數形結合“妙”解數學問題

數形結合是在數學解題過程中的一種重要解題思想，它是根據數與形之間的對應關系，通過數和形的相互轉化解決數學問題的.數形結合的實質是將較抽象的數學語言和直觀的圖象結合起來，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化，其應用包括兩個方面：（1）把某些抽象的數學問題直觀化、形象化，揭示數學問題的本質；（2）把直觀圖形數量化，使其更加精確.現整理如下題型供大家體會：

題型一：數形結合解決方程的根的個數問題

例1.對于實數a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤bb2-ab，a>b設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1，x2，x3的取值范圍是________.

題型分析：本題屬于新定義題型，需先寫出f（x）的解析式，然后將方程f（x）=m的根的個數轉化為求函數y=f（x）圖象與直線y=m交點的個數.

解析：由定義知f（x）=2x2-x，x≤0-x2+x，x>0

解：因為a>0，所以二次函數f（x）的圖象開口向上.

又f（0）=-1，所以要使函數f（x）的一個零點在區間（1，2）內，則有a>bf（1）<0f（2）>0，即如圖2所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區域，式子表示平面區域內的點P（a，b）與點Q（-1，0）連線的斜率.

而直線QA的斜率k=1，直線4a+2b-1=0的斜率為-2，顯然不等式組所表示的平面區域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為（-2，1），故選D.

反思：如果等式、代數式的結構蘊含明顯的幾何特征，就要考慮用數形結合的思想方法解題，即所謂的幾何法求解.

題型三 數形結合解幾何問題

例3.如圖3，已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（ ）

題型分析：本題可以結合圖形將拋物線上的點P到焦點的距離轉化為到準線的距離，再探求最值.

解析：定點Q（2，-1）在拋物線內部，由拋物線的定義可知，動點P到拋物線焦點的距離等于它到準線的距離，問題轉化為當點P到點Q的距離和點P到拋物線的準線距離之和最小時，求點P的坐標，顯然點P是直線y=-1和拋物線y2=4x的交點時，兩距離之和取最小值，解得這個點的坐標是（，-1），答案為A.

反思：在幾何中的一些最值問題中，可以根據圖形的性質結合圖形上點的條件進行轉換，快速求得最值.

縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法處理一些抽象的數學問題，可以起到事半功倍的作用，數形結合的重點是研究“以形助數”，把代數問題與圖形緊密結合起來，可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.

參考文獻：

熊云豐.巧用數形結合的思想解題[J].才智，2008（24）.

編輯 楊國蓉