聯合角度和時差的單站無源相干定位加權最小二乘算法

趙勇勝　趙擁軍　趙 闖

（解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院 鄭州 450001）

聯合角度和時差的單站無源相干定位加權最小二乘算法

趙勇勝*趙擁軍趙 闖

（解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院 鄭州 450001）

針對利用單個觀測站接收多個外輻射源信號從而實現對目標定位的單站無源相干定位問題，該文提出了一種聯合角度和時差的加權最小二乘定位算法。首先，將角度和時差的觀測方程線性化處理，考慮方程中的各項誤差，將定位問題建立為加權最小二乘模型。然后利用迭代方法對模型求解。最后，對算法的定位性能進行了理論分析。仿真結果表明，不同于僅時差定位方法至少需要3個外輻射源才能定位，聯合角度和時差定位方法僅需一個外輻射源即可定位，且在同樣數量外輻射源條件下估計精度高于僅時差定位；算法的均方誤差低于最小二乘算法，在時差測量噪聲較大時定位精度仍然能逼近克拉美羅界。此外，對系統幾何精度因子圖的分析表明，目標及輻射源的位置對定位精度也有重要影響。

角度；時差；無源定位；外輻射源；加權最小二乘

引用格式：趙勇勝，趙擁軍，趙闖.聯合角度和時差的單站無源相干定位加權最小二乘算法［J］.雷達學報，2016，5（3）：302-311.DOI：10.12000/JR15133.

Reference format：Zhao Yongsheng，Zhao Yongjun，and Zhao Chuang.Weighted least squares algorithm for single-observer passive coherent location using DOA and TDOA measurements［J］.Journal of Radars，2016，5（3）：302-311.DOI：10.12000/JR15133.

1　引言

基于外輻射源的無源定位方法，又稱為無源相干定位（Passive Coherent Location，PCL）。作為一種特殊的雙基地雷達，PCL系統本身不輻射電磁波，而是利用第三方的非合作輻射源來探測目標，具有結構簡單，成本低，高隱蔽性，不占用頻譜資源，抗電子干擾，可探測隱形目標等優點［1］。多年來，一直是國際雷達領域的研究熱點。

無源定位中，對于本身可以輻射電磁波的輻射源目標，可以通過接收其信號對其定位［2］。而當目標處于無線電靜默或目標本身不能輻射電磁波時，上述方法將失效。此時，可以利用第三方的外輻射源來照射目標，通過接收外輻射源的直達信號和目標回波信號，實現對目標定位［3］。外輻射源的選取需充分考慮所選信號的功率大小、瞬時帶寬及位置等參數［4］。目前，可用于定位的外輻射源包括模擬電視信號［5］，調頻廣播信號［6］，數字音頻廣播信號［7］，數字視頻廣播信號［7］，手機基站信號［8］，WIFI信號［9］等。而相比于多站系統，單站系統機動性強，不存在時間和數據同步的問題。因此，研究高精度的單站無源相干定位方法具有重要意義。

目前對于固定目標的無源定位方法主要包括基于信號到達強度（Received Signal Strength，RSS）［10］、信號到達角度（Direction Of Arrival，DOA）［11］、信號到達時差（Time Difference Of Arrival，TDOA）［12］，以及聯合其中兩種或者3種觀測信息的定位體制［13］。其中，基于RSS的定位方法受信號衰減的影響，定位精度較低。基于DOA的定位方法需要多個接收機，因而并不適用于單站無源相干定位模型。基于TDOA的定位方法通過測量外輻射源直達信號與經目標反射后的回波信號到達觀測站的時差來確定目標位置。由于外輻射源位置已知，因此又稱“距離和定位”（外輻射源到目標的距離與目標到觀測站的距離之和）［14］。但現有的TDOA定位算法主要針對雙/多站無源定位系統，此時，時差指的是信號從目標到達不同觀測站的時間差。這類算法常常需要兩步估計，或建立為帶約束的非線性優化問題，求解算法較為復雜，包括兩步加權最小二乘算法［15］，約束加權最小二乘算法［16］，約束總體最小二乘算法［17］，以及以上一些算法的改進算法。當時差測量準確時，TDOA定位方法的精度較高。但當時差測量誤差較大時，TDOA定位方法的性能并不理想。而文獻［18］證明了對于多站無源定位系統，聯合角度和時差信息可以獲得比僅TDOA和僅DOA定位方法更高的定位精度。但由于定位模型不同，文獻［18］的定位算法并不能應用于本文單站無源相干定位系統。

文獻［19］針對單站無源相干定位系統，提出了一種基于約束總體最小二乘的時差定位算法。但由于僅利用了時差一種信息，因而在時差測量誤差較大時，定位性能迅速下降。為此，本文針對利用外輻射源的單站無源相干定位問題，提出了一種聯合角度和時差信息的加權最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）定位算法。在將角度和時差觀測方程線性化后，考慮到方程中各項系數的誤差，將定位問題轉化為加權最小二乘問題，并利用迭代方法求解。

2　定位場景

本文考慮的3維單站PCL定位場景如圖1：假設場景中含有N個外輻射源，1個目標，1個觀測站。觀測站上布設兩副天線，分別用來接收來自外輻射源的直達信號和經目標反射后的回波信號［20］。

圖1　單站無源相干定位模型Fig.1 Single-observer passive coherent location model

其中，τk為時差的觀測值，vτk為時差的觀測噪聲。

式中θ和φ分別為方位角和俯仰角的觀測值，vθ和vφ分別為它們的觀測噪聲。

令觀測量θ=［θ φ τ1... τN］T，則本文的主要工作是通過含有噪聲的觀測量θ來估計目標的位置［x y z］T。

3　加權最小二乘定位

首先將角度和時差的觀測方程進行線性化處理。對式（2）移項整理，可將方位和俯仰角的觀測方程表示為如下線性形式：

將式（1）移項，得到（R+rk）的表達式為：

將式（6）和式（7）相加，得到R的表達式為：

將式（3）和式（4）代入式（8），得到時差觀測方程的線性形式為：

將式（3）、式（4）、式（9）在觀測值［θ φ τk］T處泰勒展開，并忽略2階及以上誤差項，得

式（10）表示成矩陣形式為：

當式（11）中的誤差項e中各項誤差方差相同且互不相關時，可用最小二乘算法對其求解：

但從式（13）可知，e中的各項誤差方差不同且相關，此時最小二乘解得到的目標位置估計并不準確。而加權最小二乘算法通過對誤差項進行加權，從而得到更加準確的目標位置估計。式（11）的加權最小二乘解即為滿足如下目標函數極小化的變量X：

其中W為加權矩陣，

式中Q為觀測噪聲的協方差矩陣。

則式（11）的加權最小二乘解為：

注意到，式中加權矩陣W的計算需要用到目標位置。而在估計過程中，目標位置是未知的。因此，在實際估計過程中，先令W=Q-1，得到目標位置的粗估計，而后將得到的目標位置估計代入式（16）中更新W，從而進一步得到更加準確的目標位置估計。

算法的具體實現過程總結如下：

（1）初始化W=Q-1；

（2）利用式（17）計算目標位置估計；

（3）將目標位置估計代入式（16），更新矩陣W，返回步驟（2），得到更加準確的目標位置估計。

4　性能分析

4.1CRLB分析

其中，

CRLB等于Fisher信息矩陣（Fisher Information Matrix，FIM）的逆。根據FIM的定義，對式（18）中的概率密度函數取對數，并關于X中元素求偏導，得：

進而得到FIM矩陣中的元素為：

CRLB是算法估計方差的下限。則算法估計誤差的均方誤差（Mean Square Error，MSE）滿足下列不等式：

4.2理論誤差

忽略式（25）中的2階及以上誤差項，得：

從式（26）可以解得：

將ΔX乘以其轉置并求期望，得到算法的誤差協方差矩陣為：

5　仿真實驗

本節通過仿真實驗評估本文算法的估計性能，并分析影響算法估計性能的因素。仿真場景設置如下：場景中有1個固定目標，4個外輻射源，其位置如表1所示。角度和時差的測量誤差設置為服從零均值的高斯分布。根據文獻［21，22］，將角度測量誤差標準差σθ設置為0.1°～10°，時差測量誤差標準差στ設置為10～105ns。

表1　外輻射源位置Tab.1 Positions of the illuminators

算法的定位誤差為5000次蒙特卡洛仿真的均方根誤差。其定義如下：

仿真1 聯合DOA和TDOA定位方法與僅TDOA定位方法定位精度比較

分別計算角度測量誤差為0.1°，1°和10°時，聯合DOA和TDOA定位方法的CRLB，并與TDOA定位方法的CRLB對比。目標位置設置為［10000 10000 10000］Tm，仿真結果如圖2所示。

圖2描述了不同測量誤差條件下，聯合DOA和TDOA定位方法與TDOA定位方法的定位精度比較情況。從圖中可以看出，在相同的時差測量誤差條件下，聯合DOA和TDOA定位方法的精度高于TDOA定位方法。在時差測量誤差較小時，兩種定位方法的CRLB非常接近，但隨著時差測量誤差增大，聯合DOA和TDOA定位方法的CRLB開始低于并偏離TDOA定位方法，且角度測量誤差越小，偏離越快。

圖2　聯合DOA和TDOA定位方法與僅TDOA定位方法的CRLBFig.2 CRLB of the jointing DOA and TDOA method and the TDOA-only method

仿真2 迭代次數對算法定位精度的影響

本文算法需通過一定次數的迭代來得到目標位置的精確估計。而算法迭代收斂至全局最優解所需的迭代次數將是衡量算法性能的重要指標。為此，統計不同迭代次數時算法估計的均方根誤差。外輻射源和目標位置設置同仿真1，角度測量誤差設置為1°，時差測量誤差設置為100 ns，仿真結果如圖3所示。

圖3　迭代次數對定位誤差的影響Fig.3 Localization errors versus iteration numbers

圖3描述了不同迭代次數對應的定位誤差。可以看出，算法僅需1次迭代，定位誤差即可收斂至逼近CRLB。再增加迭代次數，定位精度不再提高。因此，在后續仿真中，迭代次數設置為2。

仿真3 不同測量誤差條件下算法的定位誤差

為了評估本文算法的估計性能，在不同時差和角度測量誤差條件下，利用本文算法進行仿真定位實驗，統計算法估計的均方根誤差，并將其與LS算法、CRLB及文獻［19］中TDOA定位方法對比。定位系統幾何分布如圖4所示。目標位置設置為近場和遠場兩種情況，近場目標設置在4個外輻射源所圍成的區域內，位置為［1000 1000 1000］Tm。遠場目標位置設置在4個外輻射源所圍成的區域外，位置為［100000 100000 10000］Tm。仿真結果如圖5和圖6所示。

圖4　定位系統幾何分布Fig.4 Localization geometry for simulations

圖5（a）給出了角度測量誤差為1°，時差測量誤差10～105ns時，算法對近場目標的均方根誤差情況。從圖中可以看出，LS算法達不到CRLB。在時差測量誤差小于100 ns時，本文算法的定位誤差稍微偏離CRLB，定位精度低于文獻［19］中TDOA定位方法；但當時差測量達到100 ns時，文獻［19］中TDOA定位方法的定位誤差隨著時差測量誤差迅速增大并超過本文算法，而本文算法的定位誤差則逼近C R L B。圖5（b）給出了角度測量誤差為0.1°～10°，時差測量誤差1000 ns時，算法對近場目標的均方根誤差情況。從中可以看出，本文算法的定位誤差低于LS算法和TDOA定位方法，在角度測量誤差較小時，算法定位誤差逼近CRLB，在測量誤差增加至4°時，算法定位誤差開始偏離CRLB。

圖5　不同測量誤差條件下算法對近場目標的定位精度Fig.5 Localization errors versus measurement errors for near-field target

圖6　不同測量誤差條件下算法對遠場目標的定位精度Fig.6 Localization errors versus measurement errors for far-field target

仿真4外輻射源數量對定位精度影響

為分析外輻射源數量對算法定位誤差的影響，分別計算不同數量的外輻射源進行定位時的CRLB，并與僅TDOA定位方法對比。目標位置設置為［10000 10000 10000］Tm，角度測量誤差設置為1°，時差測量誤差設置為1000 ns，仿真結果如圖7所示。

圖7　外輻射源數量對定位精度的影響Fig.7 Localization errors versus numbers of illuminators

圖7給出了算法定位誤差隨外輻射源數量變化的情況。總體上，隨著外輻射源數量的增加，聯合DOA和TDOA定位方法和僅TDOA定位方法的定位誤差均不斷減小。但是聯合DOA和TDOA定位方法僅需一個外輻射源即可對目標定位，而TDOA定位方法則至少需要3個外輻射源。原因在于TDOA定位方法至少需要3個外輻射源，以構建3個外輻射源的直達信號與對應反射信號到達觀測站的時差方程，從而解得目標的3維坐標估計。而本文聯合DOA和TDOA的定位方法僅需1個外輻射源，即可構建出時差、方位角、俯仰角3個方程，從而解得目標3維坐標。

仿真5 GDOP圖

系統幾何精度因子（Geometric Dilution Of Precision，GDOP）也是衡量系統定位性能的重要指標，其定義為：

為分析目標位置對系統估計精度的影響，需要畫出不同目標位置上的GDOP等高線圖。但目標位置有3個坐標變量，而GDOP等高線圖是2維的，為此，分別展示目標高度為1000 m和10000 m時，系統的GDOP等高線圖。DOA測量誤差設置為1°，4個外輻射源對應的時差測量誤差分別設置為0.1 ns，1 ns，10 ns，100 ns。仿真結果如圖8所示。

圖8　GDOP圖Fig.8 GDOP figure

圖8給出了目標高度分別為1000 m和10000 m的GDOP圖。從中看出，在x，y坐標相同時，目標高度越高，定位誤差越小。當目標位于外輻射源和觀測站所在的中央區域上方時，定位精度最高，隨著目標遠離該中心區域，定位誤差增大，且在觀測站和外輻射源連線方向，定位誤差增加相對較快。而雖然不同外輻射源對應的TDOA測量誤差不同，但對于整個系統而言，不同外輻射源TDOA測量誤差的不同對目標定位精度分布的影響并不顯著。

6　結論

本文研究了利用外輻射源的單站無源相干定位問題，提出了一種聯合角度和時差的加權最小二乘定位方法。本文算法具有如下優勢：

（1）聯合角度和時差的定位方法相比于僅利用時差的定位方法，具有更高的定位精度，在時差測量誤差較大時，這一優勢尤其明顯。

（2）加權最小二乘算法考慮了定位方程中各項系數的誤差，定位精度優于最小二乘算法。

（3）聯合角度和時差定位方法僅需一個外輻射源即可對目標定位，而僅時差定位方法則至少需要3個外輻射源。因而在遠海、高海拔等可用外輻射源稀少地區，這一優勢非常明顯。而對于沿海、內陸等可用外輻射源數量較多地區，聯合角度和時差定位方法的定位精度和穩定性也同樣優于僅時差定位方法。

（4）對系統GDOP圖的分析表明，目標相對于外輻射源和觀測站的位置對定位精度有顯著影響。目標距離外輻射源和觀測站所在的中央區域上方，且高度較高時，定位效果最好。

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趙勇勝（1990-），男，江蘇連云港人，現為解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院碩士研究生。研究方向為無源定位。

E-mail：zhaoyongshengtg@163.com

趙擁軍（1964-），男，河南封丘人，現為解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院教授，博士生導師，中國電子學會高級會員，《電子測量與儀器學報》編委。研究方向為雷達信號與信息處理、自適應陣列信號處理。

E-mail：zhaoyongjuntg@126.com

趙 闖（1978-），男，河北辛集人，現為解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院副教授，博士。研究方向為雷達信號處理。

E-mail：rushzhaotg@163.com

Weighted Least Squares Algorithm for Single-observer Passive Coherent Location Using DOA and TDOA Measurements

Zhao YongshengZhao YongjunZhao Chuang
（School of Navigation and Aerospace Engineering，PLA Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China）

In order to determine single-observer passive coherent locations using illuminators of opportunity，we propose a jointing angle and Time Difference Of Arrival（TDOA）Weighted Least Squares（WLS）location method.First，we linearize the DOA and TDOA measurement equations.We establish the localization problem as the WLS optimization model by considering the errors in the location equations.Then，we iteratively solve the WLS optimization.Finally，we conduct a performance analysis of the proposed method.Simulation results show that，unlike the TDOA-only method，which needs at least three illuminators to locate a target，the jointing DOA and TDOA method requires only one illuminator.It also has a higher localization accuracy than the TDOA-only method when using the same number of illuminators.The proposed method yields a lower mean square error than the least squares algorithm，which makes it possible to approach the Cramér-Rao lower bound at a relatively high TDOA noise level.Moreover，on the basis of the geometric dilution of precision，we conclude that the positions of the target and illuminators are also important factors affecting the localization accuracy.

Difference Of Arrival（DOA）； Time Difference Of Arrival（TDOA）； Passive location； Illuminator of opportunity； Weighted Least Squares（WLS）

TN971

A

2095-283X（2016）03-302-10

10.12000/JR15133

2015-12-28；改回日期：2016-02-01；網絡出版：2016-03-23

趙勇勝 zhaoyongshengtg@163.com

國家高技術研究發展計劃（2012AA7031015），國家自然科學基金（61401469，41301481，61501513）

Foundation Items：The National High Technology Research and Development Program of China（2012AA7031015），The National Natural Science Foundation of China（61401469，41301481，61501513）