R+e，為肋骨形心半徑。

圓柱殼對環肋的反作用力與力矩，以及環肋對圓柱殼力矩之間的關系應該滿足

環肋對圓柱殼殼體的反作用力、反力矩與圓柱殼的振動位移有關。當圓柱殼運動時，與圓柱殼體連接的環肋會做四種形式的振動，即面內彎曲和面內拉伸振動，面外彎曲和面外扭轉振動。將四種振動形式的環肋運動方程代入式（15）可以導出位移和力之間的關系

式中Ix、Ir、Iρ和J分別為環肋對縱向、徑向對稱軸的慣性矩、對極軸的慣性矩和扭轉常數；Ar、ρr、Er和G分別為環肋的截面積、密度、彈性模量和剪切模量。

當環肋存在位于xk時，將導致兩個面內力和兩個面外力發生變化，所以應滿足下面的條件

1.4環肋圓柱殼的總傳遞矩陣

當環肋圓柱殼結構有n個分段的時候，則環肋圓柱殼的總傳遞矩陣可以表示為

其中ηR為右端狀態矢量、ηL為左端狀態矢量、T為傳遞矩陣。

1.5邊界條件

1）若兩端為簡支

則兩端v=w=Nx=Mx=0

可得det|T1|=0

2）若兩端自由

則兩端Nx=Mx=Vx=Sx=0

可得det|T2|=0

3）若兩端為固支

則兩端u=v=w=φ=0

可得det|T3|=0時符合

2　數值計算

為了說明本文方法的可靠性，分別對圓柱殼和環肋圓柱殼的固有振動算例分別進行了Matlab編程計算并與有限元軟件Abaqus計算結果進行對比，算例如下：

算例1：

圓柱殼參數：殼體材料的楊氏模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，材料的密度為7 850 kg/m3，圓柱艙段的長度為1 m，半徑為0.5 m，殼體厚度為0.005 m。計算結果如表1所示。

表1　圓柱殼固有頻率計算結果與有限元結果對比/Hz

算例2：

環肋圓柱殼參數：殼體材料的楊氏模量為2.1× 1011Pa，泊松比為0.3，材料的密度為7 850 kg/m3，圓柱艙段的長度為1 m，半徑為0.5 m，殼體厚度為0.005 m。環肋寬度為0.002 m，環肋高度為0.025 m，環肋數為4根，環肋材料與圓柱殼體材料相同。計算結果如表2所示。

從表1可以看出，采用改進傳遞矩陣法與有限元計算圓柱殼固有頻率得出的結果誤差全都小于1%，充分說明了改進傳遞矩陣法的高準確性。

從表2可以看出，對于簡支、自由、固支三種邊界條件，采用改進傳遞矩陣法與有限元法得出環肋圓柱殼振型完全一致，誤差全都小于6%，固有頻率也一致接近，說明了本文采用改進傳遞矩陣法計算環肋圓柱殼的精確性。從表2中發現，當軸向半波數m為5時，相對誤差小于1.5%，這可能由于此時環肋圓柱殼分段數與軸向半波數相同。

從表1和表2發現，環肋圓柱殼的相對誤差與不加肋的圓柱殼相比，誤差要大一些，原因之一是Abaqus本身也是數值解，與真實解存在一定誤差；原因之二是環肋處有點傳遞矩陣，矩陣相乘增多導致總傳遞矩陣的累計誤差比圓柱殼的要大。

從表1和表2發現，不同的邊界條件對于圓柱殼的固有頻率是有影響的，當n為0時，三種邊界條件下的固有頻率幾乎差不多。當n大于0時，自由邊界固有頻率最大；固支邊界固有頻率次之；簡支邊界固有頻率最小。

表2　環肋圓柱殼固有頻率計算結果與有限元結果對比/Hz

3　結語

本文基于Flügge殼體理論的振動微分方程，相對于傳統的傳遞矩陣法，采用改進傳遞矩陣法改變狀態向量的選取，可以快速直接地從振動微分方程導出圓柱殼的場傳遞矩陣，推導十分簡單方便；根據環肋和殼體連接處的變形連續條件，考慮環肋的面內與面外振動，導出了環肋處點傳遞矩陣。最后通過對自由、簡支、固支三種邊界條件下環肋圓柱殼的固有頻率計算結果與有限元計算結果進行對比。可以得出下面結論：

（1）本文采用的改進傳遞矩陣法改變了傳統傳遞矩陣法中狀態向量的選取，直接從振動微分方程推導出傳遞矩陣，大大簡化了傳遞矩陣的推導，使計算過程更加簡便。

（2）對簡支、自由、固支三種邊界條件的環肋圓柱殼的固有頻率進行計算，與有限元計算結果進行對比，驗證了改進傳遞矩陣法處理環肋圓柱殼的振動特性的正確性與準確性，并適用于不同的邊界條件。

（3）不同的邊界條件對圓柱殼和環肋圓柱殼固有頻率是有影響的。當n為0時，三種邊界條件下的固有頻率幾乎相同。當n大于0時，自由邊界固有頻率最高；固支邊界固有頻率次之；簡支邊界固有頻率最低。

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Free VibrationAnalysis of Ring-stiffened Cylindrical Shells Based on Improved Transfer Matrix Method

XU Rui-yang，WANG Xian-zhong，WU Wei-guo
（School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China）

In order to simplify the derivation of the state vector's first order differential equation in the traditional transfer matrix method and obtain the vibration characteristics of ring-stiffened cylindrical shells under different boundary conditions，the improved transfer matrix method is proposed based on Flügge shell theory.This method can be used to improve the selection of the state vectors to get the field transfer matrix which can be solved by a precise integration from the vibration equation directly and quickly.The point transfer matrix can be derived according to the continuous deformation at the connection of the ring and the shell.Finally，comparing the natural frequency calculated by the improved transfer matrix method with the results of FEM under the conditions of free plate，simply supported plate and clamped plate，it is shown that the improved transfer matrix method has effectiveness and applicability.

vibration and wave；improved transfer matrix；ring-stiffened cylindrical shell；precise integration；vibration analysis

O327

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.005

1006-1355（2016）03-0021-05

2015-09-28

國家自然科學基金資助項目（51409200）；中央高校基礎科研（WUT：2014-IV-022）

許瑞陽（1991-），男，江蘇省如皋市人，碩士研究生，主要研究方向為結構振動與聲輻射。E-mail：xuruiyang11@163.com