受軋件水平振動影響的板帶軋機非線性振動特性

劉　彬　姜甲浩　劉　飛　劉浩然　李　鵬

燕山大學，秦皇島，066004

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受軋件水平振動影響的板帶軋機非線性振動特性

劉彬姜甲浩劉飛劉浩然李鵬

燕山大學，秦皇島，066004

基于Roberts摩擦因數公式和Hill軋制力公式，建立能夠表征不同摩擦狀態下的動態軋制力模型；在此基礎上進一步考慮軋機結構的振動和軋件振動之間的相互影響，提出軋件-軋輥耦合振動模型。根據廣義耗散的Lagrange原理，分別沿軋制方向和垂直于軋制方向建立動力學平衡方程；采用多尺度法求解出考慮系統內共振的幅頻特性方程，并仿真分析不同外部激勵和非線性參數作用下的軋機振動規律。研究結果表明：滑動摩擦狀態下耦合系統對內部非線性參數變化和外部擾動變化的敏感程度遠遠高于靜摩擦狀態下的情況；適當選取耦合三次項非線性參數，可以將系統不穩定振動的出現控制在一個較小的頻率區間，削弱軋件-軋輥耦合振動對板帶軋機振動的影響。

板帶軋機；非線性的；動態軋制力；多尺度法；耦合振動

0　引言

軋機振動特別是軋機的垂直振動，是冷軋帶鋼產品生產效率低下的關鍵問題所在，嚴重影響了軋制產品的質量和軋制速度的提高[1]。軋機的劇烈振動甚至有可能造成斷帶或設備損壞事故，嚴重威脅生產安全并可能造成巨大的經濟損失[2-3]。在實際板帶軋制生產過程中，經常會伴隨著軋機振動的發生[4]；然而，軋機的振動并不是單一結構作用所導致的，而是由多元結構的非線性因素相互耦合引起的，對連軋機耦合機理的深入研究是解決這一難題的關鍵所在[5]。

針對連軋機耦合振動的問題，國內外研究人員做了許多研究工作。文獻[6]考慮傾角、自重和偏心角等因素對萬向接軸振動的影響，建立了軋機萬向接軸的彎扭耦合振動模型，通過對軋機實際數據的現場測試證明了軋機彎扭耦合振動的存在。文獻[7]在轉子彎扭耦合振動的基礎上，分析了一種旋轉軸系的轉子彎扭擺耦合振動，并通過仿真分析得出結論：當機械高速旋轉時，扭振和擺振的影響不可忽略。文獻[8]通過對軋機機電液多態耦合振動的研究，設計了一種二階扭振抑制器，并將其應用到軋機主傳動控制系統中，一定程度上控制了軋機的機電液耦合振動現象。另有學者考慮軋制力影響下的軋機水平剛度的動態變化，建立了軋機系統垂直振動、工作輥水平振動和主傳動系統扭振之間的耦合振動模型，通過對實際軋機的現場測試，得出調整軋機剛度可以減弱軋機受耦合振動影響所發生的異常振動的結論[9]。以上研究都是分析軋輥單一系統的振動情況，沒有考慮軋件水平振動對軋機振動的影響。然而當輥縫間軋件同軋輥產生相對位移時，軋件和軋輥這二元結構的振動相互影響，軋件和軋輥之間的摩擦力以及軋制力等參數相應地發生變化，由輥縫軋件水平振動所引起的軋機振動不可忽略[10]。為了更加系統而全面地分析軋機的耦合振動行為特性，需要建立反映輥縫摩擦狀態的耦合模型。

本文在以往軋機耦合振動研究的基礎上，考慮軋制過程中軋輥和輥縫間軋件振動行為的相互影響，建立了一種考慮軋件水平振動的動態軋制力模型，在此基礎上將軋機結構的振動同軋件的水平振動聯系起來，提出板帶軋機振動的軋件-軋輥耦合振動模型，研究不同輥縫摩擦狀態下外部擾動以及內部參數大小對軋機系統非線性振動行為的影響。

1　考慮軋件水平振動的軋制力模型

冷軋軋制力公式一般采用如下形式[11]：

F=BlcQpKTK′

(1)

ε=Δh/HΔh=H-h-2y

摩擦因數的變化主要與變形區油膜厚度有關，可近似地用Roberts摩擦因數公式計算[12]:

(2)

式中，K1、K2為摩擦特性系數，根據Roberts的統計型公式，K1的取值應該接近0.5，K2的取值應界于0.0005～0.002之間，這里取K1=0.51，K2=0.001；D為工作輥直徑；v為軋制速度。

(3)

圖1　輥縫間軋件彈簧-阻尼器模型

整理得到輥縫摩擦因數的表達式為

(4)

λ=(K1-0.5)e-K2v0

其中，b0，b1，…，b5均為大于零的待定常數。

(5)

式中，ΔF為軋制力的動態變化部分。

從式(1)和式(5)中可以看出：參數In(n=0，1，…，8)的取值和軋件寬度、軋輥半徑、軋件出入口厚度以及前后滑區張力等軋制參數有關；然而，軋件寬度B和軋輥半徑R的數值在工作過程中的變化很小，且通過人為改變B或R的難度較大。所以，在實際軋制過程中可以通過調控軋件的出入口厚度或者前后張力來達到改變In數值大小的目的。

摩擦力的表達式為

Ff=2(μ0+Δμ)(F0+ΔF)

(6)

式中，μ0為輥縫摩擦因數的穩態值；Δμ為輥縫摩擦因數的動態變化量；F0為軋制力的穩態值。

摩擦力的動態變化量可以表示為

ΔFf=2μ0ΔF+2ΔμF0

(7)

將式(4)和式(5)代入式(7)得摩擦力的動態變化量為

(8)

2　軋件-軋輥耦合振動模型

考慮軋件的水平振動，建立如圖2所示的受軋件水平振動影響的兩自由度軋機結構簡化模型。其中m1和m2分別為上部輥系和下部輥系的等效質量，k1和c1分別為上部輥系與機架上橫梁之間的等效剛度和等效阻尼，k2和c2分別為下部輥系與機架底座之間的等效剛度和等效阻尼；y1為上部輥系的振動位移，y2為下部輥系的振動位移[11],F*為軋輥受到的外部因素擾動。

圖2　板帶軋機結構動力學模型

根據廣義耗散的Lagrange原理，軋輥在垂直方向上的動力學平衡方程為

(9)

考慮軋機上下部輥系的結構和振動特性的對稱性，有m1=m2，c1=c2，y1=-y2，k1=k2。這樣式(9)中的兩個方程就具有相同的表達形式[11]。為簡化分析步驟，就軋機上部輥系進行分析，且令M為上部輥系的等效質量；K為上部輥系與機架上橫梁間的等效剛度；C為上部輥系與機架上橫梁間的等效阻尼；所以式(9)可以表示為

(10)

由于在冷軋過程中軋輥接近于完全彈性壓扁，即軋輥與軋件的接觸面近似為平面，在此基礎上構造軋件水平振動的動力學平衡方程如下：

(11)

m=ρV

V=Blc(H+h)/2

式中，m為接觸區軋件質量；ρ為軋件密度；V為接觸區軋件的體積。

(12)

3　耦合方程求解

設軋輥受到周期性的外部擾動力作用，令F*=F′cosΩt，其中，F′為外激勵幅值。對振動方程進行簡化得

(13)

η11=2b0/mη12=2I0/mβ2=C/M

(14)

引入兩種時間尺度T0=t、T1=εt，對時間t的導數可寫為

(15)

(16)

將式(15)、式(16)代入式(14)得

(17)

(18)

設零次項方程組式(17)的解為

(19)

將式(19)代入一次項方程組式(18)中，并考慮系統內共振，令Ω=ω20+εσ，ω10=ω20+εσ1，其中，σ、σ1為頻率調諧因子。為了避免方程組中出現久期項，必須滿足：

(20)

為了求解方程，引入復函數A、B的極坐標形式:

其中，a、b、θ1、θ2都是時間T1的函數。引入中間變量φ、φ，定義φ=θ2-θ1-σ1T1、φ=σT1-θ2，將A、B、φ、φ代入式(20)中，令等式兩邊的實部和虛部系數相等，可得

(21)

(22)

cosφ=

sinφ=

式(22)即為耦合振動的幅頻方程。從方程的解可以看出，幅頻特性方程中包含軋輥振動幅值的高次項以及耦合項，振動情況情況十分復雜，得到的耦合振動的幅頻方程是進一步研究板帶軋機非線性振動行為的基礎。

4　仿真分析

以某廠1780連軋機實際參數為例，對本模型所建立的軋件-軋輥耦合振動方程進行數值解析，模型中所用到的軋機參數如表1所示。

表1　軋件-軋輥耦合振動系統仿真參數

4.1時域特性

軋件和軋輥的振動分別受到非線性摩擦力和非線性軋制力約束的影響，而且軋制力和摩擦力之間存在著耦合關系。因此，本文以表1中實際軋機參數為例，研究外激勵幅值變化時軋機系統的振動規律，仿真結果如圖3～圖4所示。

從圖3所示的系統響應可以看出，在給定系統參數下仿真得到的摩擦因數的變化呈現正負幅值不相等的波形，軋制力變化量關于零值線不對稱分布且波峰出現“凹陷”現象。比較圖3和圖4所示的系統響應，當外激勵幅值增大時，摩擦因數變化為負值的區域增大，軋制力變化量的波峰幅值減小，且隨著外激勵幅值的增大，軋制力變化將出現只減不增的情況；同時，軋件水平振動速度在對應軋制力波峰凹陷的時刻出現波動，且隨著時間的推移，軋件水平振動的方向有多次切換的趨勢。

4.2頻域特性

考慮到軋件運動狀態對非線性軋制力模型和非線性摩擦力模型的影響，將軋件和軋輥之間的摩擦狀態分為靜摩擦狀態和滑動摩擦狀態兩種情況討論，研究非線性軋制力和非線性摩擦力模型中的參數變化以及外激勵幅值的變化對系統幅頻特性的影響規律。

(a)軋件水平振動速度曲線

(b)軋制力變化曲線

(c)軋制力變化曲線局部放大圖

(d)摩擦因數變化曲線圖3　外激勵幅值F′=0.5 MN時的系統響應

(23)

式(23)即為軋件和軋輥處于靜摩擦狀態下，軋輥垂直振動的幅頻方程，由此分析軋輥振動受模型中的非線性參數I2、I8以及外激勵幅值F′變化的影響，仿真結果如圖5所示。

(a)軋件水平振動速度曲線

(b)軋件水平振動速度曲線局部放大圖

(c)軋制力變化曲線

(d)摩擦因數變化曲線圖4　外激勵幅值F′=2 MN時的系統響應

考慮系統外部的影響，通過改變外激勵的幅值得到軋輥垂直振動的幅頻特性曲線，如圖5a所示，增大外激勵幅值使得軋輥垂直振動的幅值增大，但軋輥振動的幅頻特性曲線并未出現跳躍現象；考慮系統內部的影響，通過改變系統內部參數I2、I8的大小來研究軋輥垂直振動的規律。圖5b中，增大I2的絕對值，軋輥垂直振動的共振頻率向右平移；圖5c中，增大I8的絕對值，隨著外激頻率的變化，軋輥垂直振動的幅值逐漸向右偏移，軋輥垂直振動幅值出現跳躍現象，系統出現不穩定的頻率區段。然而從圖5c中也可見，系統的幅頻特性曲線對I8的變化極不敏感，想要觀察到明顯的跳躍現象，需要將I8的大小做幾個數量級的調整，這在系統實際參數的約束下是很難實現的。因此，當軋件和軋輥處于靜摩擦狀態時，軋輥的垂直振動較為穩定。

(a)外激勵幅值F′變化時軋輥垂直振動幅頻特性曲線

(b)非線性參數I2變化時軋輥垂直振動幅頻特性曲線

(c)非線性參數I8變化時軋輥垂直振動幅頻特性曲線圖5　靜摩擦狀態下軋輥垂直振動幅頻特性曲線

當軋件和軋輥之間為滑動摩擦狀態時，根據計算得到的耦合振動幅頻方程式(23)，研究外激勵幅值F′以及內部非線性參數I6、I7大小變化對系統幅頻特性的影響，仿真結果如圖6所示。

外激勵幅值變化時耦合系統的振動規律如圖6所示。增大外激勵幅值，軋輥垂直振動的幅值增大且出現跳躍現象的頻率區域減?。卉埣l生水平振動的有效頻率段增大，軋件水平振動不穩定頻率段減小。內部非線性參數變化時耦合系統的振動規律如圖6c和圖6d所示。增大非線性參數I6的絕對值大小，軋輥垂直振動的共振頻率向右平移；增大非線性參數I7的絕對值大小，軋輥垂直振動幅頻曲線向右偏轉，系統不穩定頻率段增大。對比圖5和圖6中相同參數的仿真結果可見，滑動摩擦狀態下軋輥垂直振動對外激勵幅值和內部非線性參數大小變化的敏感程度以及振動幅值的數量級遠遠高于靜摩擦狀態下的情況。

5　結論

(1)本文考慮輥縫間軋件的振動狀態，建立了包含輥縫軋件和軋輥間靜摩擦和滑動摩擦兩種情況下的動態軋制力模型；并建立了滑動摩擦狀態下軋件-軋輥耦合振動模型。將軋件和軋輥這兩個相對獨立單元的振動行為聯系起來。

(a)外激勵幅值F′變化時軋輥垂直振動幅頻特性曲線

(b)外激勵幅值F′變化時軋件水平振動幅頻特性曲線

(c)非線性參數I6變化時軋輥振動幅頻特性曲線

(d)非線性參數I7變化時軋輥振動幅頻特性曲線圖6　滑動摩擦狀態下系統振動幅頻特性曲線

(2)輥縫間軋件和軋輥間處于滑動摩擦狀態時，軋輥垂直振動的幅值以及對外激勵幅值和內部非線性參數大小變化的敏感程度遠遠高于靜摩擦狀態下的情況，軋件和軋輥間處于滑動摩擦狀態時，軋機輥系更容易發生振動。

(3)軋機系統出現軋件-軋輥耦合振動時，系統抗外激勵擾動的能力下降，隨著外激頻率的變化，系統振幅出現明顯的跳躍現象；通過合理選取內部非線性耦合三次項參數I6、I7的數值可以控制系統發生不穩定振動的頻率段，減弱耦合振動對軋機系統的影響。

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(編輯王艷麗)

Nonlinear Vibration Characteristics of Strip Mill Influenced by Horizontal Vibration of Rolled Piece

Liu BinJiang JiahaoLiu FeiLiu HaoranLi Peng

Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Based on the Roberts friction factor formula and the Hill rolling force formula, a kind of dynamic rolling force model was established. The model might characterize different friction states. On the basis of further consideration of the interaction between the structure of rolling mill vibrations and rolled piece vibrations, a coupling vibration model of rolled piece-roll was proposed. According to the Lagrange principle of generalized dissipation, a dynamic equilibrium equation was established respectively both of in rolling direction and in vertical direction. Then by using the method of multiple scales, the amplitude-frequency characteristic equation of the system was solved. The law of mill vibration influenced by different internal nonlinear parameters and external excitations was analyzed. Research results show that when rolled piece is slided, the coupling system is far more sensitive to the change of internal nonlinear parameters and external excitation than static state. If the coupling cube nonlinear parameters are reasonable, the occurance of system unstable vibration may be controlled in a small frequency range, which may weaken the impacts from rolled piece-roll coupling system on the vibration of strip mill.

strip mill; nonlinear; dynamic rolling force; multiple scale method; coupling vibration

2015-11-23

國家自然科學基金資助項目(51405068)；河北省自然科學基金資助項目(E2015203349)

TG113；TB123

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.017

劉彬，男，1953年生。燕山大學電氣工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為軋機振動及控制。姜甲浩，男，1991年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。劉飛，男，1986年生。燕山大學信息科學與工程學院博士研究生。劉浩然，男，1980年生。燕山大學信息科學與工程學院副教授。李鵬，男，1990年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。