基于投影空間重構的小信號波束形成

謝少彪，倪濤

（1.上海航天技術研究院上海201109；2.上海衛星工程研究院上海200240）

基于投影空間重構的小信號波束形成

謝少彪1，倪濤2

（1.上海航天技術研究院上海201109；2.上海衛星工程研究院上海200240）

針對基于特征空間（Eigen Space_Based A1gorithm）的自適應波束形成算法在小信號條件下會出現的主瓣偏移，波束畸變，輸出性能急劇下降的現象，提出了一種投影子空間重構的方法。該方法利用噪聲在時間上不相關的特性，對投影空間進行重構，在此過程中削弱噪聲能量，從而有效維持信號、噪聲子空間的正交性，改善了傳統EBS算法在低信噪比下的性能。實際計算機仿真結果表明了本文算法的有效性和優越性。

小信號；波束畸變；波束形成；特征空間；投影空間重構

自適應波束形成技術是陣列信號處理中一個重要分支，它能夠根據實際環境變化，實時調整權值來降低陣列誤差的對波束形成性能的影響，具有相當廣泛的應用前景。采樣矩陣求逆算法（Samp1e Matrix Inversion）是最常用的自適應波束形成算法，該算法收斂速度快，易于實現。但是SMI在少快拍，高信噪比條件下會導致主瓣偏移，波束畸變，輸出SINR下降。為了彌補SMI的缺陷，出現了很多新的算法，其中包括最為常見的對角加載算法［1_2］和子空間投影算法［3_4］。

對角加載通過對Capon最小方差問題進行正則化處理，相當于給陣列采樣協方差矩陣加上一個對角陣，從而減弱小特征值對應的噪聲波束的影響，抑制波束圖畸變。文獻［5_7］對對角加載算法進行了優化改進，但是這些算法并沒有給出加載因子的嚴格標準，存在局限性，不能廣泛適用。特征空間法是將最優權值向信號子空間投影，摒棄噪聲空間的分量。該算法因具有較快的收斂速度和較強的穩健性，也出現了很多改進算法。文獻［8_10］通過對來波方向進行重新估算來加強算法穩定性。文獻［11］利用矢量旋轉方法對預定導向矢量進行校正。文獻［12］為降低算法運算量，利用協方差矩陣的高次冪來逼近信號空間。文獻［13_15］使用Forward_Backward法對協方差矩陣進行重構。這些改進方法或針對矩陣分解求逆來降低運算復雜度，或通過較正預設導向矢量來提高自身魯棒性，但都未考慮算法在弱信號條件下性能的嚴重衰落。本文首先分析了噪聲對波束形成的影響，繼而利用白噪聲在時間上的互不相干的特性，提出了投影矩陣的重構方法，降低了噪聲能量，有利于維持噪聲子空間與信號子空的正交性。該方法實現簡單，以很小的復雜度大大改善了ESB算法在低信噪比少快拍條件下的輸出性能。

1　特征空間投影算法

考慮陣列模型如下：k個信源信號（包括1個期望信號，k_1個干擾信號）入射到陣元數為m，（k＜m）陣元間距為半波長（λ/2）的均勻線陣上。其中：期望信號與干擾信號為兩兩互不相關的窄帶信號；各陣元噪聲為平穩高斯白噪聲。則t時刻接收到的陣列信號為：

其中A=［a（θd），a（θ2），……，a（θk）］，a（θd）和a（θ2）…a（θk）分別為期望信號與干擾信號的空間導向矢量；s（t）=［s1（t），s2（t）…sk（t）］，s1（t）與s2（t）…sk（t）分別為期望信號和干擾信號的復包絡；n（t）為高斯白噪聲。陣列輸出信號為：X（t）=ωHx（t）。容易求得期望信號方向約束條件下的權向量為：

其中μ為常數，a（θd）為期望信號導向矢量，R=E［x（t）xH（t）］為接收信號的協方差矩陣。對協方差矩陣進行特征分解，得到：

其中｛λ1≥λ2≥……λk｝為R的k個大特征值，u1，…，uk為其對應的特征向量，這些特征向量張成信號子空間Es；同時為R的m_k個小特征值，對應特征向量uk+1，…，um，這些特征向量張成噪聲子空間En。在理想情況下，期望信號位于信號子空間，在噪聲子空間投影為0，即有（θd）=0，由式（3）可得：

可以看出，EBS算法只保留了權矢量在信號子空間的分量，摒棄了在噪聲子空間的分量。這樣消除了了噪聲波束對算法的影響，保證期望與干擾信號的輸出功率不變，而輸出噪聲功率減小，因而輸出SINR增大，且收斂速度加快。但該算法的性能優勢只能在強期望信號下得到保證。因為在低信噪比時，信號_干擾子空間與噪聲子空間存在頻繁的交換使得子空間之間的正交特性不能被維持，從而導致自適應波束形成器遭受嚴重的性能衰落。

2　改進的投影子空間重構算法

Em為m維單位矩陣，將式（5）代入式（2），記a（θd）為ad得到：

定義方向圖函數F（ω，θ）=ωHa（θ），由式（6）得則有：

可見在SMI算法中波束不能快速收斂甚至于產生畸變的根本原因在于噪聲波束及其對應的小特征值的波動影響，EBS算法可以分離信號子空間與噪聲子空間，但在期望信號過小時，信號空間與噪聲空間就會混疊。極端情況是信號空間完全不包含期望信號。為了能在低信噪比條件下更好的分離信號子空間與噪聲子空間，考慮相關矩陣：

由于信源為遠場窄帶信號，頻帶遠小于載頻，包絡緩慢變化，即有S（t+△t）=S（t）ejω*△t；噪聲為平穩白噪聲，在時間上的相關性較弱，即有由式（9）化簡得：

此時，相關矩陣中的噪聲分量以已被大量削減。但是新的協方差矩陣引入了復數特征值，在波束形成的過程中會形成偽波束，影響權值確定。為了消除復數特征值引入：

為了便于描述，定義運算［X］為取矩陣X的特征向量。對新構造的協方差矩陣R′分析可得：

設ARsAH矩陣的特征值為λ，對應的特征向量為α，則存在：

即有［R］=［R′］，也就是說本文方法在少快拍，低信噪比條件下能更好的分離信號空間與噪聲空間，保持兩空間的正交性；在高信噪比條件下得到的投影空間與傳統算法得到的投影空間一致，仍保持穩健的輸出性能。

3　仿真與分析

為了驗證本文算法的正確性和優越性，這里給出計算機仿真實例。實驗中，假定陣列模型為8元均勻等距線陣，陣元間距為半波長，來波信號均為遠場窄帶信號，且信源不相干，背景噪聲為高斯白噪聲。以下所有實驗結果均是基于300次Monte Car1o實驗。

仿真實例1：目標信號與干擾信號分別來自0°、30°，干噪比為20 dB，快拍數為30，k取5，在信噪比分別為0 dB、_ 20 dB條件下得到波束形成方向如圖1、圖2所示。

圖1　SNR=0 dB時波束方向圖

圖2　SNR=20 dB時波束方向圖

由圖1可以看出在低快拍條件下，CAPON算法不能正常的形成波束，但是本文算法能夠保持EBS算法在低快拍條件下的優越性，正常的維持波束。圖2可以看到在低快拍，低信噪比條件下EBS完全失效，CAPON算法性能較優但也無法維持良好的波束圖形，但是本文改進算法雖然相比0 dB信噪比條件下旁瓣升高，但是依然維持較好的波束形成圖。說明本文算法較CAPON算法與EBS算法更具優越性，適用范圍更加廣泛。

仿真實例2：目標信號與干擾信號分別來自0°、30°，干噪比為20 dB，快拍數為30，k取5，信噪比區間為_20～20 dB，在此條件下得到輸出SINR圖。

由圖3可以看出，隨著SNR的升高CAPON算法的輸出SINR損失嚴重；EBS算法改善了CAPON的缺陷，但是正如文中所述在低信噪比條件下，性能很差；本文算法不僅改善了EBS算法在低信噪比下的性能，并且在信噪比升高同時也保持了較好的輸出性能。

仿真3：目標信號與干擾信號分別來自0°、30°，干噪比為20 dB，信噪比_20 dB，快拍數30，k取5，指向誤差區間0～10。在此條件下得到輸出SINR圖。

圖3　輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線

圖4　輸出SINR隨指向誤差變化曲線

由圖4不難看出CAPON算法隨指向誤差的增大，性能急劇惡化；EBS具有較強的穩健性，其性能隨指向誤差的增大也會出現周期性的惡化但是變化幅度很小；而本文算法保持了EBS的穩健性，在弱期望信號下輸出性能依然良好，同前面的分析是一致的。

4　結論

本文研究了弱信號、低快拍條件下CAPON算法和EBS算法的性能，分析了噪聲對波束形成的影響。同時利用噪聲在時間上不相關的特點提出了投影子空間的重構算法。該方法能夠在一定程度上削減噪聲能量，加強信號能量，從而有效維持噪聲_信號子空間的正交性，改善了EBS算法在弱信號下的性能。計算機仿真驗證了本文算法的有效性與優越性。

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Weak slgnal beamformlng based on elgen sPace reconstructlon

XIE Shao_biao1，NI Tao2
（1.Shanghai Academy of Spaceflight Technology，Shanghai 201109，China；2.Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai 200240，China）

Aiming at the prob1em of main_1obe offset，beam distortion，and output performance degradation in Eigen Space_ Based A1gorithm，this paper presents an improved a1gorithm based on Eigen space reconstruction，to rep1ace the traditiona1 Eigen space and rea1ize the separation of noise and signa1 space.Simu1ation resu1ts show that the proposed method can efficient1y maintain orthogona1 of noise and signa1 space and improve the SINR performance under the conditions of 1ow SNR.The improved a1gorithm has better steady and app1icative properties.

weak signa1j beam distortionj beamforming j eigen spacej projection space reconstruction

TN911

A

1674_6236（2016）10_0032_03

2016_03_03稿件編號：201603031

航天科技創新基金（CASC2015021）

謝少彪（1980—），男，貴州普安人，碩士，高級工程師。研究方向：衛星導航抗干擾技術。