分類

方永明

作為數學中的一個重要思想，分類思想在近年初中數學學業水平考試壓軸題中的考查頻率還是較高的，以下就分三點說說分類思想在作圖法探究多邊形存在性問題中的應用：

一、已知直角三角形的兩頂點，探究第三個頂點

例1（云南2015中考第23題（2）問）：如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B、C、P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

分類討論：

①若以∠BCP為90°，則該點為過點C作BC的垂線與對稱軸的交點，即如圖中的點P1；

②若以∠CBP為90°，則該點為過點B作BC的垂線與對稱軸的交點，即如圖中的點P2；

③若以∠BPC為90°，則該點為以BC為直徑的圓與對稱軸的交點，即如圖中的點P3、P4。

二、已知等腰三角形的兩頂點，探究第三個頂點

例2（2015煙臺24題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與⊙M相交于A，B，C，D四點，期中A，B兩點的坐標分別為（-1，0），（0，2），點D在x軸上而AD為⊙M的直徑，點E是⊙M與y軸的另一個交點。過劣弧BC的點F作FH⊥AD于點H，且FH=1.5.

（3）問：在此拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QCM是等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由。

分類討論：

①若以點M為頂角頂點，則該點為⊙M與對稱軸的交點，即如圖中的點Q1，Q2

②若以點C為頂角頂點，則該點為以點C為圓心，CM為半徑的圓與對稱軸的交點，即如圖中的點Q3；

③若以點Q為頂角頂點，則該點為線段CM的垂直平分線與對稱軸的交點，即如圖中的點Q4。

三、已知平行四邊形的三個頂點，探究第四個頂點。

例3：如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B。拋物線經過A、B，并與x軸交于一點C，頂點為P。

（2）問：在圖中求一點Q，使Q、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出相應的點Q的坐標。

分類討論：

①若以線段AB為對角線，則該點為點C關于線段AB的中點的對稱點，即如圖中的點Q1；

②若以線段AC為對角線，則該點為點B關于線段AC的中點的對稱點，即如圖中的點Q2；

③若以線段BC為對角線，則該點為點A關于線段BC的中點的對稱點，即如圖中的點Q3。

對于此類題的解答，只有應用分類思想，對可能的情況進行逐一討論，才能盡量避免漏解。

參考文獻：

[1]人教版初中數學教材 《2015云南中考真題超詳解（數學）》.