自由下落拋錨時(shí)錨的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

于 洋， 房家勝， 姜海波, 2

(1. 大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026； 2. 中海客輪有限公司 安全管理部， 遼寧 大連 116003)

YU Yang1, FANG Jiasheng1, JIANG Haibo1, 2

自由下落拋錨時(shí)錨的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

于 洋1， 房家勝1， 姜海波1, 2

(1. 大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026； 2. 中海客輪有限公司 安全管理部， 遼寧 大連 116003)

為研究錨下落速度的變化規(guī)律，求取最大下落速度，在對(duì)錨和錨鏈進(jìn)行受力分析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出錨下落運(yùn)動(dòng)微分方程，并給出定解條件。通過模擬計(jì)算，直觀顯示錨下落速度的變化規(guī)律。進(jìn)一步分析表明，錨機(jī)鏈輪的慣性阻力、錨入水沖擊力及錨與錨鏈在水中的附加慣性阻力等僅延長(zhǎng)錨到達(dá)最大速度的時(shí)間，對(duì)最大下落速度值的影響極小。錨的最大下落速度主要與錨和錨鏈的質(zhì)量、二者在水中的阻力及錨鏈與錨鏈筒之間的摩擦阻力有關(guān)。

航海技術(shù); 錨泊; 自由下落; 變質(zhì)量; 數(shù)學(xué)模型

YUYang1,FANGJiasheng1,JIANGHaibo1, 2

Abstract: In order to know the variation and the maximum value of the dropping speed, the differential equation reflecting the anchor movement is built, and the definite conditions is defined based on the force analysis of the anchor and the chain. The anchor dropping is simulated based on the differential equation. The analysis reveals that the inertial resistance of chain grub wheel, water impact force and the additional inertial resistance of anchor and chain decrease the acceleration but have little effect on the maximum value of the dropping speed. The maximum dropping speed is primarily affected by the weights of the anchor and the chain, the resistances of those in water, the frictional resistance between the chain and the hawse pipe and the force from brake band, if exerted.

Keywords: navigation technology; anchoring; dropping by its weight; variable mass; mathematical model

船舶采用自由下落法拋錨時(shí)，錨的下落速度關(guān)系到錨泊安全。船舶在錨地拋錨時(shí)，通常根據(jù)錨地水深的不同采用自由下落式拋錨和錨機(jī)送錨式拋錨2種方法，其中：自由下落式拋錨又稱重力式拋錨，適用于一般水深的錨地，錨觸底時(shí)間短，易于控制船位；錨機(jī)送錨式拋錨適用于深水錨地，錨觸底速度小，但操作復(fù)雜，用時(shí)較長(zhǎng)，落錨點(diǎn)不易控制。這2種拋錨方法雖然在操作上有所差別，但都要控制錨的下落速度以保證安全。

鑒于上述情況，對(duì)錨自由下落時(shí)與錨鏈的受力情況進(jìn)行分析，給出變質(zhì)量、變加速度的錨下落運(yùn)動(dòng)模型，以便揭示錨下落運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并作為開展相關(guān)研究的基礎(chǔ)。

1 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程一般表達(dá)式

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中連續(xù)地減少或增加質(zhì)量時(shí)，由動(dòng)量定理可推導(dǎo)出變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)矢量方程[7]為

(1)

式(1)中：m為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，m=m(t)，即質(zhì)量為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)；V為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度；F為質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力；Vr為微質(zhì)量在加入或離開質(zhì)點(diǎn)時(shí)與質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度；dm為加入或放出的微質(zhì)量。

以上物理量均采用標(biāo)準(zhǔn)國(guó)際單位。當(dāng)dm/dt>0時(shí)，表示不斷有質(zhì)量加入；當(dāng)dm/dt<0時(shí)，表示不斷有質(zhì)量放出。

2 錨自由下落運(yùn)動(dòng)方程

在錨下落過程中，不斷有錨鏈從錨鏈艙加入到錨與錨鏈的運(yùn)動(dòng)中來。在t時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)包括錨的質(zhì)量和錨鏈的質(zhì)量，加入運(yùn)動(dòng)的微質(zhì)量是單位時(shí)間內(nèi)錨鏈艙中從靜止?fàn)顟B(tài)到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的那一段錨鏈的質(zhì)量。因此，系統(tǒng)的質(zhì)量可寫成

m(t)=ma+mc(t)

(2)

式(2)中：ma為錨的質(zhì)量(固定值，不隨時(shí)間變化)；mc為錨鏈的質(zhì)量，是時(shí)間t的函數(shù)。

圖1為錨設(shè)備布置示意，其中錨已備妥，懸掛在水面之上。

圖1 錨設(shè)備布置示意

現(xiàn)取曲線坐標(biāo)s，與錨鏈線重合，其原點(diǎn)O設(shè)在舷外垂直段錨鏈上的端點(diǎn)處。運(yùn)動(dòng)中的錨鏈長(zhǎng)度S(t)為

S(t)≈s(t)+L1+L2+0.5π(R1+R2)+H2

(3)

式(3)中：s(t)為錨卸扣至錨鏈筒下端口(即坐標(biāo)原點(diǎn))的垂直距離；H2為錨機(jī)鏈輪至錨鏈艙的垂直段錨鏈長(zhǎng)度，隨錨鏈的不斷放出而逐漸增大，但考慮到錨鏈艙直徑較大，其增加量比錨鏈的放出長(zhǎng)度小很多，故在放出錨鏈不多的情況下假定H2為常量。

運(yùn)動(dòng)部分的錨鏈質(zhì)量可表示為

mc(t)=γS(t)

(4)

式(4)中：γ為單位長(zhǎng)度錨鏈質(zhì)量。

由式(2)～式(4)可得

(5)

錨鏈艙內(nèi)加入運(yùn)動(dòng)的微質(zhì)量錨鏈在運(yùn)動(dòng)前的速度為0，運(yùn)動(dòng)后的速度為v，因此加入運(yùn)動(dòng)時(shí)的相對(duì)速度為-v，即vr=-v。將其與式(2)～式(5)一同代入到式(1)中，可得錨下落運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是對(duì)錨和錨鏈系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，給出合外力∑F的具體表達(dá)式。

3 錨與錨鏈?zhǔn)芰Ψ治?/h2>

船舶拋錨過程中錨與錨鏈所受的外力包括：錨與錨鏈的重力，錨入水時(shí)所受的沖擊力，錨與錨鏈在水中所受的浮力、阻力和附加慣性阻力，錨鏈與錨鏈筒、錨鏈管的摩擦力，錨機(jī)鏈輪與導(dǎo)鏈滾輪的慣性阻力，錨機(jī)鏈輪、導(dǎo)鏈滾輪與轉(zhuǎn)軸之間的摩擦阻力及剎車阻力等。在這些外力中，錨鏈與錨鏈管的摩擦阻力，錨機(jī)鏈輪、導(dǎo)鏈滾輪與轉(zhuǎn)軸的摩擦阻力及導(dǎo)鏈滾輪的慣性阻力忽略不計(jì)。

3.1錨入水所受沖擊力

錨入水時(shí)的沖擊力F3的計(jì)算較為困難，這里采用卡門模型[8]近似計(jì)算為

F3=c3ρwv2AH1-Ha≤s

(7)

式(7)中：ρw為水的密度；A為錨入水時(shí)錨體的水平投影面積；Ha為錨體高度；Δs為錨從擊水開始至結(jié)束的垂直距離；c3為無因次系數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]可推得其值為

(8)

式(8)中：ρs為鋼的密度；α為錨入水時(shí)錨的底升角，亦即錨冠底面與水平面的夾角。

3.2錨與錨鏈重力(含浮力)

錨與錨鏈的重力在入水前為其空氣中的重力；入水后，其水上部分為空氣中的重力，水下部分為水中的重力。

1) 錨的重力F1為

(9)

2) 錨鏈的重力F2為

(10)

式(10)中:Hd為錨鏈筒下端口至錨機(jī)鏈輪軸心的垂直高度。

Hd≈L1sinθ1+L2sinθ2+R1-R2

(11)

3.3錨與錨鏈在水中的阻力

錨與錨鏈在水中的阻力一般假定與運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比，分別表示為

(12)

(13)

式(12)和式(13)中：d為錨鏈直徑，m；c4和c5分別為錨與錨鏈水阻力無因次系數(shù)，c4=0.6，c5=0.2。

3.4錨與錨鏈在水中的附加慣性阻力

錨與錨鏈在水中作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)帶動(dòng)周圍水體一起加速運(yùn)動(dòng)，即錨與錨鏈要對(duì)周圍水體施加一個(gè)作用力來推動(dòng)該水體作加速運(yùn)動(dòng)。根據(jù)理論力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，水體對(duì)錨與錨鏈的反作用力可用慣性阻力的形式計(jì)入外力系中。錨的附加慣性阻力F6及錨鏈的附加慣性阻力F7分別表示為

(14)

(15)

式(14)和式(15)中：maa和mca分別為錨與錨鏈的附加質(zhì)量；maa需通過試驗(yàn)確定；mca由式(36)給出。

3.5錨鏈與錨鏈筒的摩擦力

錨鏈與錨鏈筒的摩擦力記為F8，可表示為

F8=fcT

(16)

式(16)中：fc為錨鏈與錨鏈筒摩擦阻力系數(shù)，比鋼與鋼的摩擦因數(shù)大一些，具體數(shù)值需通過試驗(yàn)確定；T為錨鏈筒舷外孔處錨鏈張力，可根據(jù)舷外垂直段錨鏈(s≥0)及錨的運(yùn)動(dòng)方程來建立T與其他變量間的關(guān)系。該方程也是一個(gè)變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程。由于從s=0點(diǎn)上方加入的錨鏈微質(zhì)量速度與垂直段錨鏈速度相同(即vr=0)，因此可推得

(17)

3.6錨機(jī)鏈輪的慣性阻力

錨在加速下落過程中，錨機(jī)鏈輪以相應(yīng)的角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生慣性阻力，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，將該阻力F9計(jì)入外力系中，有

(18)

式(18)中：ε為鏈輪角加速度；I為錨機(jī)鏈輪包括與鏈輪固定在一起的剎車帶輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3.7錨機(jī)剎車力

錨下落過程中錨機(jī)剎車帶施加到錨鏈上的阻力記為F10，隨剎車手輪的旋緊而逐漸增大。

備錨階段，剎車帶為剎緊狀態(tài)；拋錨時(shí)，剎車帶在逐漸旋松過程中雖然尚未完全松開，但只要?jiǎng)x車力小于錨及部分錨鏈的重力，錨就開始下落。錨下落的臨界剎車力為F0≈(1-fc)[Ma+γ(s+Hd-H2)]g，其中fc為錨鏈與錨鏈筒之間的靜摩擦因數(shù)。隨著剎車帶繼續(xù)旋松，剎車力迅速減小。假定剎車力的下降規(guī)律為F10=F0e-5t，即

F10=(1-fc)[Ma+γ(s+Hd-H2)]ge-5t

(19)

錨開始移動(dòng)后，fc取動(dòng)摩擦因數(shù)。

至此，錨與錨鏈運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)所受的主要外力均已得到，合外力可表示為

∑F=(F1+F2)-(F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10)

(20)

4 錨下落運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型建立

聯(lián)立式(6)～式(15)及式(17)～式(20)，得到錨下落運(yùn)動(dòng)方程為

(21)

式(21)中：M(s)，W(s)和Γ(s)根據(jù)錨下落階段的不同而有不同寫法。

1) 錨冠入水之前(s

(22)

W(s)=(1-fc)[ma+γ(s+Hd-H2)]g-F10

(23)

Γ(s)=γ

(24)

2) 錨擊水階段(H1-Ha≤s

Γ(s)=(1-fc)c3ρwA+γ

(25)

M(s)和W(s)仍為式(22)及式(23)。

3) 錨擊水階段結(jié)束、錨鏈入水之前(H1-Ha+Δs≤s

(26)

W(s)=(1-fc)[0.87ma+γ(s+Hd-H2)]g-F10

(27)

Γ(s)=(1-fc)c4ρwA+γ

(28)

4) 錨鏈入水后(s≥H1)

(29)

W(s)=(1-fc) [0.87ma+γ(H1+Hd-H2)+ 0.87γ(s-H1)]g-F10

(30)

Γ(s)=(1-fc)ρw[c4A+c5d(s-H1)]+γ

(31)

再補(bǔ)充一個(gè)方程

(32)

及初始條件

(33)

式(33)中：H0為備錨后錨冠至水面的距離。式(21)～式(33)就是錨下落運(yùn)動(dòng)的微分方程和定解條件。采用數(shù)值方法求解上述方程較為方便。將式(21)和式(32)中的微分用差分代替，則有

(34)

si+1=si+0.5(vi+1+vi)Δt

(35)

式(22)～式(31)中的S和s換成Si和si即可，與式(34)及式(35)組成差分求解格式，其中Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，自行設(shè)定。

具體計(jì)算步驟：

(1) 利用初始條件式(33)，將t=0時(shí)刻的s1=H1-Ha-H0代入到式(22)和式(23)中，求出M(s1)和W(s1)；

(2) 將其與Γ(s1)=r和v1=0一起代入到式(34)中求出v2，然后用式(35)求出s2；

(3) 得到v2和s2后，重復(fù)上述步驟求出v3和s3，以此類推，第1階段的計(jì)算結(jié)果作為第2階段計(jì)算的初始條件，直到第4階段即可將錨下落過程中的速度和位置及隨時(shí)間變化的情況計(jì)算出來。

此外，在第4階段，隨著錨鏈入水長(zhǎng)度越來越大，錨鏈的附加質(zhì)量mca也越來越大，可將其表示為

(36)

式(36)中：c7為無因次系數(shù)；3.6d為有擋鏈環(huán)寬度。文獻(xiàn)[9]給出c7=0.1。

5 模擬算例

為直觀地了解數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行模擬計(jì)算，其中錨鏈與錨鏈筒的摩擦因數(shù)、錨在水中加速下落時(shí)的附加質(zhì)量在算例中取近似值。

某船配備霍爾錨，單錨質(zhì)量ma=6 000 kg，錨體高度Ha=3.285 m，錨頭投影面積A=1.881 m2，配2級(jí)錨鏈，錨鏈直徑d=0.068 m。錨機(jī)鏈輪半徑R2=0.45 m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=270 kg·m2，導(dǎo)鏈滾輪半徑R1=0.2 m。錨鏈筒長(zhǎng)L1=4 m，與水平面夾角θ1=50°，筒體下端距水面高H1=8 m；導(dǎo)鏈滾輪與錨機(jī)鏈輪間距L2=3 m，θ2=15°。錨機(jī)鏈輪下方至錨鏈艙內(nèi)懸垂錨鏈長(zhǎng)度H2=4 m。備錨后，錨距水面高H0=1.5 m。假設(shè)錨的附加質(zhì)量為錨排開同體積水的質(zhì)量的1.6倍，即maa=1.6maρw/ρs；錨鏈與錨鏈筒靜摩擦因數(shù)fc=0.25，動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2。在計(jì)算系數(shù)c3時(shí)，將霍爾錨錨冠至助抓突角的傾斜角α近似取為30°，則得c3=4.5。錨擊水進(jìn)程取Δs=1.1 m。海水密度為1 025 kg/m3，鋼密度為7 850 kg/m3。時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.02 s。當(dāng)|vi+1-vi|/vi<0.001時(shí)，計(jì)算停止。計(jì)算出的錨下落速度與位置的關(guān)系見圖2。

圖2 錨下落速度與其位置關(guān)系

從圖2中可看出，錨下落的基本規(guī)律為：從備錨位置到入水前的速度隨下落距離的增大而逐漸增大，入水時(shí)受擊水反作用力的影響而又漸漸減小；擊水階段之后，速度持續(xù)增大，直至趨于穩(wěn)定值。NAKAYAMA[10]所進(jìn)行的實(shí)船投錨試驗(yàn)結(jié)果表明，質(zhì)量為6.84 t的霍爾錨從水面之上3.4 m處拋下，落到水下17 m時(shí)的速度是6.8 m/s。算例中錨的質(zhì)量及拋錨高度雖與其存在差別，但結(jié)果大體上吻合。

6 結(jié)束語

運(yùn)用變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程建立錨下落運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出變質(zhì)量、變加速度的錨運(yùn)動(dòng)微分方程，并給出定解條件。從模擬算例結(jié)果看，該模型描述的錨下落運(yùn)動(dòng)規(guī)律基本上符合實(shí)際情況。錨機(jī)鏈輪的慣性阻力、錨入水沖擊力及錨與錨鏈在水中的附加慣性阻力影響著錨下落速度變化過程，使錨達(dá)到最大速度的時(shí)間延長(zhǎng)，但對(duì)最大下落速度值的影響極小。錨的最大下落速度取決于錨與錨鏈的質(zhì)量、二者在水中的阻力及錨鏈與錨鏈筒之間的摩擦力和剎車力等。在模擬計(jì)算中，錨鏈與錨鏈筒的摩擦因數(shù)、錨入水沖擊力及錨在水中的附加質(zhì)量等是估算的，還需要試驗(yàn)測(cè)定和驗(yàn)證。下一步將開展相關(guān)研究以完善該模型，并通過實(shí)船拋錨試驗(yàn)來驗(yàn)證。

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MathematicalModelofAnchorDroppingbyitsWeight

(1.Navigation College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2.Safety Management Department, China Shipping Passenger Liner Co., Ltd., Dalian 116003，China)

U675.922

A

2016-04-11

國(guó)家自然科學(xué)基金(51379026)

于 洋(1963—)，男，遼寧大連人，教授，博士，主要研究方向?yàn)榇傲黧w力學(xué)與航海技術(shù)。E-mail: ekship@aliyun.com

1000-4653(2016)02-0071-05